كل عدد يقبل القسمة على 5 هو يقبل القسمة على 25 أيضاً
كل عدد عشري نسبي سالب هو عدد كسري سالب
نقطتان A و B متساويتا البعد عن نقطة O تكونان متناظرتان بالنسبة إلى O
✅ الحل التفصيلي:
1. العدد 7028 يقبل القسمة على 9 و 4: • القسمة على 4: آخر رقمين = 28، $28 = 4 \times 7$ ✓
• القسمة على 9: مجموع الأرقام = $7+0+2+8 = 17$ ✗
17 لا يقبل القسمة على 9
الجواب: خطأ ❌
3. كل عدد يقبل القسمة على 5 هو يقبل القسمة على 25: مثال مضاد: 10 يقبل القسمة على 5 لكن لا يقبل القسمة على 25
$10 \div 5 = 2$ ✓
$10 \div 25 = 0.4$ ✗
الجواب: خطأ ❌
4. كل عدد عشري نسبي سالب هو عدد كسري سالب: عدد عشري نسبي = عدد يمكن كتابته على شكل كسر
مثال: $-2.5 = -\frac{5}{2}$ (كسري سالب) ✓
الجواب: صواب ✅
5. نقطتان A و B متساويتا البعد عن O تكونان متناظرتان: $OA = OB$ لا يعني بالضرورة أن A و B متناظرتان بالنسبة لـ O
يجب أن تكون O منتصف [AB]
مثال: A و B على دائرة مركزها O لكنهما ليستا متناظرتان
الجواب: خطأ ❌
العبارة
صواب/خطأ
العدد 7028 يقبل القسمة على 9 و 4
❌ خطأ
العدد 3521 يقبل القسمة على 7
✅ صواب
كل عدد يقبل القسمة على 5 هو يقبل القسمة على 25 أيضاً
❌ خطأ
كل عدد عشري نسبي سالب هو عدد كسري سالب
✅ صواب
نقطتان A و B متساويتا البعد عن O تكونان متناظرتان بالنسبة إلى O
❌ خطأ
2) ضع العلامة (x) في الخانة المناسبة:
0
1
9
14
39
باقي قسمة العدد 3265989 على 9 هو
باقي قسمة العدد 3265489 على 25 هو
✅ الحل التفصيلي:
باقي قسمة 3265989 على 9: مجموع الأرقام: $3+2+6+5+9+8+9 = 42$
$42 = 9 \times 4 + 6$
الباقي = 6
لكن 6 غير موجود في الجدول! دعنا نتحقق: $3265989 = 9 \times 362887 + 6$
الباقي = 6 (غير موجود)
باقي قسمة 3265489 على 25: آخر رقمين: 89
$89 = 25 \times 3 + 14$
الباقي = 14 ✓
0
1
9
14
39
باقي قسمة العدد 3265989 على 9 هو
باقي قسمة العدد 3265489 على 25 هو
✅
💡 ملاحظة: باقي قسمة 3265989 على 9 هو 6، وهو غير موجود في الخيارات المتاحة في الجدول.
3) ضع مكان كل نقطة رقماً لكي يصبح العدد $\overline{5.8.}$ يقبل القسمة على 4 و 5 و 3 في نفس الوقت (أعط جميع الحلول)
✅ الحل التفصيلي:
العدد: $\overline{5a8b}$ حيث a و b مجهولان
شرط القسمة على 5: آخر رقم = b ∈ {0, 5}
شرط القسمة على 4: آخر رقمين $\overline{8b}$ يجب أن يقبلا القسمة على 4
• إذا b = 0: 80 ÷ 4 = 20 ✓
• إذا b = 5: 85 ÷ 4 = 21.25 ✗
إذن: b = 0
شرط القسمة على 3: العدد: $\overline{5a80}$
مجموع الأرقام: $5 + a + 8 + 0 = a + 13$
يجب أن يكون $a + 13$ قابلاً للقسمة على 3
$a + 13 \equiv 0 \pmod{3}$
$a \equiv -13 \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$
إذن: a ∈ {2, 5, 8}
الحلول: • a = 2: العدد 5280 ✅
• a = 5: العدد 5580 ✅
• a = 8: العدد 5880 ✅
4) بيّن أن العدد $20 \times 9^{2500} + 13 \times 3^{5000} - 243^{1001}$ يقبل القسمة على 25
مستحيل! لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة
$|x| \geq 0$ دائماً
الحل: لا يوجد حل (مستحيل) ❌
📐 التمرين رقم 3 (الهندسة والتناظر) 🎨
1) أرسم مثلثاً ABC قائم الزاوية ثم ابن Δ الموسط العمودي للقطعة [AB] الذي يقطعه في I
و عين النقطة J من [AC] بحيث $AJ = 3\text{cm}$
✅ الإنشاء:
الخطوات: • نرسم المثلث ABC قائم الزاوية في A (على سبيل المثال)
• نبني الموسط العمودي Δ للقطعة [AB]
• Δ يقطع [AB] في منتصفه I
• على [AC]، نضع J بحيث AJ = 3cm
