🎯 فرض مراقبة رياضيات عدد 1 🚀

$64 \times 5^{21} + 4 \times 3^7 \times 12^4$

تحليل الجزء الأول:
$64 = 4 \times 16 = 4 \times 4 \times 4$
إذن: $64 \times 5^{21} = 4 \times 16 \times 5^{21}$

تحليل الجزء الثاني:
$12^4 = (3 \times 4)^4 = 3^4 \times 4^4$
إذن: $4 \times 3^7 \times 12^4 = 4 \times 3^7 \times 3^4 \times 4^4 = 4^5 \times 3^{11}$

الجزء الأول: $64 \times 5^{21} = 4 \times 16 \times 5^{21}$ ✓ يقبل القسمة على 4
الجزء الثاني: $4^5 \times 3^{11}$ ✓ يقبل القسمة على 4
إذن العبارة تقبل القسمة على 4 ✅

الجزء الأول: $64 \times 5^{21}$ لا يحتوي على العامل 3 ❌
الجزء الثاني: $4^5 \times 3^{11}$ ✓ يقبل القسمة على 3
لكن مجموع عددين أحدهما يقبل القسمة على 3 لا يعني أن المجموع يقبل القسمة على 3

تحليل أدق: نحتاج لتحقق أكثر دقة
في الواقع، $64 = 2^6$ و $12 = 3 \times 4$
نخرج العامل المشترك 4:
$= 4 \times (16 \times 5^{21} + 3^7 \times 3^4 \times 4^4)$
$= 4 \times (16 \times 5^{21} + 3^{11} \times 4^4)$

للتحقق من القسمة على 3، نحتاج أن يكون $16 \times 5^{21} + 3^{11} \times 4^4$ يقبل القسمة على 3
$16 \equiv 1 \pmod{3}$ و $5 \equiv 2 \pmod{3}$
$16 \times 5^{21} \equiv 1 \times 2^{21} \equiv 2^{21} \pmod{3}$
لكن $2^{21}$ لا يقبل القسمة على 3

$12 = 3 \times 4$
نخرج $4 \times 3$:
$= 4 \times 3 \times (\text{...})$ إذا أمكن
الجزء الثاني: $4 \times 3^7 \times 12^4 = 4 \times 3^7 \times (12)^4$
$= 4 \times 3^7 \times 12 \times 12^3 = 12 \times 4 \times 3^7 \times 12^3$
هذا يقبل القسمة على 12 بوضوح ✓

العدد: $\overline{60a348}$
آخر 3 أرقام: $\overline{348}$

ملاحظة: آخر 3 أرقام لا تتضمن a!
إذن نحتاج لإعادة النظر

آخر 3 أرقام من $\overline{60a348}$ هي: $\overline{348}$ (ثابتة، لا تعتمد على a)

نتحقق: $348 \div 8 = 43.5$ ❌

تصحيح: ربما العدد مكتوب بشكل مختلف
إذا كان العدد: $\overline{60a348}$ حيث a في موقع مختلف

لنفترض أن آخر 3 أرقام هي: $\overline{a48}$
نبحث عن a بحيث $\overline{a48}$ يقبل القسمة على 8:
• $a=0$: $048 = 48 \div 8 = 6$ ✓
• $a=1$: $148 \div 8 = 18.5$ ❌
• $a=2$: $248 \div 8 = 31$ ✓
• $a=3$: $348 \div 8 = 43.5$ ❌
• $a=4$: $448 \div 8 = 56$ ✓
• $a=5$: $548 \div 8 = 68.5$ ❌
• $a=6$: $648 \div 8 = 81$ ✓
• $a=7$: $748 \div 8 = 93.5$ ❌
• $a=8$: $848 \div 8 = 106$ ✓
• $a=9$: $948 \div 8 = 118.5$ ❌

إذا كانت A و B متناظرتين بالنسبة لـ O فإن:
• O هي منتصف [AB] ✅
• OA = OB ✅
• A و O و B على استقامة واحدة

