🎯 المثلث $ABC$ متقايس الأضلاع، $I$ منتصف $[BC]$، $O$ منتصف $[AI]$ (انظر الشكل)
1أ. ابن المستقيم $\Delta$ المار من $A$ والموازي لـ $(BC)$، والنقطة $D$ المسقط العمودي لـ $C$ على $\Delta$. بيّن أن الرباعي $AICD$ مستطيل
$\Delta \parallel (BC)$ و $CD \perp \Delta$، ما العلاقة بين $CD$ و $BC$؟
$AICD$ مستطيل ✅
$CD \perp \Delta$ و $\Delta \parallel (BC)$ ← $CD \perp (BC)$ $AI \parallel DC$ (لأن $\Delta \parallel BC$ و $AI$ على $\Delta$) $\widehat{CDI} = 90°$ و $\widehat{AIC} = 90°$... في $AICD$: $(AI) \parallel (DC)$ و $CD \perp AI$ إذن $AICD$ متوازي أضلاع بزاوية قائمة ← **$AICD$ مستطيل** ✅ (المنهج: متوازي أضلاع + زاوية قائمة ← مستطيل)
1ب. بيّن أن $AB = DI$
$AB = DI$ ✅
$ABC$ متقايس الأضلاع ← $AB = BC$ في المستطيل $AICD$: $AI = DC$ و $AC = DI$ (أضلاع متقابلة) و $AI = \dfrac{BC}{2}$... بل المطلوب $AB = DI$ في المستطيل $AICD$: $DI = AC$ (ضلعان متقابلان) $ABC$ متقايس الأضلاع ← $AB = AC$ إذن $DI = AC = AB$ ✅
1ج. استنتج أن الرباعي $ABID$ متوازي أضلاع
هل $AB = DI$ و $(AB) \parallel (DI)$؟
$ABID$ متوازي أضلاع ✅
$AB = DI$ (مُبيَّن في 1ب) $(AB) \parallel (DI)$: $AB$ على $\Delta$، $DI$ على $(BC)$... بل $\Delta \parallel (BC)$ ← $(AB) \parallel (DC)$... ومع $AI \parallel DC$: **ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان** ← $ABID$ **متوازي أضلاع** ✅ (المنهج: ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان ← متوازي أضلاع)
1د. استنتج أن النقاط $B$ و $O$ و $D$ على استقامة واحدة
$B$، $O$، $D$ على استقامة واحدة ✅
$ABID$ متوازي أضلاع ← قطراه $[BD]$ و $[AI]$ يتقاطعان في منتصفيهما $O$ منتصف $[AI]$ (معطى) إذن $O$ هو نقطة تقاطع القطرين ← $O$ ينتمي إلى $[BD]$ ✅ **$B$، $O$، $D$ على استقامة واحدة**
2أ. ابن النقطة $L$ مناظرة $O$ بالنسبة إلى $(BC)$
$L$ مناظرة $O$: $(BC)$ هو الموسط العمودي لـ $[OL]$ ✅
أقم عمودا من $O$ على $(BC)$ ثم امتده بنفس المسافة
$L$ تقع بحيث $BC$ ينصف $[OL]$ عمودياً ✅
2ب. بيّن أن الرباعي $BOCL$ معيّن
$L$ مناظرة $O$ بالنسبة إلى $(BC)$، إذن $BC$ محور تماثل لـ $[OL]$
$BOCL$ معيّن ✅
$L$ مناظرة $O$ بالنسبة إلى $(BC)$ ← $BC$ محور تماثل: $BL=BO$ و $CL=CO$ $O$ منتصف $[AI]$ في المثلث متقايس الأضلاع ← $BO=CO$ (كلاهما يساوي نصف ضلع المثلث... ) إذن $BL=BO=CO=CL$ **الرباعي $BOCL$ له أربعة أضلاع متقايسة** ← **معيّن** ✅ (المنهج: 4 أضلاع متقايسة ← معيّن)