🎯 فرض مراقبة رياضيات عدد 1 🚀

📚 الثامنة أساسي - مثال رقم 2 🤪✨
🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة 🌊
👨‍🏫 إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
🚀 التمرين عدد 1 (4 نقاط) 💯
🎯 ضع علامة x أمام الإجابة الصحيحة الوحيدة 🤔
1) باقي قسمة العدد 123456784 على 8 هو:
0 ✅
2 ❌
4 ❌

✅ الحل التفصيلي:

قاعدة: لحساب باقي القسمة على 8، نأخذ آخر 3 أرقام

آخر 3 أرقام من 123456784 هي: 784
نقسم: $784 \div 8 = 98$
$784 = 8 \times 98 + 0$
إذن الباقي = 0
الإجابة الصحيحة: 0 ✅
💡 قاعدة: عدد يقبل القسمة على 8 إذا كانت آخر 3 أرقام تقبل القسمة على 8
2) القيمة المطلقة للمجموع $7 + (-27)$ هو العدد:
20 ✅
34 ❌
$-20$ ❌

✅ الحل التفصيلي:

الخطوة 1: نحسب المجموع
$7 + (-27) = 7 - 27 = -20$

الخطوة 2: نحسب القيمة المطلقة
$|7 + (-27)| = |-20| = 20$
الإجابة الصحيحة: 20 ✅
💡 تذكير: القيمة المطلقة لعدد سالب هي مقابله (عدد موجب)
3) مقابل العدد $|3| + |-13|$ يساوي:
$|-3| + |13|$ ❌
$|-13| - |3|$ ❌
$|-3| + (-13)$ ✅

✅ الحل التفصيلي:

الخطوة 1: نحسب العدد الأصلي
$|3| + |-13| = 3 + 13 = 16$

الخطوة 2: مقابل 16 هو $-16$

الخطوة 3: نتحقق من الإجابات
• $|-3| + |13| = 3 + 13 = 16$ ❌
• $|-13| - |3| = 13 - 3 = 10$ ❌
• $|-3| + (-13) = 3 + (-13) = 3 - 13 = -16$ ✅
الإجابة الصحيحة: $|-3| + (-13)$ ✅
4) إذا كان (OI) مستقيماً مقترناً بالمعلم (O;I) و A نقطة منه حيث $x_A = 51$، فإن بُعد النقطة A عن النقطة أصل التدريج هو:
$-x_A$ ❌
0 ❌
$|{-x_A}|$ ✅

✅ الحل التفصيلي:

تعريف: البُعد بين نقطتين على مستقيم مدرج هو القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما

فاصلة النقطة O (أصل التدريج): $x_O = 0$
فاصلة النقطة A: $x_A = 51$

البُعد بين A و O:
$d(A, O) = |x_A - x_O| = |51 - 0| = |51| = 51$

نلاحظ أن: $|-x_A| = |-51| = 51$
الإجابة الصحيحة: $|{-x_A}|$ ✅
💡 قاعدة: البُعد = القيمة المطلقة للفرق بين الفاصلات
🧮 التمرين رقم 2 💫
🎨 قابلية القسمة والحساب 🧠✨
1) ضع رقماً مكان كل نقطة:
أ) العدد $\overline{.6.3}$ قابلاً للقسمة على 8 و 5 في نفس الوقت

✅ الحل التفصيلي:

شرط القسمة على 5:

رقم الآحاد يجب أن يكون 0 أو 5
العدد: $\overline{a6b3}$
رقم الآحاد = 3 (لا يتغير)
3 لا تساوي 0 ولا 5 ❌

مشكلة في السؤال: العدد $\overline{.6.3}$ لا يمكن أن يقبل القسمة على 5 لأن آحاده 3

التفسير المحتمل: ربما المقصود $\overline{.6.5}$ أو $\overline{.6.0}$

الحل إذا كان العدد $\overline{.6.0}$:

العدد: $\overline{a6b0}$
شرط القسمة على 5: ✓ (آحاده 0)

شرط القسمة على 8: آخر 3 أرقام $\overline{6b0}$ تقبل القسمة على 8
$b = 0$: $600 \div 8 = 75$ ✓
$b = 4$: $640 \div 8 = 80$ ✓
$b = 8$: $680 \div 8 = 85$ ✓
الحلول الممكنة: 0600, 1600, 2600, ..., 9600
أو: 0640, 1640, 2640, ..., 9640
أو: 0680, 1680, 2680, ..., 9680
ب) العدد $\overline{5..3}$ قابلاً للقسمة على 9 و 25 في نفس الوقت

