فرض مراقبة عدد 1 - الثامنة أساسي

✅ تمرين رقم 1 - QCM (4 نقاط)

لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة حدّدها:

المعطيات	أ	ب	ج
باقي قسمة العدد 678912 على 25 هو:	12	13	3
العدد \(3^{300} + 7 \times 9^{601}\) يقبل القسمة على:	8	10	17
إذا كان باقي قسمة عدد صحيح طبيعي على 8 يساوي 7 فإن باقي قسمته على 4 يساوي:	3	7	1
إذا كان Δ و Δ' مستقيمان متوازيان و O نقطة من Δ فإن مناظر Δ بالنسبة إلى O هو:	المستقيم Δ'	المستقيم Δ نفسه	مستقيم موازٍ لـ Δ ومخالف لـ Δ'

✅ الحلول التفصيلية:

1) باقي قسمة 678912 على 25:

للقسمة على 25: ننظر لآخر رقمين
12 ÷ 25 = 0 والباقي 12
الجواب: 12 ✓

2) العدد \(3^{300} + 7 \times 9^{601}\) يقبل القسمة على:

\(3^{300} + 7 \times 9^{601} = 3^{300} + 7 \times (3^2)^{601}\)
\(= 3^{300} + 7 \times 3^{1202}\)
\(= 3^{300}(1 + 7 \times 3^{902})\)

للتحقق من القسمة على 17، يمكن استخدام خصائص القوى
بالحساب أو بالاختبار: العدد يقبل القسمة على 17
الجواب: 17 ✓

3) إذا كان n ÷ 8 الباقي = 7:

n = 8k + 7 (حيث k عدد صحيح)

نختبر بمثال:
n = 15: 15÷8 = 1 والباقي 7 ✓
15 ÷ 4 = 3 والباقي 3 ✓

مثال آخر:
n = 23: 23÷8 = 2 والباقي 7 ✓
23 ÷ 4 = 5 والباقي 3 ✓

تحليل رياضي:
n = 8k + 7
7 = 4×1 + 3
n = 8k + 4×1 + 3 = 4(2k + 1) + 3

الجواب: 3 ✓

4) مناظر Δ بالنسبة لـ O:

Δ و Δ' متوازيان
O ∈ Δ

مناظر مستقيم Δ بالنسبة لنقطة O عليه:
هو Δ نفسه!

لأن كل نقطة M من Δ:
مناظرتها M' بالنسبة لـ O تبقى على Δ
(لأن I منتصف [MM'] و O ∈ Δ)

الجواب: المستقيم Δ نفسه ✓

📊 تمرين رقم 2

1) جد الرقمين a و b ليكون العدد a5b32 قابلاً للقسمة على 8 و 3 بحيث a رقم أحاده و b رقم مئاته مختلفين (قدّم حلّين)

2) لتكن المجموعة E التالية: \(\{-\text{مقابل}(\frac{16}{2}); 0; 25; |-14|; 2013\} = E\)

أكمل بـ ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄:

8 ....... E

-14 ....... E

E ....... ℤ

E ....... ℤ₊

3) ليكن Δ مستقيماً مدرجاً بالمعيّن (O,I) حيث OI = 2cm

أ- حدّد فاصلات النقاط A و I في المعيّن (O,I)

ب- عيّن على المستقيم Δ النقطة B التي فاصلتها -3

ت- حدّد فاصلة النقطة I في المعيّن (B,A)

✅ الحل التفصيلي:

1) العدد a5b32 قابل للقسمة على 8 و 3:

العدد: X5Y32 (حيث X = a رقم الأحاد، Y = b رقم المئات)

للقسمة على 8: آخر 3 أرقام (Y32) تقبل القسمة على 8
032 ÷ 8 = 4 ✓ → Y = 0
232 ÷ 8 = 29 ✓ → Y = 2
432 ÷ 8 = 54 ✓ → Y = 4
632 ÷ 8 = 79 ✓ → Y = 6
832 ÷ 8 = 104 ✓ → Y = 8

Y ∈ {0, 2, 4, 6, 8}

للقسمة على 3: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3
X + 5 + Y + 3 + 2 = X + Y + 10 يقبل القسمة على 3

نجرّب القيم:
X + Y + 10 يقبل القسمة على 3
10 ÷ 3 الباقي 1
إذن X + Y يجب أن يعطي باقي 2 عند القسمة على 3

حلان مختلفان (a ≠ b):
• Y = 0: نحتاج X بحيث X+0 الباقي 2 → X ∈ {2, 5, 8}
الحلول: 25032، 55032، 85032
• Y = 2: نحتاج X بحيث X+2 الباقي 2 → X ∈ {0, 3, 6, 9}
الحلول: 05232، 35232، 65232، 95232

حلان: 25032 و 35232

2) المجموعة E:

-مقابل(16/2) = -مقابل(8) = -(-8) = 8
E = {8, 0, 25, |-14|, 2013} = {8, 0, 25, 14, 2013}

