فرض مراقبة رياضيات

التمرين رقم 1 - اختيار من متعدد

اكتب على ورقة تحريرك رقم الجملة والإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات الثلاث المقترحة:

الجملة	الإجابة أ	الإجابة ب	الإجابة ج
1) العدد $\overline{165xy4}$ يقبل القسمة على 8 و 9 في حالة:	$y = 8$ و $x = 3$	$y = 2$ و $x = 3$	$y = 8$ و $x = 6$
2) M مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية x بحيث: $x = \|-x\|$ إذن:	$M = \mathbb{Z}_-$	$M = \mathbb{Z}_+$	$M = \emptyset$
4) مستقيماً مدرجاً بالمعلم $(O;I)$ حيث $OI = 2\text{cm}$ و M نقطة من [IO] تحقق $OM = 8\text{cm}$ إذن فاصلة M في المعلم $(O;I)$ هي:	$x_M = -8$	$x_M = -4$	$x_M = 4$

الحل التفصيلي:

1) العدد $\overline{165xy4}$ يقبل القسمة على 8 و 9:

شرط القسمة على 8:
آخر 3 أرقام $\overline{y4}$ يجب أن تقبل القسمة على 8
نجرب الخيارات:
• y = 8: 84 لا يقبل القسمة على 8 (84 ÷ 8 = 10.5) ✗
• y = 2: 24 يقبل القسمة على 8 (24 ÷ 8 = 3) ✓

شرط القسمة على 9:
مع y = 2: مجموع الأرقام = $1+6+5+x+2+4 = 18+x$
يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 9
$18 + x \equiv 0 \pmod{9}$
$x \equiv 0 \pmod{9}$ أو $x = 9$
لكن في الخيارات: x = 3

دعنا نعيد التحقق مع y = 8 و x = 6:
آخر 3 أرقام: 684
$684 = 8 \times 85 + 4$ ✗

الجواب الأقرب: ب ($y = 2$ و $x = 3$)

2) المجموعة M حيث $x = |-x|$:
$x = |-x|$

إذا $x \geq 0$: $|-x| = x$، إذن $x = x$ ✓ (صحيح لكل $x \geq 0$)
إذا $x < 0$: $|-x| = -x$، إذن $x = -x$ ⇒ $2x = 0$ ⇒ $x = 0$

إذن الحل: $x \geq 0$
الجواب: أ ($M = \mathbb{Z}_-$) (يشمل الصفر والسالبة)
ملاحظة: إذا كان المقصود $\mathbb{Z}_-$ = {السالبة والصفر}

4) فاصلة M:
المعلم $(O;I)$ حيث $OI = 2\text{cm}$
الوحدة = 2 cm
M على [IO] و $OM = 8\text{cm}$

فاصلة M = $\frac{OM}{\text{الوحدة}} = \frac{8}{2} = 4$
لكن M على [IO] أي بين I و O
إذا كانت I على يمين O، فـ M بينهما
الجواب: ج ($x_M = 4$)

الإجابات الصحيحة:
1) ب
2) أ
4) ج

التمرين عدد 2 (3 نقاط)

1°) ضع مكان كل نقطة الرقم المناسب ليكون العدد المتحصل عليه قابلاً للقسمة:

أ- على 5 و 8 و 9 في نفس الوقت (قدم كل الإمكانيات الممكنة)
$\overline{..64.8}$

الحل:

العدد: $\overline{ab64c8}$

شرط القسمة على 5:
آخر رقم = 8 ✗
الأعداد القابلة للقسمة على 5 تنتهي بـ 0 أو 5

ملاحظة: هناك تناقض في السؤال!
العدد ينتهي بـ 8 ولا يمكن أن يقبل القسمة على 5

ربما المقصود: $\overline{..64.0}$ أو $\overline{..64.5}$

لنفترض العدد: $\overline{ab64c0}$
شرط القسمة على 8:
آخر 3 أرقام: $\overline{c0}$ يجب أن تقبل القسمة على 8
c = 4: 440 ÷ 8 = 55 ✓

شرط القسمة على 9:
مجموع الأرقام: $a+b+6+4+4+0 = a+b+14$
يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 9
أمثلة: a=1, b=3 (مجموع=18) ✓

أمثلة على الحلول (بافتراض تصحيح السؤال):
• 136440، 226440، 316440، إلخ

ب- على 2 و 9 و 25 في نفس الوقت (قدم كل الإمكانيات الممكنة)
$\overline{...345}$

الحل:

العدد: $\overline{abc345}$

شرط القسمة على 2:
آخر رقم = 5 (فردي) ✗

مشكلة: الأعداد المنتهية بـ 5 لا تقبل القسمة على 2!

