فرض مراقبة رياضيات - مثال رقم 4 🎯

🔢 التمرين رقم 1 (قابلية القسمة) 📐

أ) ضع رقماً مكان النقطة لكي يصبح العدد $\overline{3.2.6}$ قابلاً للقسمة على 3 و 4 (أعط جميع الحلول)

✅ الحل التفصيلي:

العدد: $\overline{3a2b6}$ حيث a و b مجهولان

شرط القسمة على 4:
آخر رقمين $\overline{b6}$ يجب أن يقبلا القسمة على 4
الأعداد المنتهية بـ 6 التي تقبل القسمة على 4: 16, 36, 56, 76, 96
إذن: b ∈ {1, 3, 5, 7, 9}

شرط القسمة على 3:
مجموع الأرقام: $3 + a + 2 + b + 6 = a + b + 11$
يجب أن يكون $a + b + 11$ قابلاً للقسمة على 3
إذن: $a + b + 11 \equiv 0 \pmod{3}$
أي: $a + b \equiv 1 \pmod{3}$

الحلول الممكنة:
• إذا b = 1: $a + 1 \equiv 1 \pmod{3}$ → a ∈ {0, 3, 6, 9} → الأعداد: 30216, 33216, 36216, 39216
• إذا b = 3: $a + 3 \equiv 1 \pmod{3}$ → a ∈ {1, 4, 7} → الأعداد: 31236, 34236, 37236
• إذا b = 5: $a + 5 \equiv 1 \pmod{3}$ → a ∈ {2, 5, 8} → الأعداد: 32256, 35256, 38256
• إذا b = 7: $a + 7 \equiv 1 \pmod{3}$ → a ∈ {0, 3, 6, 9} → الأعداد: 30276, 33276, 36276, 39276
• إذا b = 9: $a + 9 \equiv 1 \pmod{3}$ → a ∈ {1, 4, 7} → الأعداد: 31296, 34296, 37296

ب) بيّن أن العدد $5 \times 3^{2008} + 25^{1005}$ يقبل القسمة على 28

✅ الحل التفصيلي:

العدد: $A = 5 \times 3^{2008} + 25^{1005}$

نحلل: $25^{1005} = (5^2)^{1005} = 5^{2010}$
إذن: $A = 5 \times 3^{2008} + 5^{2010}$
$A = 5(3^{2008} + 5^{2009})$

لكي يقبل A القسمة على 28 = 4 × 7، يجب أن يقبل القسمة على 4 و 7

القسمة على 4:
$3^{2008} \equiv (-1)^{2008} \equiv 1 \pmod{4}$
$5^{2009} \equiv 1^{2009} \equiv 1 \pmod{4}$
إذن: $3^{2008} + 5^{2009} \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{4}$
وبالتالي: $A = 5(3^{2008} + 5^{2009}) \equiv 5 \times 2 \equiv 10 \equiv 2 \pmod{4}$

ملاحظة: هناك خطأ في السؤال أو يحتاج لإعادة فحص

ت) أكمل الجدول التالي:

العدد	25468	3265412
باقي القسمة على 4
باقي القسمة على 25
باقي القسمة على 8

✅ الحل التفصيلي:

للعدد 25468:
• باقي القسمة على 4: آخر رقمين = 68، $68 = 4 \times 17$، الباقي = 0
• باقي القسمة على 25: آخر رقمين = 68، $68 = 25 \times 2 + 18$، الباقي = 18
• باقي القسمة على 8: آخر 3 أرقام = 468، $468 = 8 \times 58 + 4$، الباقي = 4

للعدد 3265412:
• باقي القسمة على 4: آخر رقمين = 12، $12 = 4 \times 3$، الباقي = 0
• باقي القسمة على 25: آخر رقمين = 12، الباقي = 12
• باقي القسمة على 8: آخر 3 أرقام = 412، $412 = 8 \times 51 + 4$، الباقي = 4

العدد	25468	3265412
باقي القسمة على 4	0	0
باقي القسمة على 25	18	12
باقي القسمة على 8	4	4

ث) بيّن أن العدد $a = 3^{601} + 9^{301} - 4 \times 27^{200}$ يقبل القسمة على 8

✅ الحل التفصيلي:

نحلل: $a = 3^{601} + 9^{301} - 4 \times 27^{200}$
$= 3^{601} + (3^2)^{301} - 4 \times (3^3)^{200}$
$= 3^{601} + 3^{602} - 4 \times 3^{600}$
$= 3^{600}(3 + 3^2 - 4)$
$= 3^{600}(3 + 9 - 4)$
$= 3^{600} \times 8$

إذن $a = 8 \times 3^{600}$ يقبل القسمة على 8 ✅

ج) استنتج باقي قسمة العدد $a + 123456789427$ على 8

✅ الحل التفصيلي:

من السؤال السابق: $a \equiv 0 \pmod{8}$

نحسب باقي قسمة 123456789427 على 8:
آخر 3 أرقام: 427
$427 = 8 \times 53 + 3$
إذن: $123456789427 \equiv 3 \pmod{8}$

وبالتالي:
$a + 123456789427 \equiv 0 + 3 \equiv 3 \pmod{8}$

باقي القسمة على 8 هو: 3 ✅

🔢 التمرين رقم 2 (المجموعات) 🎯

نعتبر المجموعة التالية: $$F = \left\{-(-7); \frac{18}{3}; -|-1|; \frac{11}{4}; 3.25; -\sqrt{6^2 + 8^2}; 3; -5\right\}$$ $$E = \left\{\frac{75}{25}; 0; \frac{16}{26}; -\sqrt{121}; 10^3; -\sqrt{\frac{100}{10}}; 5; -\frac{666}{222}; \frac{81}{9}; \frac{1089}{99}; -6\right\}$$

1) حدد المجموعات التالية: $E \cap \mathbb{Z}$، $E \cap \mathbb{N}^*$، $E \cap \mathbb{Z}^*$، $E \cap \mathbb{Z}_-$

✅ الحل التفصيلي:

أولاً: تبسيط عناصر E:
• $\frac{75}{25} = 3$
• $0 = 0$
• $\frac{16}{26} = \frac{8}{13}$ (غير صحيح)
• $-\sqrt{121} = -11$
• $10^3 = 1000$
• $-\sqrt{\frac{100}{10}} = -\sqrt{10}$ (غير صحيح)
• $5 = 5$
• $-\frac{666}{222} = -3$
• $\frac{81}{9} = 9$
• $\frac{1089}{99} = 11$
• $-6 = -6$

الأعداد الصحيحة من E: {-11, -6, -3, 0, 3, 5, 9, 11, 1000}

الإجابات:
• $E \cap \mathbb{Z} = \{-11, -6, -3, 0, 3, 5, 9, 11, 1000\}$
• $E \cap \mathbb{N}^* = \{3, 5, 9, 11, 1000\}$
• $E \cap \mathbb{Z}^* = \{-11, -6, -3, 3, 5, 9, 11, 1000\}$
• $E \cap \mathbb{Z}_- = \{-11, -6, -3, 0\}$

2) أ) حدد عناصر المجموعة E التي تساوي قيمتها المطلقة

✅ الحل:

العدد يساوي قيمته المطلقة إذا كان $x \geq 0$
من الأعداد الصحيحة في E:
الأعداد الموجبة والصفر: {0, 3, 5, 9, 11, 1000}

العناصر التي تساوي قيمتها المطلقة: {0, 3, 5, 9, 11, 1000} ✅

ب) حدد العناصر السالبة من F التي قيمتها المطلقة أصغر أو تساوي 11

✅ الحل:

تبسيط عناصر F:
• $-(-7) = 7$
• $\frac{18}{3} = 6$
• $-|-1| = -1$
• $\frac{11}{4} = 2.75$
• $3.25 = 3.25$
• $-\sqrt{6^2 + 8^2} = -\sqrt{36 + 64} = -\sqrt{100} = -10$
• $3 = 3$
• $-5 = -5$

العناصر السالبة: {-1, -5, -10}
التي قيمتها المطلقة ≤ 11: كلها ✓

الإجابة: {-1, -5, -10} ✅

ج) حدد العناصر السالبة من المجموعة E التي قيمتها المطلقة تساوي 3

✅ الحل:

العناصر السالبة من E: {-11, -6, -3}
نبحث عن x حيث $|x| = 3$ و $x < 0$
إذن: $x = -3$

الإجابة: {-3} ✅

📐 التمرين رقم 3 (متوازي الأضلاع والتناظر) 🎨

ليكن ABCD متوازي أضلاع و I منتصف [AD]

1) ابن E مناظرة C بالنسبة لـ I

✅ الإنشاء:

لإنشاء E مناظرة C بالنسبة لـ I:
• نرسم المستقيم (IC)
• نمده بعد I
• نضع E بحيث IC = IE
• أي I منتصف [CE]

2) أ) بيّن أن $(CD) \parallel (AE)$

✅ البرهان:

المعطيات:
• ABCD متوازي أضلاع
• I منتصف [AD]
• E مناظرة C بالنسبة لـ I

البرهان:
في متوازي الأضلاع ABCD: $(CD) \parallel (AB)$
بما أن I منتصف [AD] و E مناظرة C بالنسبة لـ I
والتناظر المركزي يحافظ على التوازي
إذن: $(CD) \parallel (AE)$ ✅

ب) بيّن أن $CD = AE$

✅ البرهان:

التناظر المركزي يحافظ على الأطوال
بما أن E مناظرة C بالنسبة لـ I
و D مناظرة A بالنسبة لـ I
إذن: $CD = AE$ ✅

ج) استنتج أن A منتصف [BE]

✅ الاستنتاج:

من البرهانين السابقين:
• $(CD) \parallel (AE)$ و $CD = AE$
إذن AECD متوازي أضلاع
وبالتالي قطراه [AD] و [CE] يتقاطعان في منتصفهما
بما أن I منتصف [AD] و I منتصف [CE]
في الرباعي ABCE: A منتصف [BE] ✅

2) المستقيم (BI) يقطع (CD) في F
أ) بيّن ان I منتصف [BF]

✅ البرهان:

في متوازي الأضلاع ABCD:
• I منتصف [AD]
• (BI) يقطع (CD) في F
بخاصية متوازي الأضلاع والمستقيم المار بمنتصف ضلع
إذن: I منتصف [BF] ✅

ب) استنتج أن $EF = BC$

✅ الاستنتاج:

من السؤال السابق: I منتصف [BF]
و E مناظرة C بالنسبة لـ I
بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
• B → F
• C → E
إذن: $BC = FE$ ✅

3) عين O منتصف [AE] و O' منتصف [CD]
بيّن أن O و O' متناظرتان بالنسبة إلى I

✅ البرهان:

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
• A → D
• E → C
• منتصف [AE] → منتصف [DC]
أي: O → O'
إذن O و O' متناظرتان بالنسبة إلى I ✅

⭕ التمرين رقم 4 (الدائرة والمماسات) 🎯

دائرة (C) مركزها O و قطرها [AB] بحيث $AB = 8\text{cm}$

1) ابن المماسان Δ و Δ' للدائرة (C) في A و B على التوالي

✅ الإنشاء:

لإنشاء المماس Δ في A:
• نرسم نصف القطر [OA]
• نرسم عمودياً على (OA) يمر من A
• هذا هو المماس Δ

لإنشاء المماس Δ' في B:
• نرسم نصف القطر [OB]
• نرسم عمودياً على (OB) يمر من B
• هذا هو المماس Δ'

2) حدد مناظرة النقطة A بالنسبة إلى O مع تعليل الجواب

✅ الحل:

بما أن [AB] قطر الدائرة
و O مركز الدائرة
إذن O منتصف [AB]
وبالتالي مناظرة A بالنسبة لـ O هي B ✅

3) بيّن أن Δ و Δ' متوازيان

✅ البرهان:

• Δ عمودي على (AB) في A
• Δ' عمودي على (AB) في B
إذن Δ و Δ' كلاهما عموديان على نفس المستقيم (AB)
وبالتالي Δ ∥ Δ' ✅

4) استنتج أن Δ' مناظرة Δ بالنسبة إلى O

✅ الاستنتاج:

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ O:
• A → B
• المماس في A → المماس في B
• Δ → Δ'
إذن Δ' مناظرة Δ بالنسبة إلى O ✅

5) أ) أرسم مستقيماً D يمر من O و يقطع Δ في P و Δ' في Q
ب) بيّن أن P و Q متناظرتان بالنسبة إلى O

✅ البرهان:

• P على Δ و Q على Δ'
• كلاهما على المستقيم D الذي يمر من O
• بما أن Δ' مناظرة Δ بالنسبة لـ O
• وكلا النقطتين على مستقيم يمر من O
إذن P و Q متناظرتان بالنسبة إلى O ✅

6) بيّن أن $(BP) \parallel (AQ)$ و أن $BP = AQ$

✅ البرهان:

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ O:
• A → B
• P → Q
والتناظر المركزي يحافظ على التوازي والأطوال
إذن $(BP) \parallel (AQ)$ و $BP = AQ$ ✅

7) بيّن أن $\widehat{OPA} = \widehat{OQB}$

✅ البرهان:

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ O:
• الزاوية $\widehat{OPA}$ → الزاوية $\widehat{OQB}$
والتناظر المركزي يحافظ على قياسات الزوايا
إذن $\widehat{OPA} = \widehat{OQB}$ ✅

8) لتكن M مناظرة Q بالنسبة إلى B. بيّن أن $\widehat{OMB} = \widehat{OPA}$

✅ البرهان:

من السؤال السابق: $\widehat{OPA} = \widehat{OQB}$
بما أن M مناظرة Q بالنسبة لـ B
والتناظر المركزي يحافظ على الزوايا
$\widehat{OQB} = \widehat{OMB}$
إذن $\widehat{OMB} = \widehat{OPA}$ ✅

🎉 بالتوفيق لجميع التلاميذ 🎉

إعداد: الأستاذ فوزي الغربي

🎯 فرض مراقبة عدد 1 رياضيات 🚀