1. O منتصف [AB]: صحيح ✅ (من تعريف التناظر)

2. A منتصف [OB]: خطأ ❌
(A ليست بين O و B، بل O بين A و B)

3. AB = AO: خطأ ❌
$AB = AO + OB = AO + AO = 2 \times AO$
إذن $AB \neq AO$

4. OA = OB: صحيح ✅
(لأن O منتصف [AB])

الحالة 1: إذا كان $x \geq 0$
$|x| = x$
المعادلة تصبح: $x = -x$
$2x = 0$
$x = 0$ ✓

الحالة 2: إذا كان $x < 0$
$|x| = -x$
المعادلة تصبح: $-x = -x$ ✓
هذا صحيح لكل $x < 0$

المعادلة $|x| = -x$ تتحقق عندما:
• $x = 0$ أو
• $x < 0$ (أي x سالب)

إذن المجموعة هي: $\{x \in \mathbb{Z} : x \leq 0\}$
وهذه هي مجموعة $\mathbb{Z}_- = \{..., -3, -2, -1, 0\}$ ✅

نحسب خطوة بخطوة:
$-(-(-12))$

الخطوة 1: $-12$ (عدد سالب)
الخطوة 2: $-(-12) = 12$ (مقابل السالب = موجب)
الخطوة 3: $-(12) = -12$ (مقابل الموجب = سالب)

إذن: $-(-(-12)) = -12$

التصنيف:
$-12$ عدد صحيح سالب
$-12 \in \mathbb{Z}_-$ ✅
$-12 \notin \mathbb{Z}_+$ ❌

• $-(-2) = 2$ ✓
• $|-21456| = 21456$ ✓
• $-2$ يبقى كما هو ✓
• $0.03$ عدد عشري (ليس صحيحاً)
• $\frac{38664}{9} = 4296$ ✓
• $O$ (الحرف O؟) نفترض أنه 0
• $\frac{37258}{8} = 4657.25$ (ليس صحيحاً)
• $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ ✓

الأعداد الصحيحة من A:
$\{2, 21456, -2, 4296, 0, 5\}$

1. $A \cap \mathbb{Z}$:
$A \cap \mathbb{Z} = \{-2, 0, 2, 5, 4296, 21456\}$ ✅

2. $A \cap \mathbb{Z}_+^*$:
$\mathbb{Z}_+^* = \{1, 2, 3, 4, ...\}$ (الأعداد الصحيحة الموجبة)
$A \cap \mathbb{Z}_+^* = \{2, 5, 4296, 21456\}$ ✅

3. $A \cap \mathbb{Z}_-$:
$\mathbb{Z}_- = \{..., -2, -1, 0\}$ (الأعداد السالبة والصفر)
$A \cap \mathbb{Z}_- = \{-2, 0\}$ ✅

4. $\mathbb{Z} \cup \mathbb{N}$:
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ (الأعداد الطبيعية جزء من الأعداد الصحيحة)
$\mathbb{Z} \cup \mathbb{N} = \mathbb{Z}$ ✅

5. $\mathbb{Z}_- \cup \mathbb{Z}_+^*$:
$\mathbb{Z}_- = \{..., -2, -1, 0\}$
$\mathbb{Z}_+^* = \{1, 2, 3, ...\}$
$\mathbb{Z}_- \cup \mathbb{Z}_+^* = \mathbb{Z}$ ✅
(كل الأعداد الصحيحة)

6. $\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Z}_+^*$:
لا يوجد عنصر مشترك (السالبة والصفر مع الموجبة فقط)
$\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Z}_+^* = \emptyset$ ✅

نتحقق من كل عنصر صحيح في A:

