🎯 المستطيل $ABCD$ بحيث $AB=8\,cm$ و $AD=4\,cm$ و $I$ منتصف $[AB]$، المستقيم المار من $I$ والعمودي على $[AB]$ يقطع $[CD]$ في $J$
1. ماذا يمثل المستقيم $(IJ)$ بالنسبة للمستطيل $ABCD$؟ علل جوابك
$I$ منتصف $[AB]$ و $(IJ) \perp [AB]$ وهي موازية لـ $[AD]$
$(IJ)$ هو محور التماثل للمستطيل $ABCD$ ✅
$I$ منتصف $[AB]$، و $J$ منتصف $[CD]$ (لأن $IJ \perp AB$ في مستطيل) $(IJ)$ عمودي على $[AB]$ و $[CD]$ ويمر بمنتصفيهما إذن $(IJ)$ هو **محور التماثل** للمستطيل $ABCD$ ✅
2. بيّن أن $BCJI$ مربع
ما قيمة $IJ$؟ وما قيمة $BC$؟ هل $BCJI$ مستطيل؟
$IJ = AD = 4\,cm$ و $BC = AD = 4\,cm$ و $BI = \dfrac{AB}{2} = 4\,cm$
$BCJI$ مربع ✅
$IJ = AD = 4\,cm$ (لأن $ABCD$ مستطيل و $IJ \parallel AD$) $BI = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\,cm$ ($I$ منتصف $[AB]$) $JC = \dfrac{CD}{2} = 4\,cm$ ($J$ منتصف $[CD]$) $BC = AD = 4\,cm$ إذن $BCJI$ له: $\widehat{IJC} = \widehat{BCJ} = 90°$ (من المستطيل) و $IJ = BI = BC = JC = 4\,cm$ **4 أضلاع متقايسة + زاوية قائمة** ← $BCJI$ **مربع** ✅
3. بيّن أن $ID = IC$
$I$ منتصف $[AB]$ وهو على الموسّط العمودي لـ $[DC]$
$ID = IC$ ✅
$IJ \perp [CD]$ و $J$ منتصف $[CD]$ (لأن $IJ$ محور التماثل) إذن $(IJ)$ هو الموسّط العمودي لـ $[DC]$ $I$ نقطة على الموسّط العمودي ← $ID = IC$ ✅
4. استنتج نوع الرباعي $BIDJ$
من السؤال 3: $ID = IC$، ومن تعريف المستطيل وموقع $I$: ما هي أضلاع $BIDJ$؟
$BIDJ$ معيّن ✅
$BI = IJ = 4\,cm$ (من السؤال 2: $BCJI$ مربع ← $BI = IJ$) $ID = IC$ (من السؤال 3) $BIDJ$: $BI = IJ$ و بتماثل: $ID = IJ$ أيضاً... في المربع $BCJI$: $BI = IJ = JC = BC = 4\,cm$ $ID = IC$ و $IC = \sqrt{IJ^2+JC^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$ إذن $BIDJ$ له: $IJ = BI$ وهو معيّن لأن قطريه متعامدان ويتقاطعان في منتصفهما **$BIDJ$ معيّن** ✅ (المنهج: 4 أضلاع متقايسة ← معيّن)
5. لتكن $K$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $(CD)$. بيّن أن $ICKD$ معيّن
$K$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $(CD)$ ← $KD = ID$ و $KC = IC$
$ICKD$ معيّن ✅
$K$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $(CD)$: $KD = ID$ (التماثل يحفظ المسافات) $KC = IC$ (التماثل يحفظ المسافات) من السؤال 3: $ID = IC$ إذن: $KD = KC = ID = IC$ **الرباعي $ICKD$ له 4 أضلاع متقايسة** ← $ICKD$ **معيّن** ✅ (المنهج: 4 أضلاع متقايسة ← معيّن)
6أ. أحسب $\widehat{IDK}$ معللاً جوابك
$K$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $(CD)$ ← $(CD)$ هو الموسّط العمودي لـ $[IK]$
$\widehat{IDK} = 90°$ ✅
$K$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $(CD)$ ← $(CD)$ عمودي على $[IK]$ ← $(IJ) \perp (CD)$ (معطى) ← $J$ منتصف $[IK]$ في مثلث $IDK$: $J$ منتصف $[IK]$ و $DJ \perp IK$ ← المثلث $IDK$ متقايس الساقين: $DI = DK$ ← $(DJ)$ ارتفاع = وسيط ← الزاوية في $D$: $\widehat{IDJ} = \widehat{KDJ}$ و $\widehat{IDJ} = 90°$ لأن $IJ \perp JD$ (في المربع $BCJI$: $\widehat{IJC} = 90°$)... بل: $\widehat{IDK}$: في المعين $ICKD$: $IC \perp DK$ (قطرا المعين متعامدان)... لا هذا للقطر الصحيح: $(IK) \perp (CD)$ ← $\widehat{IJD} = 90°$ ← في المثلث $IDK$: $J$ منتصف $[IK]$ و $DJ$ وسيط = ارتفاع ← $\widehat{IDK} = 90°$ ✅
6ب. استنتج أن $ICDK$ مربع
$ICDK$ مربع ✅
$ICKD$ معيّن (من السؤال 5) $\widehat{IDK} = 90°$ (من السؤال 6أ) **معيّن + زاوية قائمة** ← $ICDK$ **مربع** ✅