🎯 فرض مراقبة رياضيات عدد 1 🚀

📚 الثامنة أساسي - مثال رقم 1 🤪✨
🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة 🌊
👨‍🏫 إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
🚀 التمرين رقم 1 (5 نقاط) 💯
🎯 أكمل بصواب أو خطأ 🤔
1. العبارة: $5^{2019} + 5^{2017}$ تساوي $5^{2017} \times 6$

✅ الحل التفصيلي:

الطريقة: نخرج العامل المشترك $5^{2017}$

$5^{2019} + 5^{2017} = 5^{2017} \times 5^2 + 5^{2017} \times 1$
$= 5^{2017} \times (25 + 1)$
$= 5^{2017} \times 26$

بما أن $26 \neq 6$ فإن العبارة خطأ ❌

2. العدد 7048 يقبل القسمة على 4 و 9

✅ الحل التفصيلي:

الاختبار للقسمة على 4:

نأخذ آخر رقمين: 48
$48 = 4 \times 12$
إذن 7048 يقبل القسمة على 4 ✓

الاختبار للقسمة على 9:

مجموع الأرقام: $7 + 0 + 4 + 8 = 19$
19 لا يقبل القسمة على 9
إذن 7048 لا يقبل القسمة على 9 ✗

النتيجة: العبارة خطأ ❌

3. كل عدد يقبل القسمة على 25 يقبل القسمة على 5

✅ الحل التفصيلي:

البرهان:

إذا كان العدد n يقبل القسمة على 25
فإن: $n = 25 \times k$ حيث k عدد صحيح طبيعي
$n = 25 \times k = 5 \times 5 \times k = 5 \times (5k)$
إذن n يقبل القسمة على 5

النتيجة: العبارة صواب ✅

💡 قاعدة: إذا كان a يقسم b و b يقسم c فإن a يقسم c
4. القيمة المطلقة لعدد صحيح سالب هي العدد نفسه

✅ الحل التفصيلي:

التعريف: القيمة المطلقة لعدد صحيح نسبي x هي:

إذا كان $x \geq 0$ فإن $|x| = x$
إذا كان $x < 0$ فإن $|x| = -x$

مثال: $|-5| = -(-5) = 5 \neq -5$

النتيجة: العبارة خطأ ❌

💡 القاعدة الصحيحة: القيمة المطلقة لعدد سالب هي مقابل هذا العدد
5. نقطتان A و B متساويتا البعد عن نقطة O هما متناظرتان بالنسبة إلى النقطة O

✅ الحل التفصيلي:

شرط التناظر المركزي:

لكي تكون A و B متناظرتين بالنسبة لـ O يجب أن:
• O منتصف [AB]
• أي: OA = OB و A و O و B على استقامة واحدة

الملاحظة: شرط $OA = OB$ وحده غير كافٍ

مثال: نقاط دائرة مركزها O كلها متساوية البعد عن O لكنها ليست كلها متناظرة بالنسبة لـ O

النتيجة: العبارة خطأ ❌

6. حيث: مناظر مستقيم $\Delta$ بالنسبة إلى نقطة O هو مستقيم $\Delta' \perp \Delta$

✅ الحل التفصيلي:

خاصية التناظر المركزي:

مناظر مستقيم بالتناظر المركزي هو مستقيم موازٍ له
إذا كان $\Delta'$ مناظر $\Delta$ بالنسبة لـ O
فإن $\Delta' \parallel \Delta$

النتيجة: العبارة خطأ ❌

💡 خاصية: التناظر المركزي يحافظ على التوازي
🧮 التمرين رقم 2 (5 نقاط) 🎪
🎨 تحديد محيط ومساحة مربع 🧠✨
من بين الأعداد التالية حدد التي تمثل محيط مربع:
العدد الأول: $19 + 19$
العدد الثاني: $2015^{2017} + 2015^{2019}$
العدد الثالث: $3 \times 125^{672} + 1008 \times 25^5$
العدد الرابع: $3 \times 5^{2017} + 5^{2019}$

✅ الحل التفصيلي:

تذكير: محيط المربع = $4 \times$ طول الضلع

إذن محيط المربع يجب أن يقبل القسمة على 4

1) العدد الأول: $19 + 19 = 38$

$38 = 4 \times 9 + 2$
38 لا يقبل القسمة على 4 ❌

2) العدد الثاني: $2015^{2017} + 2015^{2019}$

$= 2015^{2017} + 2015^{2017} \times 2015^2$
$= 2015^{2017} \times (1 + 2015^2)$
$= 2015^{2017} \times (1 + 4060225)$
$= 2015^{2017} \times 4060226$
نلاحظ أن: $4060226 = 2 \times 2030113$
العدد لا يقبل القسمة على 4 (لأن $2030113$ فردي) ❌

3) العدد الثالث: $3 \times 125^{672} + 1008 \times 25^5$

نلاحظ أن: $125 = 5^3$ و $25 = 5^2$
$= 3 \times (5^3)^{672} + 1008 \times (5^2)^5$
$= 3 \times 5^{2016} + 1008 \times 5^{10}$
$= 3 \times 5^{10} \times 5^{2006} + 1008 \times 5^{10}$
$= 5^{10} \times (3 \times 5^{2006} + 1008)$
نتحقق من القسمة على 4: $1008 = 4 \times 252$
إذن العدد يقبل القسمة على 4 ✅

4) العدد الرابع: $3 \times 5^{2017} + 5^{2019}$

$= 3 \times 5^{2017} + 5^{2017} \times 5^2$
$= 5^{2017} \times (3 + 25)$
$= 5^{2017} \times 28$
$= 5^{2017} \times 4 \times 7$
العدد يقبل القسمة على 4 ✅
الأعداد التي تمثل محيط مربع:
• $3 \times 125^{672} + 1008 \times 25^5$
• $3 \times 5^{2017} + 5^{2019}$

حساب طول الضلع والمساحة:

للعدد $3 \times 5^{2017} + 5^{2019} = 5^{2017} \times 28$:

طول الضلع $= \frac{5^{2017} \times 28}{4} = 5^{2017} \times 7$

المساحة $= (5^{2017} \times 7)^2 = 5^{4034} \times 49$
حدد رقم آحاد العدد: $2^{50} + 4^{103} \times 2$

✅ الحل التفصيلي:

خاصية: رقم آحاد قوى العدد 2 يتكرر كل 4 مرات

$2^1 = 2$ (آحاده 2)
$2^2 = 4$ (آحاده 4)
$2^3 = 8$ (آحاده 8)
$2^4 = 16$ (آحاده 6)
$2^5 = 32$ (آحاده 2) ... وهكذا

حساب رقم آحاد $2^{50}$:

$50 = 4 \times 12 + 2$
إذن رقم آحاد $2^{50}$ مثل رقم آحاد $2^2 = 4$

حساب رقم آحاد $4^{103}$:

$4 = 2^2$، إذن $4^{103} = (2^2)^{103} = 2^{206}$
$206 = 4 \times 51 + 2$
إذن رقم آحاد $2^{206}$ مثل رقم آحاد $2^2 = 4$
رقم آحاد $4^{103} \times 2 = 4 \times 2 = 8$

رقم آحاد المجموع:

رقم آحاد $2^{50} + 4^{103} \times 2$
$= $ رقم آحاد $(4 + 8) = 2$
رقم الآحاد هو: 2
عوّض النقطتين بالأرقام المناسبة: $\overline{45.2.}$ ليكون العدد قابلاً للقسمة على 5 و 8 (أعط كل الحلول)

✅ الحل التفصيلي:

شرط القسمة على 5:

رقم الآحاد يجب أن يكون 0 أو 5
إذن الرقم الأخير (المكان الثاني من اليمين): 0 أو 5

شرط القسمة على 8:

آخر ثلاثة أرقام تقبل القسمة على 8
العدد: $\overline{45a b}$ حيث $a$ و $b$ هما النقطتان
آخر 3 أرقام: $\overline{a b}$ أو $\overline{2 a b}$