• $2$: $2 \div 12$ ❌
• $21456$: نتحقق
- مجموع أرقام: $2+1+4+5+6 = 18$ ✓ (يقبل القسمة على 3)
- آخر رقمين: 56 ÷ 4 = 14 ✓ (يقبل القسمة على 4)
- إذن يقبل القسمة على 12 ✅
• $-2$: $-2 \div 12$ ❌
• $4296$: نتحقق
- مجموع أرقام: $4+2+9+6 = 21$ ✓ (يقبل القسمة على 3)
- آخر رقمين: 96 ÷ 4 = 24 ✓ (يقبل القسمة على 4)
- إذن يقبل القسمة على 12 ✅
• $0$: يقبل القسمة على أي عدد ✅
• $5$: $5 \div 12$ ❌

العدد: $\overline{a7b5}$ حيث a و b مجهولان

شرط القسمة على 4:
آخر رقمين $\overline{b5}$ يجب أن يقبلا القسمة على 4
الأعداد المنتهية بـ 5 التي تقبل القسمة على 4: لا يوجد!
(الأعداد القابلة للقسمة على 4 تنتهي بـ 00, 04, 08, 12, 16, 20, ...)

العدد: $\overline{a75b}$

شرط القسمة على 4:
آخر رقمين $\overline{5b}$ يجب أن يقبلا القسمة على 4
$b = 2$: 52 ÷ 4 = 13 ✓
$b = 6$: 56 ÷ 4 = 14 ✓

شرط القسمة على 9:
مجموع الأرقام: $a + 7 + 5 + b = a + b + 12$

إذا $b = 2$: $a + 14$ يقبل القسمة على 9
$a = 4$: $4 + 14 = 18$ ✓ → العدد 4752

إذا $b = 6$: $a + 18$ يقبل القسمة على 9
$a = 0$: $0 + 18 = 18$ ✓ → العدد 0756
$a = 9$: $9 + 18 = 27$ ✓ → العدد 9756

العدد: $\overline{5ab3}$ حيث a و b مجهولان

شرط القسمة على 25:
آخر رقمين $\overline{b3}$ يجب أن يقبلا القسمة على 25
الأعداد التي تقبل القسمة على 25: 00, 25, 50, 75
من هذه، الأعداد المنتهية بـ 3: لا يوجد! ❌

مناظر مستقيم بالتناظر المركزي هو مستقيم موازٍ له
إذن: $\Delta' \parallel \Delta$

الطريقة 1: باستخدام نقطتين
1. نختار نقطتين P و Q على المستقيم $\Delta$
2. نبني P' مناظرة P بالنسبة لـ O (باستخدام الكوس)
- نرسم [OP] ونمدده
- نضع الكوس على O بفتحة = OP
- نضع P' بحيث O منتصف [PP']
3. نبني Q' مناظرة Q بالنسبة لـ O (بنفس الطريقة)
4. المستقيم $\Delta'$ هو (P'Q')

الطريقة 2: باستخدام التوازي
1. نختار نقطة M على $\Delta$
2. نبني M' مناظرة M بالنسبة لـ O
3. من M'، نرسم موازياً لـ $\Delta$ باستخدام الكوس
(بنقل المسافات العمودية)

بما أن التناظر المركزي يحافظ على:
• التوازي
• المسافات
• الاستقامة

فإن مناظر $\Delta$ هو مستقيم $\Delta'$ يوازي $\Delta$
ويمر بمناظر أي نقطة من $\Delta$ ✅

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
• مناظرة A هي D (لأن I منتصف [AD])
• نحتاج إلى إيجاد مناظرة B

بما أن مناظر مستقيم هو مستقيم موازٍ له
و (AB) // (CD) (في شبه المنحرف)
إذن مناظر (AB) يجب أن يوازي (AB)

بما أن D مناظرة A، ومناظر (AB) يمر بـ D
و (AB) // (CD)
إذن مناظر (AB) هو (CD) ✅

لإنشاء C' مناظرة C بالنسبة لـ I:
• نرسم المستقيم (IC)
• نمده بعد I
• نضع C' بحيث IC' = IC
• أي I منتصف [CC']

ملاحظة: السؤال يطلب حساب C'AD (ربما المقصود طول قطعة أو زاوية)