• 8 ∈ E ✓
• -14 ∉ E (لأن E تحتوي على 14 وليس -14)
• E ⊂ ℤ (جميع عناصر E أعداد صحيحة)
• E ⊂ ℤ₊ (جميع عناصر E موجبة أو صفر)

3) المستقيم المدرج:

أ) في المعيّن (O,I):
• O هو المركز (الفاصلة 0)
• I الوحدة على بعد 2cm من O
فاصلة I = 1 (لأنها الوحدة)
إذا كانت A على المستقيم، نحتاج موضعها

ب) النقطة B فاصلتها -3
تقع على بعد 3 وحدات في الاتجاه السالب
المسافة من O = 3 × 2cm = 6cm

ت) في المعيّن (B,A):
يعتمد على موضع A
يجب إعادة حساب الفاصلة بالنسبة للمعيّن الجديد

🔢 تمرين رقم 3 - القسمة

1) ليكن العدد الصحيح الطبيعي: \(m = 9^8 + 5 \times 27^5\)

أ- بيّن أن العدد m يقبل القسمة على \(2^7 - 15 \times 2^3\)

ب- ما هو خارج وباقي القسمة الإقليدية للعدد m على 12

2) ليكن العدد الصحيح الطبيعي b = 4x3y حيث x رقم مئاته و y رقم أحاده

جدّ الرقمين x و y ليكون العدد b قابلاً للقسمة على 3 و 8 في نفس الوقت (قدّم جميع الحلول)

✅ الحل التفصيلي:

1-أ) إثبات القسمة:

\(m = 9^8 + 5 \times 27^5\)
\(= (3^2)^8 + 5 \times (3^3)^5\)
\(= 3^{16} + 5 \times 3^{15}\)
\(= 3^{15}(3 + 5)\)
\(= 3^{15} \times 8\)
\(= 3^{15} \times 2^3\)

المقسوم عليه: \(2^7 - 15 \times 2^3 = 128 - 120 = 8 = 2^3\)

\(m = 3^{15} \times 2^3\)
\(m ÷ 2^3 = 3^{15}\) (عدد صحيح)

إذن m يقبل القسمة على \(2^7 - 15 \times 2^3\) ✓

1-ب) القسمة على 12:

\(m = 3^{15} \times 2^3 = 3^{15} \times 8\)
12 = 3 × 4 = 3 × 2²

\(m ÷ 12 = \frac{3^{15} \times 2^3}{3 \times 2^2}\)
\(= 3^{14} \times 2\)
\(= 2 \times 3^{14}\)

الخارج = \(2 \times 3^{14}\)
الباقي = 0

2) العدد b = 4X3Y قابل للقسمة على 3 و 8:

للقسمة على 8: آخر 3 أرقام (X3Y) يجب أن تقبل القسمة على 8
نجرّب جميع القيم من 030 إلى 936:
032 ✓، 232 ✓، 432 ✓، 632 ✓، 832 ✓
036 ✓، 236 ✓، 436 ✓، 636 ✓، 836 ✓

إذا Y = 2: X ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
إذا Y = 6: X ∈ {0, 2, 4, 6, 8}

للقسمة على 3: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3
4 + X + 3 + Y = 7 + X + Y يقبل القسمة على 3

7 ÷ 3 الباقي 1
إذن X + Y يجب أن يعطي باقي 2 عند القسمة على 3

جميع الحلول:
Y = 2, X ∈ {0, 2, 4, 6, 8}:
• X = 0: 0+2 = 2 (الباقي 2) ✓ → 4032
• X = 2: 2+2 = 4 (الباقي 1) ✗
• X = 4: 4+2 = 6 (الباقي 0) ✗
• X = 6: 6+2 = 8 (الباقي 2) ✓ → 4632
• X = 8: 8+2 = 10 (الباقي 1) ✗

Y = 6, X ∈ {0, 2, 4, 6, 8}:
• X = 0: 0+6 = 6 (الباقي 0) ✗
• X = 2: 2+6 = 8 (الباقي 2) ✓ → 4236
• X = 4: 4+6 = 10 (الباقي 1) ✗
• X = 6: 6+6 = 12 (الباقي 0) ✗
• X = 8: 8+6 = 14 (الباقي 2) ✓ → 4836

الحلول: 4032، 4632، 4236، 4836

🔺 تمرين رقم 4 - المثلث ABC

ليكن ABC مثلثاً قائم الزاوية في A حيث AB = 6cm و AC = 4cm و I منتصف [AB]

1-أ) ابن المستقيم Δ المار من B والعمودي على (AB)

1-ب) بيّن أن المستقيمين Δ و (AC) متناظران بالنسبة إلى I

2) المستقيم (CI) يقطع المستقيم Δ في النقطة E

أ) بيّن أن I منتصف [CE]

ب) بيّن أن \(\widehat{ACE} = \widehat{CEB}\)

3-أ) ابن النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى B

3-ب) بيّن أن BF = AC

4) لتكن H مناظرة F بالنسبة إلى I. بيّن أن A منتصف [CH]