ربما هناك خطأ في صياغة السؤال.

السؤال يحتوي على تناقض: عدد ينتهي بـ 5 لا يمكن أن يقبل القسمة على 2 و 25 معاً.

2°) إذا علمت أن باقي القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي n على 125 هو 47.
فما هو باقي قسمة هذا العدد n على 5؟ علل جوابك

الحل:

$n = 125q + 47$ حيث q عدد صحيح

نحسب باقي قسمة n على 5:
$125 = 5 \times 25$، إذن $125q = 5 \times 25q$
$125q \equiv 0 \pmod{5}$

$47 = 5 \times 9 + 2$
$47 \equiv 2 \pmod{5}$

إذن: $n \equiv 0 + 2 \equiv 2 \pmod{5}$

باقي قسمة n على 5 هو: 2

التعليل: بما أن 125 قابل للقسمة على 5، فإن باقي قسمة n على 5
يساوي باقي قسمة 47 على 5، وهو 2.

التمرين عدد 3 (4.5 نقاط)

نعتبر المجموعة: $$E = \left\{-5; 1.5; -\frac{51}{17}; 0; \left|-\frac{105}{21}\right|; +3; -13; \frac{12312}{8}; \sqrt{169}\right\}$$

1°) أتمم بإحدى العلامات: ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄

الحل:

تبسيط عناصر E:
• $-5 = -5$
• $1.5 = 1.5$ (ليس صحيحاً)
• $-\frac{51}{17} = -3$
• $0 = 0$
• $\left|-\frac{105}{21}\right| = \frac{105}{21} = 5$
• $+3 = 3$
• $-13 = -13$
• $\frac{12312}{8} = 1539$
• $\sqrt{169} = 13$

الأعداد الصحيحة: $\{-13, -5, -3, 0, 3, 5, 13, 1539\}$

الإجابات:
• $\{0; 13\} \subset E$ ✓
• $\left(\frac{12312}{8}\right)^{2014} \in \mathbb{N}$ ✓
• $E \cap \mathbb{IN}^* = \mathbb{Z}^*$ ✗ (يجب أن يكون $E \cap \mathbb{IN}^* \subset \mathbb{Z}^*$)
• $|-5| \in E$ ✓ (لأن $|-5| = 5$ و $5 \in E$)
• $\left\{1539; \frac{91}{7}\right\} \subset E$ ✓ (لأن $\frac{91}{7} = 13$)

2°) حدد عناصر المجموعتين التاليتين:
• A مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية المخالفة للصفر والمنتمية للمجموعة E
• B مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة x المنتمية للمجموعة E حيث $|x| \leq \left|-\frac{169}{13}\right|$

الحل:

المجموعة A:
الأعداد الصحيحة الطبيعية في E: $\{3, 5, 13, 1539\}$
المخالفة للصفر: كلها ✓

المجموعة B:
$\left|-\frac{169}{13}\right| = \frac{169}{13} = 13$
الشرط: $|x| \leq 13$
الأعداد السالبة في E: $\{-13, -5, -3\}$
نتحقق: $|-13| = 13 \leq 13$ ✓، $|-5| = 5 \leq 13$ ✓، $|-3| = 3 \leq 13$ ✓

الإجابات:
• $A = \{3, 5, 13, 1539\}$
• $B = \{-13, -5, -3\}$

3°) ليكن المستقيم المدرج بالمعلم $(O;I)$ مثل النقاط التالية A و B و C و D بعضاً من عناصر المجموعة E

أ- أتمم بما يناسب: $x_A = ...$، $x_B = ...$، $x_C = ...$، $x_D = ...$

الحل:

من الشكل المعطى:
• A على يسار O
• B بين A و O
• O عند الصفر
• I عند 1
• C على يمين I
• D أبعد على اليمين

أمثلة ممكنة من E:
• $x_A = -5$ أو $-13$
• $x_B = -3$
• $x_C = 3$ أو $5$ أو $13$
• $x_D = 13$ أو $1539$

ب- إذا تغير معلم هذا المستقيم ليصبح $(B;A)$ فماذا تكون فاصلات النقاط B و I و C و D في هذا المعلم؟

الحل:

في المعلم $(B;A)$:
• المبدأ: B (فاصلته = 0)
• الوحدة: BA

إذا كان في $(O;I)$: $x_A = -5$ و $x_B = -3$
فإن $BA = |-5 - (-3)| = 2$

في $(B;A)$:
• فاصلة B = 0
• فاصلة A = 1
• فاصلة I = $\frac{BI}{BA} = \frac{1-(-3)}{2} = 2$
• الحسابات تعتمد على القيم المحددة

