فرض مراقبة عدد 1 - الثامنة أساسي

✅ تمرين رقم 1 - اختر الإجابة الصحيحة

أكتب رقم الجملة والإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات الثلاث المقترحة:

الجملة	الإجابة أ	الإجابة ب	الإجابة ج
1) العدد \(16 \times 5^x \times 4^y\) يقبل القسمة على 8 و 9 في حالة:	x = 6 و y = 8	x = 3 و y = 2	x = 3 و y = 8
2) M مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية x بحيث: \(x = \|-x\|\) إذن:	\(M = \mathbb{Z}_-\)	\(M = \mathbb{Z}_+\)	\(M = \emptyset\)
4) مستقيماً مدرجاً بالمعيّن (O;I) حيث OI = 2cm و M نقطة من (IO) تحقق OM = 8cm إذن فاصلة M في المعيّن (O;I) هي:	\(x_M = -8\)	\(x_M = -4\)	\(x_M = 4\)

✅ الحلول التفصيلية:

1) العدد \(16 \times 5^x \times 4^y\) يقبل القسمة على 8 و 9:

\(16 \times 5^x \times 4^y = 2^4 \times 5^x \times (2^2)^y = 2^{4+2y} \times 5^x\)

للقسمة على 8 = 2³:
يجب: 4 + 2y ≥ 3 → 2y ≥ -1 → y ≥ -0.5
من الخيارات: y = 8 ✓

للقسمة على 9 = 3²:
العدد \(2^{4+2y} \times 5^x\) لا يحتوي على العامل 3
لذلك لا يمكن أن يقبل القسمة على 9 مهما كانت قيم x و y

ملاحظة: المسألة قد تحتوي على خطأ في الصياغة
الجواب الأقرب: x = 3 و y = 8

2) مجموعة M حيث \(x = |-x|\):

\(x = |-x|\)

نعلم أن: |-x| = |x| (دائماً)
إذن: x = |x|

هذه المعادلة صحيحة فقط عندما: x ≥ 0

التحقق:
• إذا x = 5: |5| = 5 ✓
• إذا x = 0: |0| = 0 ✓
• إذا x = -3: |-3| = 3 ≠ -3 ✗

M = ℤ₊ = {0, 1, 2, 3, ...} ✓

4) فاصلة M في المعيّن (O;I):

OI = 2cm (وحدة التدريج)
M نقطة من (IO) → M على نصف المستقيم من I إلى O
OM = 8cm

المسافة من O إلى M = 8cm في اتجاه السالب
عدد الوحدات = 8 ÷ 2 = 4 وحدات
في الاتجاه السالب: x_M = -4 ✓

🔢 تمرين عدد 2 - القسمة (3 نقاط)

1) ضع مكان كلّ نقطة الرقم المناسب ليكون العدد المتحصّل عليه قابلاً للقسمة:

أ) على 5 و 8 و 9 في نفس الوقت (قدّم كل الإمكانيات الممكنة): 8.64..

ب) على 2 و 9 و 25 في نفس الوقت (قدّم كل الإمكانيات الممكنة): 345...

2) إذا علمت أن باقي القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي n على 125 هو 47.

فما هو باقي قسمة هذا العدد n على 5؟ علّل جوابك

✅ الحل التفصيلي:

1-أ) العدد 8X64YZ قابل للقسمة على 5، 8، 9:

للقسمة على 5: آخر رقم Z = 0 أو 5

للقسمة على 8: آخر 3 أرقام 4YZ يجب أن تقبل القسمة على 8
إذا Z = 0: 4Y0 → 640 ✓ (Y = 4)
إذا Z = 5: لا يوجد قيمة لـ Y
إذن Y = 4، Z = 0

للقسمة على 9: مجموع الأرقام = 8 + X + 6 + 4 + 4 + 0 = 22 + X
22 + X يقبل القسمة على 9
22 + X = 27 → X = 5

الجواب: 856440

1-ب) العدد 345XY قابل للقسمة على 2، 9، 25:

للقسمة على 2: Y زوجي
للقسمة على 25: آخر رقمين XY = 00، 25، 50، 75
Y زوجي → XY = 00 أو 50

للقسمة على 9: 3+4+5+X+Y يقبل القسمة على 9
12 + X + Y يقبل القسمة على 9

إذا XY = 00: X + Y = 0 → 12 + 0 = 12 (لا يقبل القسمة على 9) ✗
إذا XY = 50: X + Y = 5 → 12 + 5 = 17 (لا يقبل القسمة على 9) ✗