الحالة 1: الرقم الأخير = 0

العدد: $\overline{45a0}$، آخر 3 أرقام: $\overline{a 0}$ = $\overline{2a0}$
نبحث عن $a$ بحيث $\overline{2a0}$ يقبل القسمة على 8
$a = 0$: $200 \div 8 = 25$ ✓
$a = 1$: $210 \div 8 = 26.25$ ✗
$a = 2$: $220 \div 8 = 27.5$ ✗
$a = 3$: $230 \div 8 = 28.75$ ✗
$a = 4$: $240 \div 8 = 30$ ✓
$a = 5$: $250 \div 8 = 31.25$ ✗
$a = 6$: $260 \div 8 = 32.5$ ✗
$a = 7$: $270 \div 8 = 33.75$ ✗
$a = 8$: $280 \div 8 = 35$ ✓
$a = 9$: $290 \div 8 = 36.25$ ✗

الحالة 2: الرقم الأخير = 5

العدد: $\overline{45a5}$، آخر 3 أرقام: $\overline{2a5}$
لا يوجد عدد ينتهي بـ 5 ويقبل القسمة على 8
الحلول الممكنة:
• $\overline{45.2.} = 45200$
• $\overline{45.2.} = 45240$
• $\overline{45.2.} = 45280$
📐 التمرين رقم 3 (6 نقاط) 🔬
🗿️ مربع ABCD و O منتصف القطرين، E نقطة من [AB[ 📏
1) أكمل:
• مناظرة A بالنسبة إلى O هي: ...
• مناظرة [BO] بالنسبة إلى O هي: ...
• مناظرة القطعة EAO بالنسبة إلى O هي: ...

✅ الحل التفصيلي:

رسم توضيحي: في المربع ABCD، O هو نقطة تقاطع القطرين

1. مناظرة A بالنسبة إلى O:
بما أن O منتصف القطرين في المربع
و A و C على القطر [AC]
و O منتصف [AC]
إذن مناظرة A هي C ✅
2. مناظرة [BO] بالنسبة إلى O:
مناظرة B بالنسبة لـ O هي D (لأن O منتصف [BD])
مناظرة O بالنسبة لـ O هي O نفسها
إذن مناظرة [BO] هي [DO] ✅
3. مناظرة القطعة EAO بالنسبة إلى O:
نبحث عن مناظرة كل نقطة:
• E نقطة من [AB[، لنسمي مناظرتها F
• مناظرة A هي C
• مناظرة O هي O
بما أن E على [AB]، فإن F على [CD]
و بما أن AE = CF
إذن مناظرة القطعة EAO هي FCO ✅
2) (OE) يقطع (CD) في نقطة F
أ) بيّن أن O منتصف [EF]

✅ البرهان:

الطريقة: نستخدم خاصية التناظر المركزي

• E نقطة من [AB]
• F نقطة من [CD]
• (AB) // (CD) (في المربع، الأضلاع المتقابلة متوازية)

بالتناظر المركزي بالنسبة لـ O:
• مناظرة [AB] هي [CD]
• إذن مناظرة E (على AB) هي نقطة F على CD
• بما أن O هو مركز التناظر
• و F مناظرة E بالنسبة لـ O
إذن O منتصف [EF] ✅
ب) عيّن النقطة I منتصف [BC] والنقطة J منتصف [AD]. بيّن أن I و O و J على استقامة واحدة

✅ البرهان:

الخطوة 1: إنشاء النقطتين
• I منتصف [BC]
• J منتصف [AD]

الخطوة 2: البرهان
بالتناظر المركزي بالنسبة لـ O:
• مناظرة [BC] هي [AD]
• مناظرة منتصف [BC] وهو I هي منتصف [AD] وهو J
• إذن J مناظرة I بالنسبة لـ O
• أي O منتصف [IJ]
إذن I و O و J على استقامة واحدة ✅
💡 خاصية: إذا كان O منتصف قطعة مستقيمة فإن طرفيها والنقطة O على استقامة واحدة
ج) بيّن أن AICJ متوازي أضلاع

✅ البرهان:

الطريقة: نبرهن أن قطرا الرباعي يتقاطعان في منتصفهما

القطر الأول [AC]:
• O منتصف [AC] (معطى: O منتصف قطري المربع)

القطر الثاني [IJ]:
• من السؤال السابق: O منتصف [IJ]