إذا كان المقصود طول C'D:

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
• C' مناظرة C
• A مناظرة D

إذن القطعة [C'D] مناظرة القطعة [CA]
والتناظر المركزي يحافظ على الأطوال
إذن: C'D = CA

لكن لا توجد معطيات كافية لحساب CA

نستخدم خاصية شبه المنحرف
لكن نحتاج معلومات إضافية عن الشكل

المعطيات:
• K مسقط B على (CD)، أي (BK) ⊥ (CD)
• L مناظرة K بالنسبة لـ I

البرهان:
بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
• K → L
• B → (مناظرة B) = B'
• (BK) → (B'L)

بما أن (BK) ⊥ (CD)
و التناظر يحافظ على التعامد
فإن (B'L) ⊥ (صورة CD)

بما أن التناظر المركزي يحافظ على المنتصفات
و I منتصف [AD]
فإن L يجب أن يكون منتصف [AC'] ✅

إكمال العبارة:
T هي نقطة تقاطع (AB) و (IT)
إذا مناظرة T بالنسبة لـ I تقع على مناظر (AB) وهو (CD)

البرهان الكامل:
• T على (AB)
• بالتناظر المركزي بالنسبة لـ I:
- مناظر (AB) هو (CD)
- مناظرة T تقع على (CD)
• T على (IT) و I على (IT)
• مناظرة T تقع على (IT)

إذن مناظرة T هي تقاطع (CD) و (IT)
وهذه هي النقطة U
إذن U و T متناظرتان بالنسبة لـ I ✅

من السؤال السابق:
• U و T متناظرتان بالنسبة لـ I
• A و D متناظرتان بالنسبة لـ I (معطى)

إذن I منتصف [UT] و I منتصف [AD]

في الرباعي ATDU:
• القطران [AD] و [UT] يتقاطعان في منتصفهما I
إذن ATDU متوازي أضلاع ✅

لإنشاء N (مناظرة M بالنسبة لـ $\Delta$):
• نرسم العمودي من M على $\Delta$ ليقطعه في H
• نمد هذا العمودي بعد H
• نضع N بحيث H منتصف [MN]

لإنشاء P (مناظرة M بالنسبة لـ $\Delta'$):
• نرسم العمودي من M على $\Delta'$ ليقطعه في K
• نمد هذا العمودي بعد K
• نضع P بحيث K منتصف [MP]

بالتناظر المحوري بالنسبة لـ $\Delta'$:
• O → O (لأن O على المحور $\Delta'$)
• M → P (معطى)
• H منتصف [MN]، ونبحث عن صورة H

صورة الزاوية $[OM, OH]$ هي $[OP, OK]$
(حيث K هو صورة H)

بالتناظر المحوري بالنسبة لـ $\Delta$:
• M → N (معطى)
• O → O (على المحور)
• (OM) → (ON)

بما أن H على المحور $\Delta$
و $\Delta$ هو المحور المتوسط بين M و N
فإن (OH) يصنع نفس الزاوية مع (OM) ومع (ON)
إذن (OH) منصف الزاوية $[ON, OM]$ ✅

بالتناظر المحوري بالنسبة لـ $\Delta$:
• O → O
• N → M
• K → K' (صورة K)

صورة الزاوية $[ON, OK]$ هي $[OM, OK']$

بنفس طريقة السؤال 3:
• P و N متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta'$
• K على المحور $\Delta'$
• إذن (OK) منصف الزاوية $[OP, ON]$ ✅

باستخدام خاصية التناظرات:
• M → N بالنسبة لـ $\Delta$
• N → P بالنسبة لـ $\Delta'$
• $\Delta \perp \Delta'$ في O

بتركيب تناظرين محوريين حول محورين متعامدين
نحصل على تناظر مركزي بالنسبة لنقطة تقاطعهما
إذن M → P بتناظر مركزي حول O
إذن O منتصف [MP] ✅