✅ الحل التفصيلي:

شرط القسمة على 25:

آخر رقمين يجب أن يقبلا القسمة على 25
العدد: $\overline{5ab3}$
آخر رقمين: $\overline{b3}$ = 03, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93
من هذه الأرقام، فقط 75 تقبل القسمة على 25
لكن 75 تنتهي بـ 5 وليس 3 ❌

مشكلة: لا يوجد عدد ينتهي بـ 3 ويقبل القسمة على 25

تصحيح محتمل: ربما المقصود $\overline{5..5}$

إذا كان العدد $\overline{5ab5}$:
شرط القسمة على 25: آخر رقمين = 25 أو 75
• إذا $\overline{b5} = 25$ فإن $b = 2$
• إذا $\overline{b5} = 75$ فإن $b = 7$

شرط القسمة على 9: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 9

الحالة 1: $b = 2$، العدد $\overline{5a25}$
$5 + a + 2 + 5 = 12 + a$
$a = 6$: $12 + 6 = 18$ ✓ → العدد 5625

الحالة 2: $b = 7$، العدد $\overline{5a75}$
$5 + a + 7 + 5 = 17 + a$
$a = 1$: $17 + 1 = 18$ ✓ → العدد 5175
إذا كان السؤال $\overline{5..5}$: الحلول هي 5625 و 5175
2) نعتبر العدد الصحيح التالي: 32659
حدد باقي القسمة الإقليدية لهذا العدد على 9 ثم 4 ثم 8 في كل مرة مع تعليل الجواب

✅ الحل التفصيلي:

أ) باقي القسمة على 9:

القاعدة: باقي قسمة عدد على 9 = باقي قسمة مجموع أرقامه على 9

مجموع أرقام 32659:
$3 + 2 + 6 + 5 + 9 = 25$

$25 = 9 \times 2 + 7$

إذن باقي قسمة 32659 على 9 هو 7

ب) باقي القسمة على 4:

القاعدة: باقي قسمة عدد على 4 = باقي قسمة آخر رقمين على 4

آخر رقمين من 32659: 59
$59 = 4 \times 14 + 3$

إذن باقي قسمة 32659 على 4 هو 3

ج) باقي القسمة على 8:

القاعدة: باقي قسمة عدد على 8 = باقي قسمة آخر 3 أرقام على 8

آخر 3 أرقام من 32659: 659
$659 = 8 \times 82 + 3$

إذن باقي قسمة 32659 على 8 هو 3
النتائج:
• الباقي على 9: 7
• الباقي على 4: 3
• الباقي على 8: 3
3) بيّن أن $2 \times 3^{10} + 5 \times 4^4$ يقبل القسمة على 17 و 4

✅ الحل التفصيلي:

أ) إثبات القسمة على 4:

$2 \times 3^{10} + 5 \times 4^4$

نلاحظ أن: $4^4$ يقبل القسمة على 4
$5 \times 4^4 = 5 \times 4 \times 4^3 = 4 \times (5 \times 4^3)$
إذن $5 \times 4^4$ يقبل القسمة على 4 ✓

نتحقق من $2 \times 3^{10}$:
$3^{10}$ عدد فردي (قوى العدد 3 كلها فردية)
$2 \times 3^{10} = 2 \times (\text{عدد فردي})$
هذا يقبل القسمة على 2 فقط وليس على 4 ❌

إذن العبارة لا تقبل القسمة على 4

ملاحظة: هناك خطأ في السؤال، العبارة لا تقبل القسمة على 4

ب) إثبات القسمة على 17:

نحسب قيمة العبارة:
$3^{10} = (3^2)^5 = 9^5 = 59049$
$4^4 = 256$

$2 \times 59049 + 5 \times 256 = 118098 + 1280 = 119378$

نقسم على 17:
$119378 \div 17 = 7022 + \frac{4}{17}$

العبارة لا تقبل القسمة على 17
💡 استنتاج: يبدو أن هناك خطأ في نص السؤال
📊 التمرين عدد 3 (7 نقاط) 🎯
🌟 مجموعات الأعداد والحساب 💫
1) أ) أتمم بإحدى العلامات: $\in$ أو $\notin$ أو $\subset$ أو $\subseteq$:
• $0 .... \mathbb{Z}^*$
• $\mathbb{IN} .... \frac{1456972}{8}$
• $\{-1; -1.1; 0\} .... \mathbb{Z}_-$
• $\left\{-\frac{987156}{4}\right\} .... \mathbb{Z}_-^*$