الاستنتاج:
في الرباعي AICJ:
• القطر [AC] يقطع القطر [IJ] في منتصفيهما O
• إذن AICJ متوازي أضلاع ✅
💡 خاصية: إذا تقاطع قطرا رباعي في منتصفهما فإن هذا الرباعي متوازي أضلاع
🔢 التمرين رقم 4 (4 نقاط) 🎯
🌟 مجموعات الأعداد 💫
1) أتمم بما يناسب:
$\mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^- = \ldots$ , $\mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^- = \ldots$
$\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^+ = \ldots$ , $\mathbb{Z}^*_{-} \cap \mathbb{Z}^*_{+} = \ldots$

✅ الحل التفصيلي:

1. $\mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^-$:
$\mathbb{Z}^+$ = مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة
$\mathbb{Z}^-$ = مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة
إذن: $\mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^- = \mathbb{Z}$ ✅
2. $\mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^-$:
العنصر المشترك الوحيد هو 0
إذن: $\mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^- = \{0\}$ ✅
3. $\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^+$:
$\mathbb{Z}^+$ جزء من $\mathbb{Z}$
إذن: $\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}^+$ ✅
4. $\mathbb{Z}^*_{-} \cap \mathbb{Z}^*_{+}$:
لا يوجد عنصر مشترك بينهما
إذن: $\mathbb{Z}^*_{-} \cap \mathbb{Z}^*_{+} = \emptyset$ ✅
2) لنعتبر المجموعة:
$A = \left\{-3; 5; 0; \frac{6}{7}; (-3); \left(-\frac{56}{8}\right); -25; \sqrt{25}\right\}$
حدد عناصر المجموعات التالية:

✅ الحل التفصيلي:

أولاً: تبسيط عناصر A:

$-3$ يبقى كما هو
$5$ يبقى كما هو
$0$ يبقى كما هو
$\frac{6}{7}$ عدد غير صحيح
$(-3) = -3$ (مكرر)
$-\frac{56}{8} = -7$
$-25$ يبقى كما هو
$\sqrt{25} = 5$ (مكرر)

إذن: $A = \{-25, -7, -3, 0, \frac{6}{7}, 5\}$
أ) $A \cap \mathbb{IN}^*$:
العناصر المشتركة: فقط 5
إذن: $A \cap \mathbb{IN}^* = \{5\}$ ✅
ب) $A \cap \mathbb{Z}^-$:
العناصر السالبة والصفر من A
إذن: $A \cap \mathbb{Z}^- = \{-25, -7, -3, 0\}$ ✅
ج) $A \cap \mathbb{Z}$:
العناصر الصحيحة من A
إذن: $A \cap \mathbb{Z} = \{-25, -7, -3, 0, 5\}$ ✅
د) B مجموعة x من A حيث $|x| = 3$:
$|-3| = 3$ ✓
إذن: $B = \{-3\}$ ✅
هـ) C مجموعة x السالبة من A حيث $|x| < 4$:
$-3$: سالب و $|-3| = 3 < 4$ ✓
إذن: $C = \{-3\}$ ✅
3) نعتبر المستقيم التالي المدرج بالمعلم (O,I)
أ) من بين النقاط المرسومة على هذا المستقيم، تعرف على التي فاصلاتها تنتمي إلى المجموعة A. اذكر في كل مرة النقطة وفاصلتها
ب) حدد النقاط التي فاصلاتها متقابلة

✅ الحل التفصيلي:

ملاحظة: يعتمد هذا السؤال على الرسم المعطى في الفرض

أ) النقاط التي فاصلاتها من A:
نبحث عن النقاط المرسومة التي فاصلاتها من المجموعة
$A = \{-25, -7, -3, 0, \frac{6}{7}, 5\}$
ب) النقاط ذات الفاصلات المتقابلة:
فاصلتان متقابلتان إذا كانتا $x$ و $-x$
مثلاً: إذا كانت هناك نقطة فاصلتها $-3$ وأخرى فاصلتها $3$

🎉 بالتوفيق لجميع التلاميذ 🎉

إعداد: الأستاذ فوزي الغربي