حدد بعلامة (×) الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين المقترحات التالية:
| 1) دون القيام بعملية الضرب، الجذاء $$3{,}1125 \times 2{,}58$$ يساوي: | ☐ 8,030255 | ☐ 8,30250 | ☑ 8,03025 |
| 2) إذا علمت أن $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان طبيعيان مخالفان للصفر حيث $$\dfrac{a}{6}=\dfrac{b}{9}$$، فإن: | ☐ $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{6}{9}$$ | ☐ $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{15}{10}$$ | ☑ $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{3}$$ |
| 3) العدد العشري الموافق للنقطة $$A$$ في التدريج هو: | ☐ 2,2 | ☑ 2,25 | ☐ 1,5 |
| 4) في مثلث $$EFG$$ حيث $$\widehat{F}=25°$$ و $$\widehat{G}=50°$$، النقطة $$I$$ هي: | ☐ المركز القائم للمثلث $$EFG$$ | ☑ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $$EFG$$ | ☐ مركز الدائرة المحاطة بالمثلث $$EFG$$ |
عدد الأرقام بعد الفاصلة في الجذاء = مجموع الأرقام بعد الفاصلة في العاملين.
$$3{,}1125$$ : 4 أرقام | $$2{,}58$$ : 2 أرقام → المجموع = 6 أرقام بعد الفاصلة.
$$31125 \times 258 = 8\,030\,250$$ → $$3{,}1125 \times 2{,}58 = 8{,}03025$$
من $$\dfrac{a}{6}=\dfrac{b}{9}$$ بالضرب التبادلي: $$9a = 6b$$
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$$ → $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{2}$$
وفق المقترحات المعروضة: $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{3}$$
الوحدة مقسّمة إلى 4 أجزاء متساوية (كل جزء = 0,25).
$$A$$ عند الدرجة الأولى بعد 2: $$A = 2{,}25$$
$$\widehat{F}=25°$$، $$\widehat{G}=50°$$ → $$\widehat{E}=105°$$: المثلث منفرج الزاوية.
من الشكل، $$I$$ هو تقاطع الأوساط العمودية للأضلاع.
$$I$$ = مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $$EFG$$
احسب العبارات التالية مع الاختزال إلى أقصى حد:
$$A = \dfrac{34}{15} \times \left(\dfrac{45}{17} \times \dfrac{1}{18}\right)$$
$$B = \dfrac{15}{19} \times \left(38 - \dfrac{19}{15}\right)$$
$$C = \dfrac{3}{7} + \dfrac{7}{3-\dfrac{2}{3}}$$
$$D = \dfrac{25}{17} \times \left(4+\dfrac{1}{4}\right) - \dfrac{25}{4} \times \dfrac{5}{9}$$
$$A = \dfrac{34}{15} \times \dfrac{45}{17} \times \dfrac{1}{18}$$
$$= \dfrac{34 \times 45 \times 1}{15 \times 17 \times 18}$$
$$= \dfrac{2 \times 3 \times 1}{1 \times 1 \times 9}$$ (بعد الاختزال: $$34=2\times17$$، $$45=3\times15$$، $$18=2\times9$$)
$$A = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$$
$$B = \dfrac{15}{19}\times38 - \dfrac{15}{19}\times\dfrac{19}{15}$$
$$= \dfrac{15\times2\times19}{19} - 1 = 30 - 1$$
$$B = 29$$
المقام الداخلي: $$3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{9-2}{3}=\dfrac{7}{3}$$
$$C = \dfrac{3}{7} + \dfrac{7}{\frac{7}{3}} = \dfrac{3}{7} + 7\times\dfrac{3}{7} = \dfrac{3}{7} + 3 = \dfrac{3+21}{7}$$
$$C = \dfrac{24}{7}$$
$$4+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}$$
$$D = \dfrac{25}{17}\times\dfrac{17}{4} - \dfrac{25}{4}\times\dfrac{5}{9} = \dfrac{25}{4} - \dfrac{125}{36}$$
$$= \dfrac{225}{36} - \dfrac{125}{36} = \dfrac{100}{36}$$
$$D = \dfrac{25}{9}$$
لملء خزّان نستعمل 3 حنفيات تعمل بالتداول كل 3 ساعات.
تملأ الحنفية الأولى $$\dfrac{1}{5}$$ سعة الخزّان، وتملأ الحنفية الثانية ثلثها، في حين تملأ الحنفية الثالثة ثلاثة أرباع ما تملؤه الحنفيتان الأولى والثانية معاً.
1) أوجد العدد الكسري الذي يمثّل الجزء من الخزّان الذي تملؤه الحنفيات الثلاث معاً خلال ساعة.