نجرب: 12 + X + Y = 18 → X + Y = 6
XY = 60: X + Y = 6 ✓ لكن 60 لا يقبل القسمة على 25

الحلول الممكنة: 34500 أو 34650
(مع التحقق من شرط القسمة على 9)

2) باقي قسمة n على 5:

n ÷ 125 → الباقي = 47
إذن: n = 125k + 47 (حيث k عدد صحيح)

125 = 25 × 5 = 5³
n = 5³ × k + 47

نقسم على 5:
47 ÷ 5 = 9 والباقي 2

n = 5³k + 47 = 5³k + 5×9 + 2
n = 5(5²k + 9) + 2

باقي قسمة n على 5 = 2 ✓

📊 تمرين عدد 3 - المجموعات (4.5 نقاط)

نعتبر المجموعة:
\(E = \left\{-5; 1.5; -\frac{51}{17}; 0; \left|-\frac{105}{21}\right|; +3; -13; \frac{12312}{8}; \sqrt{169}\right\}\)

1) أتمّم بإحدى العلامات: ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄:

\(\{0; 13\}\) ...... E ، E ...... ℤ

\(\left(\frac{12312}{8}\right)^{2014}\) ...... ℕ

|-5| ...... E ، E ∩ ℕ* ...... ℤ*

\(\left\{1539; \frac{91}{7}\right\}\) ...... E

2) حدّد عناصر المجموعتين التاليتين:

A مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية المخالفة للصفر والمنتمية للمجموعة E

B مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة x المنتمية للمجموعة E حيث \(|x| \leq \left|-\frac{169}{13}\right|\)

3) ليكن المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) عيّن النقاط A و B و C و D بعضاً من عناصر المجموعة E

أ) أتمّم بما يناسب: \(x_A\) = ..... ، \(x_B\) = ..... ، \(x_C\) = ..... ، \(x_D\) = .....

ب) إذا تغيّر المعيّن ليصبح (B;A) فماذا تكون فاصلات النقاط B و I و C و D في هذا المعيّن؟

✅ الحل التفصيلي:

أولاً: تبسيط المجموعة E:

• -5 ✓
• 1.5 ✓
• -51/17 = -3 ✓
• 0 ✓
• |-105/21| = |-5| = 5 ✓
• +3 = 3 ✓
• -13 ✓
• 12312/8 = 1539 ✓
• √169 = 13 ✓

E = {-5, 1.5, -3, 0, 5, 3, -13, 1539, 13}

1) إكمال العلامات:

• {0; 13} ⊂ E (لأن 0 و 13 ينتميان لـ E)
• E ⊄ ℤ (لأن 1.5 ∈ E وليس صحيحاً)
• (12312/8)^2014 = 1539^2014 ∈ ℕ (عدد طبيعي)
• |-5| = 5 ∈ E ✓
• E ∩ ℕ* = {5, 3, 1539, 13} ⊂ ℤ* ✓
• {1539; 91/7} = {1539; 13} ⊂ E ✓

2) تحديد المجموعات:

A: الأعداد الصحيحة الطبيعية غير الصفر من E
A = {5, 3, 1539, 13}

B: الأعداد الصحيحة السالبة من E حيث |x| ≤ |-169/13| = 13
العناصر السالبة: {-5, -3, -13}
|-5| = 5 ≤ 13 ✓
|-3| = 3 ≤ 13 ✓
|-13| = 13 ≤ 13 ✓

B = {-5, -3, -13}

3) المستقيم المدرّج:

يعتمد على الرسم الموجود في الورقة الأصلية
مثال: إذا كانت النقاط على المستقيم:
A عند -5، B عند 0، C عند 3، D عند 13

ب) إذا تغيّر المعيّن ليصبح (B;A):
المركز الجديد B والوحدة BA
يجب إعادة حساب جميع الفاصلات بالنسبة للمعيّن الجديد

🔷 تمرين عدد 4 - شبه المنحرف

يمثل الشكل التالي شبه منحرف ABCD قائم الزاوية في A و D حيث I منتصف ضلعه [AD] و J منتصف ضلعه [CD]

1-أ) ابن على الشكل النقطة E مناظرة النقطة A بالنسبة للنقطة J

1-ب) بيّن أن (CE) ⊥ (CD)

2) لتكن K نقطة تقاطع المستقيمين (IJ) و (CE)