✅ الحل التفصيلي:

1. $0 .... \mathbb{Z}^*$:
$\mathbb{Z}^*$ = مجموعة الأعداد الصحيحة غير المنعدمة
0 ليس من $\mathbb{Z}^*$
إذن: $0 \notin \mathbb{Z}^*$ ✅
2. $\mathbb{IN} .... \frac{1456972}{8}$:
نحسب: $\frac{1456972}{8} = 182121.5$
هذا عدد عشري وليس صحيحاً
$\mathbb{IN}$ مجموعة و $182121.5$ عدد
لا يمكن المقارنة بـ $\in$ أو $\notin$

تصحيح: ربما المقصود $\frac{1456972}{8} \in \mathbb{IN}$؟
الجواب: $\frac{1456972}{8} \notin \mathbb{IN}$ ✅
3. $\{-1; -1.1; 0\} .... \mathbb{Z}_-$:
$\mathbb{Z}_- = \{..., -3, -2, -1, 0\}$
$-1.1$ ليس عدداً صحيحاً
إذن المجموعة $\{-1; -1.1; 0\}$ ليست جزءاً من $\mathbb{Z}_-$
إذن: $\{-1; -1.1; 0\} \not\subset \mathbb{Z}_-$ ✅
4. $\left\{-\frac{987156}{4}\right\} .... \mathbb{Z}_-^*$:
نحسب: $-\frac{987156}{4} = -246789$
هذا عدد صحيح سالب غير منعدم
$\mathbb{Z}_-^* = \{..., -3, -2, -1\}$
إذن: $-246789 \in \mathbb{Z}_-^*$
إذن: $\left\{-\frac{987156}{4}\right\} \subset \mathbb{Z}_-^*$ ✅
ب) أتمم بما يناسب:
• $\mathbb{Z}_-^* \cup \mathbb{IN}^* = ......$
• $\mathbb{IN}^* \cap \mathbb{Z}_- = ......$

✅ الحل التفصيلي:

1. $\mathbb{Z}_-^* \cup \mathbb{IN}^*$:
$\mathbb{Z}_-^* = \{..., -3, -2, -1\}$ (الأعداد الصحيحة السالبة)
$\mathbb{IN}^* = \{1, 2, 3, ...\}$ (الأعداد الطبيعية الموجبة)

الاتحاد يجمع كل العناصر
إذن: $\mathbb{Z}_-^* \cup \mathbb{IN}^* = \mathbb{Z}^*$ ✅
(كل الأعداد الصحيحة غير المنعدمة)
2. $\mathbb{IN}^* \cap \mathbb{Z}_-$:
$\mathbb{IN}^* = \{1, 2, 3, ...\}$ (أعداد موجبة)
$\mathbb{Z}_- = \{..., -2, -1, 0\}$ (أعداد سالبة والصفر)

لا يوجد عنصر مشترك بينهما
إذن: $\mathbb{IN}^* \cap \mathbb{Z}_- = \emptyset$ ✅
2) لنعتبر المجموعة:
$A = \left\{\frac{987655}{25}; -13; \sqrt{\frac{324}{4}}; |-78|; 0; 3.4\right\}$
حدد: $A \cap \mathbb{IN}^*$

✅ الحل التفصيلي:

أولاً: تبسيط عناصر A:

$\frac{987655}{25} = 39506.2$ (ليس صحيحاً)
$-13$ عدد صحيح سالب
$\sqrt{\frac{324}{4}} = \sqrt{81} = 9$ عدد طبيعي موجب ✓
$|-78| = 78$ عدد طبيعي موجب ✓
$0$ صفر
$3.4$ عدد عشري
الآن نحدد $A \cap \mathbb{IN}^*$:
$\mathbb{IN}^* = \{1, 2, 3, 4, ...\}$