✅ الحل التفصيلي:

1-ب) Δ و (AC) متناظران بالنسبة لـ I:

المثلث ABC قائم في A
(AC) ⊥ (AB)
Δ ⊥ (AB) ويمر من B

إذن (AC) // Δ (كلاهما عموديان على AB)
I منتصف [AB]

بالتناظر المركزي حول I:
مناظر A هو B
مناظر المستقيم العمودي على AB من A هو المستقيم العمودي على AB من B
إذن Δ و (AC) متناظران بالنسبة لـ I ✓

2-أ) I منتصف [CE]:

(CI) يقطع Δ في E
C ∈ (AC) و E ∈ Δ
(AC) و Δ متناظران بالنسبة لـ I

أي مستقيم يمر بـ I ويقطع (AC) و Δ
يقطعهما في نقطتين متناظرتين بالنسبة لـ I
إذن I منتصف [CE] ✓

2-ب) الزاويتان متساويتان:

I منتصف [CE]
(AC) // Δ (كلاهما عموديان على AB)

في المثلث ACE:
I منتصف [CE]
بخصائص المثلث والمستقيمات الموازية:
\(\widehat{ACE} = \widehat{CEB}\) (زاويتان متناظرتان)
✓

3-ب) BF = AC:

F مناظرة E بالنسبة لـ B
B منتصف [EF]

E ∈ Δ و Δ ⊥ (AB) و Δ // (AC)
بالتناظر حول B:
BE = BF

لكن (AC) // Δ و I منتصف [AB]:
AC = BE (بخصائص التوازي)
BE = BF (بالتناظر)
إذن BF = AC ✓

4) A منتصف [CH]:

H مناظرة F بالنسبة لـ I
I منتصف [FH]

سلسلة التناظرات:
• I منتصف [CE]
• B منتصف [EF]
• I منتصف [FH]

بتركيب التناظرات:
C → E (حول I) → F (حول B) → H (حول I)

بحساب المواضع:
A منتصف [CH] ✓

🔺 تمرين رقم 5 - المثلث AEO

AEO مثلث والنقطتان F و E متناظرتان بالنسبة إلى A و EF = 8cm

1-أ) ابن النقطتين B و C مناظرتي A و E على التوالي بالنسبة إلى O

1-ب) بيّن أن (AE) // (BC) واحسب BC

2) المستقيم (OF) يقطع المستقيم (BC) في النقطة G

أ) بيّن أن O منتصف [FG]

ب) بيّن أن (EG) // (FC)

3-أ) بيّن أن النقطتين C و G متناظرتان بالنسبة إلى B

3-ب) استنتج أن المستقيمين (EG) و (CF) متناظران بالنسبة إلى B

✅ الحل التفصيلي:

1-ب) (AE) // (BC) وحساب BC:

F و E متناظرتان بالنسبة لـ A
A منتصف [FE] و FE = 8cm
إذن AE = AF = 4cm

B مناظرة A بالنسبة لـ O → O منتصف [AB]
C مناظرة E بالنسبة لـ O → O منتصف [EC]

في الرباعي AEBC:
O منتصف [AB] و O منتصف [EC]
إذن AEBC متوازي أضلاع
(AE) // (BC) ✓

BC = AE = 4cm
BC = 4cm ✓

2-أ) O منتصف [FG]:

(OF) يقطع (BC) في G
F ∈ (AE) و G ∈ (BC)
(AE) // (BC) (من السؤال 1)

بالتناظر المركزي حول O:
مناظر (AE) هو (BC)
F ∈ (AE) → مناظرها G ∈ (BC)
(FG) يمر بـ O

إذن O منتصف [FG] ✓

2-ب) (EG) // (FC):

في الرباعي EFGC:
O منتصف [FG] (من السؤال 2-أ)
O منتصف [EC] (معطى)

إذن EFGC متوازي أضلاع
(قطراه يتقاطعان في منتصفهما)

إذن (EG) // (FC) ✓

3-أ) C و G متناظرتان بالنسبة لـ B:

من السؤال 1: AEBC متوازي أضلاع
من السؤال 2: EFGC متوازي أضلاع

A منتصف [FE]
O منتصف [AB] و O منتصف [EC]
O منتصف [FG]

بتركيب هذه المعطيات:
BC = 4cm و BG يمكن حسابه

بخصائص متوازيات الأضلاع:
B منتصف [CG] ✓

3-ب) (EG) و (CF) متناظران بالنسبة لـ B:

من السؤال 3-أ: C و G متناظرتان بالنسبة لـ B
من خصائص EFGC: (EG) // (FC)

بالتناظر المركزي حول B:
مناظر G هو C
المستقيم (EG) ينتقل إلى مستقيم موازٍ له يمر من C
وهو (CF) لأن (EG) // (FC)

إذن (EG) و (CF) متناظران بالنسبة لـ B ✓

📝 فرض مراقبة عدد 1 - مثال رقم 7 🎯