2) لملء الخزّان يجب إضافة $$120\,L$$ من الماء للكمية السابقة. ما هي سعة هذا الخزّان؟
كل حنفية تعمل 3 ساعات. ما تملؤه في الساعة الواحدة:
الحنفية 1: $$\dfrac{1}{5} \div 3 = \dfrac{1}{15}$$ | الحنفية 2: $$\dfrac{1}{3} \div 3 = \dfrac{1}{9}$$
الحنفيتان 1 و2 معاً في 3 ساعات: $$\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{15}$$
الحنفية 3 في 3 ساعات: $$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{15}=\dfrac{2}{5}$$ → في ساعة: $$\dfrac{2}{15}$$
المجموع في الساعة:
$$\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{15} = \dfrac{3}{45}+\dfrac{5}{45}+\dfrac{6}{45}$$
$$= \dfrac{14}{45} \text{ من الخزّان في الساعة}$$
الحنفيات تعمل 3 ساعات فتملأ: $$3\times\dfrac{14}{45}=\dfrac{14}{15}$$ من الخزّان.
الجزء الباقي: $$1-\dfrac{14}{15}=\dfrac{1}{15}$$ يساوي $$120\,L$$
$$\text{السعة} = 120 \times 15$$
$$\text{سعة الخزّان} = 1800\,L$$
في الرسم، $$(xz)$$ و $$(yt)$$ مستقيمان متقاطعان في $$O$$ بحيث $$\widehat{zOt}=70°$$.
1) أ) ارسم الدائرة $$(C)$$ مركزها $$O$$ وشعاعها $$4\,cm$$. تقطع $$(C)$$ نصف المستقيم $$[Ox)$$ في $$B$$ وتقطع $$[Oy)$$ في $$c$$.
ب) ابنِ المستقيم $$\Delta$$ المماس لـ $$(C)$$ في $$c$$ والمستقيم $$\Delta'$$ المماس لـ $$(C)$$ في $$B$$. يتقاطعان في $$A$$.
2) أحسب قيس الزاوية $$\widehat{CAB}$$.
3) أ) بيّن أن $$[AO)$$ منصّف الزاوية $$\widehat{CAB}$$.
ب) أحسب قيس الزاوية $$\widehat{AOC}$$.
ج) استنتج أن $$[OA)$$ منصّف الزاوية $$\widehat{BOC}$$.
4) أ) ابنِ $$[OU)$$ بحيث $$\widehat{AOC}$$ و $$\widehat{COU}$$ متجاورتان ومتتامّتان.
ب) بيّن أن $$(OU)\parallel(BC)$$.
$$(xz)$$ و $$(yt)$$ مستقيمان متقاطعان: $$\widehat{xOy} = 180°-70° = 110°$$
$$\widehat{BOC} = 110°$$
$$\Delta$$ مماس في $$c$$ → $$Oc \perp \Delta$$ → $$\widehat{OcA}=90°$$
$$\Delta'$$ مماس في $$B$$ → $$OB \perp \Delta'$$ → $$\widehat{OBA}=90°$$
مجموع زوايا الرباعي $$OcAB$$:
$$110°+90°+\widehat{CAB}+90°=360°$$
$$\widehat{CAB}=70°$$
المثلثان $$AOc$$ و $$AOB$$: $$Oc=OB=4\,cm$$ (شعاعان)، $$\widehat{OcA}=\widehat{OBA}=90°$$، $$OA$$ مشترك.
بمبرهنة الوتر والساق: المثلثان متطابقان → $$\widehat{cAO}=\widehat{BAO}$$
إذن $$[AO)$$ منصّف $$\widehat{CAB}$$ ✓
في المثلث $$AOc$$: $$\widehat{OcA}=90°$$، $$\widehat{cAO}=\dfrac{70°}{2}=35°$$
$$\widehat{AOc}=180°-90°-35°$$
$$\widehat{AOC} = 55°$$
بالتطابق: $$\widehat{AOB}=\widehat{AOc}=55°$$
$$\widehat{BOC} = 55°+55° = 110°$$ ✓ → $$[OA)$$ يقسم $$\widehat{BOC}$$ إلى جزأين متساويين ✓
$$\widehat{COU}=90°-\widehat{AOC}=90°-55°=35°$$
في المثلث $$OBC$$: $$OB=OC$$ (متقايس)، $$\widehat{BOC}=110°$$
$$\widehat{OCB}=\dfrac{180°-110°}{2}=35°$$
$$\widehat{COU}=\widehat{OCB}=35°$$: زاويتان متبادلتان داخليتان مع القاطع $$(OC)$$
$$\Rightarrow (OU)\parallel(BC)$$ ✓