العناصر من A التي تنتمي لـ $\mathbb{IN}^*$:
• $9 \in \mathbb{IN}^*$ ✓
• $78 \in \mathbb{IN}^*$ ✓
$A \cap \mathbb{IN}^* = \{9, 78\}$ ✅
3) أ) أحسب: $S = [-21 + 3] + |3| + (-42) + [+(- 3) + 21]$

✅ الحل التفصيلي:

$S = [-21 + 3] + |3| + (-42) + [+(-3) + 21]$

الخطوة 1: نحسب كل جزء
$-21 + 3 = -18$
$|3| = 3$
$-42$ يبقى كما هو
$+(-3) + 21 = -3 + 21 = 18$

الخطوة 2: نجمع
$S = -18 + 3 + (-42) + 18$
$S = -18 + 3 - 42 + 18$
$S = (-18 + 18) + (3 - 42)$
$S = 0 + (-39)$
$S = -39$
$S = -39$ ✅
ب) أوجد العدد الصحيح النسبي x إن أمكن ذلك في الحالة التالية:
$3 = |-15 + |-x|| + (-3)$

✅ الحل التفصيلي:

$3 = |-15 + |-x|| + (-3)$

الخطوة 1: نعزل القيمة المطلقة
$3 - (-3) = |-15 + |-x||$
$3 + 3 = |-15 + |-x||$
$6 = |-15 + |-x||$

الخطوة 2: نحل القيمة المطلقة
$|-15 + |-x|| = 6$

هذا يعني: $-15 + |-x| = 6$ أو $-15 + |-x| = -6$

الحالة 1: $-15 + |-x| = 6$
$|-x| = 6 + 15 = 21$
$|-x| = 21$ يعني $|x| = 21$
إذن: $x = 21$ أو $x = -21$

الحالة 2: $-15 + |-x| = -6$
$|-x| = -6 + 15 = 9$
$|x| = 9$
إذن: $x = 9$ أو $x = -9$
التحقق من الحلول:
• $x = 21$: $3 = |-15 + 21| + (-3) = |6| - 3 = 6 - 3 = 3$ ✓
• $x = -21$: $3 = |-15 + 21| + (-3) = |6| - 3 = 3$ ✓
• $x = 9$: $3 = |-15 + 9| + (-3) = |-6| - 3 = 6 - 3 = 3$ ✓
• $x = -9$: $3 = |-15 + 9| + (-3) = |-6| - 3 = 3$ ✓
الحلول: $x \in \{-21, -9, 9, 21\}$ ✅
📐 التمرين رقم 4 (الهندسة) 🔬
🗿️ مثلث قائم الزاوية والتناظر المركزي 📏
ABC مثلث قائم الزاوية في A بحيث AB=3cm و AC=4cm و I منتصف [AC]
1) ابن النقطتين E و F على التوالي مناظرتي A و B بالنسبة إلى C

✅ الإنشاء:

لإنشاء E (مناظرة A بالنسبة لـ C):
• C هي منتصف [AE]
• نمدد المستقيم (AC) بعد C
• نضع نقطة E بحيث CE = CA

لإنشاء F (مناظرة B بالنسبة لـ C):
• C هي منتصف [BF]
• نمدد المستقيم (BC) بعد C
• نضع نقطة F بحيث CF = CB
2) بيّن أن (AF)//(EB)

✅ البرهان:

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ C:
• مناظرة (AB) هي (EF)
• التناظر المركزي يحافظ على التوازي
• إذن (AB) // (EF)

ملاحظة: السؤال يطلب إثبات (AF) // (EB)

في الرباعي ABFE:
• A مناظرة E بالنسبة لـ C
• B مناظرة F بالنسبة لـ C
• C منتصف كل من [AE] و [BF]
• إذن ABFE متوازي أضلاع
• في متوازي الأضلاع: (AF) // (BE) ✅
3) أحسب مساحة المثلث CEF معللاً جوابك

✅ الحل التفصيلي:

الطريقة: نستخدم التناظر المركزي

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ C:
• المثلث ABC له مناظر وهو المثلث EFC
• التناظر المركزي يحافظ على المساحات
• إذن: مساحة CEF = مساحة CAB

مساحة المثلث القائم ABC:
$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times AB \times AC$
$= \frac{1}{2} \times 3 \times 4$
$= 6 \text{ cm}^2$
مساحة المثلث CEF = 6 cm² ✅
4) ليكن J منتصف [CE]. بيّن أن C منتصف [IJ]

✅ البرهان:

المعطيات:
• I منتصف [AC]
• J منتصف [CE]
• C منتصف [AE] (لأن E مناظرة A بالنسبة لـ C)

البرهان:
بما أن C منتصف [AE]:
AC = CE

و I منتصف [AC]:
IC = $\frac{AC}{2}$

و J منتصف [CE]:
CJ = $\frac{CE}{2}$

بما أن AC = CE:
IC = CJ

و I و C و J على استقامة واحدة
إذن C منتصف [IJ] ✅
5) ما هي طبيعة الرباعي IBJF معللاً جوابك

✅ الحل:

البرهان:
من السؤال السابق: C منتصف [IJ]

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ C:
• I مناظرة J
• B مناظرة F (معطى)

إذن C منتصف [IJ] و C منتصف [BF]

في الرباعي IBJF:
• القطران [IJ] و [BF] يتقاطعان في منتصفهما C
• إذن IBJF متوازي أضلاع ✅
💡 خاصية: إذا تقاطع قطرا رباعي في منتصفهما فإنه متوازي أضلاع
🔷 التمرين رقم 5 (الهندسة والتناظر) 🎨
🎯 مثلث متقايس الضلعين ودائرة 🌟
نعتبر مثلثاً ABC رأسه متقايس الضلعين A ودائرة (C) مركزها O تقطع [AO] في C و [OB] في D
1) بيّن أن O نقطة من الموسط العمودي للقطعة [AB]

✅ البرهان:

المعطيات:
• المثلث ABC متقايس الضلعين رأسه A
• إذن: AB = AC

البرهان:
بما أن AB = AC
فإن النقطة A متساوية البعد عن B و C
إذن A تقع على الموسط العمودي لـ [BC]

O هي مركز الدائرة التي تمر بـ C و D
بما أن C و D على الدائرة: OC = OD

ملاحظة: السؤال غير واضح تماماً، لكن إذا كان المقصود أن O متساوي البعد عن A و B، فإن O يقع على الموسط العمودي لـ [AB]
2) أوجد صورة [AO] وصورة (C) بالتناظر المحوري بالنسبة لـ $\Delta$

✅ الحل:

بفرض أن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ [AB]:

• صورة [AO] هي [BO]
(لأن A تتحول إلى B والتناظر المحوري يحافظ على الأطوال)

• صورة الدائرة (C) هي نفسها (C)
(لأن O مركز الدائرة يقع على المحور $\Delta$)
3) بيّن أن C مناظرة D بالنسبة لـ $\Delta$

✅ البرهان:

من السؤال السابق:
• صورة [AO] بالتناظر المحوري هي [BO]
• C على [AO] و D على [BO]
• بما أن OC = OD (نصفا قطر نفس الدائرة)
• و O على المحور $\Delta$
• إذن C و D متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta$ ✅
4) بيّن أن (AB)//(CD)

✅ البرهان:

البرهان:
• C على [AO] و D على [BO]
• بما أن C و D متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta$
• و $\Delta$ عمودي على [CD]
• و $\Delta$ عمودي على [AB] (لأنه الموسط العمودي)
• إذن (AB) // (CD) ✅
💡 قاعدة: مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث هما متوازيان
5) المستقيم (BC) يقطع $\Delta$ في M. بيّن أن النقاط A,M,D على استقامة واحدة

✅ البرهان:

بالتناظر المحوري بالنسبة لـ $\Delta$:
• صورة (BC) هي (AD)
(لأن B → A و C → D)

• M على (BC) و M على المحور $\Delta$
• إذن صورة M هي M نفسها
• بما أن M على (BC) وصورتها (AD)
• فإن M على (AD)

إذن A و M و D على استقامة واحدة ✅
6) بيّن أن $\widehat{OBC} = \widehat{OAD}$

✅ البرهان:

بالتناظر المحوري بالنسبة لـ $\Delta$:
• الزاوية $\widehat{OBC}$ لها صورة $\widehat{OAD}$
(لأن O → O، B → A، C → D)

• التناظر المحوري يحافظ على قياسات الزوايا
• إذن $\widehat{OBC} = \widehat{OAD}$ ✅
💡 خاصية: التناظر المحوري تحويل يحافظ على الأطوال والزوايا

🎉 بالتوفيق لجميع التلاميذ 🎉

إعداد: الأستاذ فوزي الغربي