$ABC$ متقايس الضلعين بقمة $A$ إذن: $AB = AC$ $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(BC)$ إذن: $DB = AB$ و $DC = AC$ إذن: $AB = AC = DB = DC$ **الرباعي $ABDC$ له أربعة أضلاع متقايسة** ✅ إذن $ABDC$ **معين** ✅ (المنهج: 4 أضلاع متقايسة ← معين)
2. لتكن $I$ نقطة تقاطع $[AD]$ و $[BC]$، و $O$ منتصف $[IC]$. المستقيم $\Delta$ المار من $A$ والعمودي على $(AD)$ يقطع المستقيم المار من $C$ والموازي لـ$(AD)$ في $J$. بيّن أن $AJCI$ مستطيل
ما الزاوية بين $[AJ]$ و $[AI]$؟ وما وضعية $(CJ)$ و $(AD)$؟
$(AJ) \perp (AD)$ لأن $\Delta$ عمودي على $(AD)$، إذن $\widehat{JAI} = 90°$ $(CJ) \parallel (AD)$ و $(AJ)$ قاطعة لهما، إذن $\widehat{AJC} = 90°$ (زوايا متبادلة داخلية) $I$ على $(BC)$ و $(IC) \parallel (AJ)$ (كلاهما عمودي على $AD$) إذن $AJCI$ متوازي أضلاع (ضلعان متوازيان) ومع $\widehat{JAI} = 90°$ ← $AJCI$ **مستطيل** ✅ (المنهج: متوازي أضلاع + زاوية قائمة ← مستطيل)
3أ. بيّن أن $IJCD$ متوازي أضلاع
ما العلاقة بين $(IJ)$ و $(DC)$؟ وما العلاقة بين $IJ$ و $DC$؟
في المستطيل $AJCI$: $IJ = AC$، وفي المعين $ABDC$: $DC = AC$
$IJCD$ متوازي أضلاع ✅
في المستطيل $AJCI$: $IJ = AC$ و $(IJ) \parallel (AC)$ في المعين $ABDC$: $DC = AB = AC$ إذن $IJ = DC$ و $(IJ) \parallel (DC)$ **ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان** ✅ إذن $IJCD$ **متوازي أضلاع** ✅ (المنهج المستعمل: ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان ← متوازي أضلاع)
3ب. استنتج أن $D$ و $O$ و $J$ على استقامة واحدة
في متوازي الأضلاع، ما خاصية نقطة تقاطع القطرين؟
في $IJCD$ قطراه $[DJ]$ و $[IC]$ يتقاطعان في منتصفيهما، و $O$ منتصف $[IC]$ (معطى)
$D$، $O$، $J$ على استقامة واحدة ✅
$IJCD$ متوازي أضلاع، إذن قطراه $[DJ]$ و $[IC]$ يتقاطعان ويتنصف كلٌّ منهما الآخر $O$ منتصف $[IC]$ (معطى) إذن $O$ هو نقطة تقاطع القطرين، أي $O$ ينتمي إلى $[DJ]$ ✅ إذن $D$، $O$، $J$ **على استقامة واحدة**