أ) بيّن أن النقطة K هي مناظرة النقطة I بالنسبة للنقطة J

ب) بيّن أن النقطة K منتصف القطعة [CE]

3-أ) ابن النقطة F مناظرة النقطة B بالنسبة للنقطة I

3-ب) بيّن أن النقاط C و D و F على استقامة واحدة

✅ الحل التفصيلي:

1-ب) (CE) ⊥ (CD):

شبه المنحرف ABCD قائم الزاوية في A و D
إذن (AB) ⊥ (AD) و (CD) ⊥ (AD)

E مناظرة A بالنسبة لـ J (منتصف CD)
J منتصف [CD] و J منتصف [AE]

في المثلث ACD:
الزاوية D = 90°
بالتناظر حول J: الزاوية E = 90°
إذن (CE) ⊥ (CD) ✓

2-أ) K مناظرة I بالنسبة لـ J:

I منتصف [AD]
J منتصف [CD]
K = (IJ) ∩ (CE)

في شبه المنحرف، (IJ) خط أوسط
بالتناظر حول J:
مناظر I هو K على (CE)
K مناظرة I بالنسبة لـ J ✓
(J منتصف [IK])

2-ب) K منتصف [CE]:

J منتصف [CD]
J منتصف [AE] (لأن E مناظرة A)
J منتصف [IK] (من السؤال 2-أ)

في الرباعي ACEI:
J منتصف قطريه [AE] و [CD]
K على (CE) و J منتصف [IK]

بخصائص التناظر والمنتصفات:
K منتصف [CE] ✓

3-ب) C و D و F على استقامة واحدة:

F مناظرة B بالنسبة لـ I
I منتصف [AD] و I منتصف [BF]

في شبه المنحرف ABCD:
(AB) // (CD)

بالتناظر حول I:
مناظر (AB) هو (FD)
لكن مناظر B هو F
مناظر A هو D
إذن F و D على نفس المستقيم الموازي لـ (AB)

بما أن (CD) موازٍ لـ (AB):
C و D و F على استقامة واحدة ✓

🔲 تمرين رقم 5 - المربع ABCD

ليكن ABCD مربعاً مركزه O طول ضلعه 5
لتكن E نقطة من [AB] بحيث AE = 2

1) (OE) يقطع (CD) في نقطة F

أ) بيّن أن O منتصف [EF]

ب) احسب CF

ج) بيّن أن (BF) // (DE)

3) عيّن النقطة I منتصف [BC] و J منتصف [AD]. بيّن أن I و O و J على استقامة واحدة

4) بيّن أن AICJ متوازي الأضلاع

✅ الحل التفصيلي:

1-أ) O منتصف [EF]:

ABCD مربع مركزه O
O نقطة تقاطع القطرين [AC] و [BD]

E ∈ [AB] و F ∈ [CD]
(AB) // (CD) (أضلاع متقابلة في المربع)

بالتناظر المركزي حول O:
مناظر (AB) هو (CD)
E ∈ (AB) → مناظرها F ∈ (CD)
(EF) يمر بـ O

إذن O منتصف [EF] ✓

1-ب) حساب CF:

في المربع ABCD: AB = 5
AE = 2 → EB = 5 - 2 = 3

بالتناظر حول O:
مناظر E هو F
مناظر A هو C
مناظر B هو D

AE = 2 → CF = 2 (بالتناظر)
CF = 2 cm ✓

1-ج) (BF) // (DE):

في المربع:
AE = 2، CF = 2
EB = 3، DF = 3

في الرباعي BEFD:
EB = DF = 3
∠B = ∠D = 90°

الرباعي BEFD له ضلعان متقابلان متساويان
وزاويتان قائمتان متقابلتان
إذن BEFD متوازي أضلاع

(BF) // (DE) ✓

3) I و O و J على استقامة واحدة:

I منتصف [BC]
J منتصف [AD]
O مركز المربع (منتصف القطرين)

المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين متقابلين يمر بمركز المربع
إذن I و O و J على استقامة واحدة ✓

4) AICJ متوازي أضلاع:

I منتصف [BC]
J منتصف [AD]
O منتصف [IJ] (من السؤال 3)
O منتصف [AC] (قطر المربع)

الرباعي AICJ له قطراه [AC] و [IJ]
يتقاطعان في O
و O منتصف كل منهما

الرباعي الذي قطراه يتقاطعان في منتصفيهما
هو متوازي أضلاع

إذن AICJ متوازي أضلاع ✓

📝 فرض مراقبة عدد 1 - مثال رقم 8 🎯