2) أ) ابن النقطة D مناظرة C بالنسبة إلى I
✅ الإنشاء:
لإنشاء D مناظرة C بالنسبة لـ I:
• نرسم المستقيم (IC)
• نمده بعد I
• نضع D بحيث IC = ID
• أي I منتصف [CD]
ب) بيّن أن $(BD) \parallel \Delta$
✅ البرهان:
• Δ هو الموسط العمودي لـ [AB]
• إذن Δ ⊥ (AB) و I منتصف [AB]
• بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
- A → B (لأن I منتصف [AB])
- C → D (معطى)
• والتناظر المركزي يحافظ على التوازي
• بما أن Δ عمودي على (AB)
إذن $(BD) \parallel \Delta$ ✅
3) أ) ابن النقطة K مناظرة J بالنسبة إلى I
✅ الإنشاء:
لإنشاء K مناظرة J بالنسبة لـ I:
• نرسم المستقيم (IJ)
• نمده بعد I
• نضع K بحيث IJ = IK
• أي I منتصف [JK]
ب) بيّن أن $K \in (BD)$
✅ البرهان:
بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
• A → B
• C → D
• J → K (معطى)
• J ∈ (AC) (معطى)
إذن K ∈ صورة (AC) = (BD)
وبالتالي $K \in (BD)$ ✅
ج) بيّن أن $KD = 2\text{cm}$
✅ البرهان:
المعطيات: • $AJ = 3\text{cm}$
• J على [AC]
هذا السؤال يحتاج معطيات إضافية عن طول AC أو موقع J.
إذا افترضنا أن $AC = 5\text{cm}$ مثلاً:
• $JC = AC - AJ = 5 - 3 = 2\text{cm}$
• بالتناظر: $KD = JC = 2\text{cm}$
💡 ملاحظة: الحل يعتمد على معطيات إضافية غير موجودة في السؤال
4) حدد طبيعة الرباعي ACBD معللاً جوابك
✅ الحل:
من الأسئلة السابقة:
• I منتصف [AB] (معطى)
• I منتصف [CD] (لأن D مناظرة C بالنسبة لـ I)
إذن قطرا الرباعي ACBD يتقاطعان في منتصفهما I
وبالتالي ACBD متوازي أضلاع ✅
5) لتكن M نقطة تقاطع (AD) و Δ و النقطة P تقاطع Δ و (BC)
بيّن أن $(MJ) \parallel (PK)$
✅ البرهان:
بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
• A → B
• D → C
• J → K
• (AD) → (BC)
• M على (AD) و Δ
• P على (BC) و Δ
• بما أن M و P على Δ و I على Δ
• والتناظر يحافظ على التوازي
إذن $(MJ) \parallel (PK)$ ✅
🔺 التمرين رقم 4 (المثلث والموسط العمودي) 🎯
ABC مثلثاً و Δ الموسط العمودي لـ [BC]
1) إبن النقطة A' مناظرة A حول Δ
✅ الإنشاء:
لإنشاء A' مناظرة A بالنسبة لـ Δ:
• نرسم العمودي من A على Δ ليقطعه في H
• نمد هذا العمودي بعد H
• نضع A' بحيث H منتصف [AA']
2) قارن بين $\widehat{BAC}$ و $\widehat{C'BA}$
✅ الحل:
بالتناظر المحوري بالنسبة لـ Δ:
• A → A'
• B → C (لأن Δ موسط عمودي لـ [BC])
• C → B
• الزاوية $\widehat{BAC}$ → الزاوية $\widehat{CA'B}$
إذن $\widehat{BAC} = \widehat{CA'B}$ ✅
3) (AC) يقطع Δ في I. بيّن أن النقاط A', I, B على استقامة واحدة
✅ البرهان:
بالتناظر المحوري بالنسبة لـ Δ:
• A → A'
• C → B (لأن Δ موسط عمودي لـ [BC])
• (AC) → (A'B)
• I على (AC) و Δ
• إذن I على (A'B)
وبالتالي A', I, B على استقامة واحدة ✅
4) (AB) و (A'C) يتقاطعان في J. بيّن أن المثلث JBC متقايس الأضلاع
✅ البرهان:
هذا السؤال يحتاج معطيات إضافية لكي يكون JBC متقايس الأضلاع، يجب أن:
• $JB = JC = BC$
أو أن جميع زواياه متساوية (60°)
بدون معطيات إضافية، لا يمكن إثبات ذلك.
5) الموازي لـ [BC] المار من I يقطع (AB) في E و (A'C) في F
بيّن أن E و F متناظرتان بالنسبة إلى Δ
✅ البرهان:
بالتناظر المحوري بالنسبة لـ Δ:
• (AB) → (A'C)
• (BC) → (CB) أي نفس المستقيم
• المستقيم الموازي لـ [BC] → مستقيم موازٍ لـ [BC]
• E على (AB) و على الموازي
• F على (A'C) و على الموازي
• كلاهما على بعد متساوٍ من Δ
إذن E و F متناظرتان بالنسبة إلى Δ ✅