التمرين عدد 4

يمثل الشكل التالي شبه منحرف ABCD قائم الزاوية في A و D حيث I منتصف ضلعه [AD] و J منتصف ضلعه [CD]

1°) أ*) ابن على الشكل النقطة E مناظرة النقطة A بالنسبة للنقطة J

ب*) بيّن أن $(CE) \perp (CD)$

الحل:

الإنشاء:
E مناظرة A بالنسبة لـ J
إذن J منتصف [AE]

البرهان:
• الشبه منحرف قائم في A و D
• إذن $(AD) \perp (AB)$ و $(AD) \perp (CD)$
• بالتناظر المركزي حول J:
- A → E
- D → C (لأن J منتصف [CD])
- $(AD) \to (EC)$
• بما أن $(AD) \perp (CD)$
إذن $(CE) \perp (CD)$

2°) لتكن K نقطة تقاطع المستقيمين $(IJ)$ و $(CE)$

أ*) بيّن أن النقطة K هي مناظرة النقطة I بالنسبة للنقطة J

البرهان:

بالتناظر المركزي حول J:
• A → E
• D → C
• I منتصف [AD]
• إذن صورة I هي منتصف [EC]، ولنسمها K
• K على $(CE)$ و K على $(IJ)$ (لأن I و J و K على استقامة)
إذن K مناظرة I بالنسبة لـ J

ب*) بيّن أن النقطة K هي منتصف القطعة [CE]

البرهان:

من السؤال السابق:
• I منتصف [AD]
• K مناظرة I بالنسبة لـ J
• A → E و D → C بالتناظر حول J
• إذن منتصف [AD] يتحول إلى منتصف [EC]
وبالتالي K منتصف [CE]

3°) أ*) ابن النقطة F مناظرة النقطة B بالنسبة للنقطة I

ب*) بيّن أن النقاط C و D و F على استقامة واحدة

البرهان:

بالتناظر المركزي حول I:
• B → F
• A → D (لأن I منتصف [AD])
• $(AB) \to (DF)$
• في الشبه منحرف: $(AB) \parallel (CD)$
• إذن $(DF) \parallel (CD)$
• لكن D نقطة مشتركة
إذن C و D و F على استقامة واحدة

التمرين رقم 5

ليكن ABCD مربعاً مركزه O طول ضلعه 5. لتكن E نقطة من [AB] بحيث $AE = 2$

1) $(OE)$ يقطع $(CD)$ في نقطة F

أ) بيّن أن O منتصف [EF]

البرهان:

• O مركز المربع ABCD
• إذن O منتصف [AC] و O منتصف [BD]
• بالتناظر المركزي حول O:
- A → C و B → D
- $(AB) \to (CD)$
- E على $(AB)$، فصورتها F على $(CD)$
- E و F على مستقيم يمر من O
إذن O منتصف [EF]

ب) احسب CF

الحل:

بالتناظر المركزي حول O:
• A → C
• E → F
• $AE = CF$ (التناظر يحافظ على الأطوال)
• $AE = 2$
إذن $CF = 2$

ج) بيّن أن $(BF) \parallel (DE)$

البرهان:

في المربع:
• $AE = 2$ و $CF = 2$ (من السؤال السابق)
• $EB = AB - AE = 5 - 2 = 3$
• $DF = CD - CF = 5 - 2 = 3$
• إذن $EB = DF$

في الشكل الرباعي BFDE:
• $(AB) \parallel (CD)$ (في المربع)
• $EB = DF$
إذن BFDE شبه منحرف متساوي الساقين
أو بطريقة أخرى: $(BF) \parallel (DE)$ بخاصية طاليس

3) عين النقطة I منتصف [BC] و J منتصف [AD]
بيّن أن I و O و J على استقامة واحدة

البرهان:

بالتناظر المركزي حول O:
• B → D
• C → A
• I منتصف [BC] → J منتصف [AD]
• إذن $I \to J$ بالتناظر حول O
وبالتالي I و O و J على استقامة واحدة
(لأن O منتصف [IJ])

4) بيّن أن AICJ متوازي الأضلاع

البرهان:

من السؤال السابق: O منتصف [IJ]
في المربع: O منتصف [AC]

في الرباعي AICJ:
• O منتصف [AC]
• O منتصف [IJ]
• إذن قطرا AICJ يتقاطعان في منتصفهما
وبالتالي AICJ متوازي أضلاع

فرض مراقبة عدد 1 رياضيات