I – أجب بـ "صواب" أو "خطأ" معلّلاً جوابك:
المقترح 1: العدد 119 عدد أوّلي.
المقترح 2: العدد 1111138 يقبل القسمة على 4.
II – اختر الإجابة الصحيحة:
| الدائرة $$(ζ)$$ مركزها $$O$$. هي مناظرة لنفسها بالنسبة لـ: | ☐ المماس في $$A$$ | ☐ الموسط العمودي لـ $$[OA]$$ | ☑ كل مستقيم مار من $$O$$ |
| عدد قواسم $$17\times8$$ هو: | ☐ 4 | ☐ 6 | ☑ 8 |
| ق.م.أ $$(27,\;36\times8)$$ يساوي: | ☐ 6 | ☑ 9 | ☐ 36 |
$$119 = 7 \times 17$$ → يقبل التحليل إلى عوامل غير تافهة.
خطأ: 119 ليس عدداً أوّلياً ✓
آخر رقمين: 38. $$38 = 9\times4+2$$: الباقي $$\neq 0$$
خطأ: 1111138 لا يقبل القسمة على 4 ✓
الدائرة متناظرة بالنسبة لأي قطر (مستقيم يمر من المركز $$O$$).
كل مستقيم مار من $$O$$ ✓
$$136=2^3\times17^1$$. عدد القواسم $$=(3+1)\times(1+1)=8$$
عدد القواسم = 8 ✓
$$27=3^3$$ | $$288=2^5\times3^2$$
ق.م.أ $$=3^{\min(3,2)}=3^2=9$$
ق.م.أ $$(27, 288) = 9$$ ✓
1) احسب بأيسر طريقة:
$$A=(10^2\times0{,}3705-45{,}22)+(45{,}22+35{,}85)$$
$$B=(21{,}6-10{,}325)+432{,}5\times0{,}01$$
$$C=125\times25\times0{,}008-5^2\times0{,}5$$
2) أكمل بالعدد المناسب:
$$\dfrac{12}{21}=\dfrac{......}{35}$$ و $$7{,}29\times......+2{,}68\times72{,}9=519$$
$$A=(37{,}05-45{,}22)+(45{,}22+35{,}85)=37{,}05\underbrace{-45{,}22+45{,}22}_{=0}+35{,}85$$
$$A=37{,}05+35{,}85=72{,}9$$
$$B=11{,}275+432{,}5\times0{,}01=11{,}275+4{,}325$$
$$B=15{,}6$$
$$125\times0{,}008=1$$ (لأن $$125\times8=1000$$) | $$5^2=25$$
$$C=25\times1-25\times0{,}5=25(1-0{,}5)=25\times0{,}5$$
$$C=12{,}5$$
$$\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{35}$$. الفراغ = 20
$$7{,}29\times x+2{,}68\times72{,}9=519$$
$$72{,}9=10\times7{,}29$$ → $$7{,}29(x+26{,}8)=519$$ → $$x+26{,}8=\dfrac{519}{7{,}29}\approx71{,}2$$
الفراغ = $$\approx 44{,}4$$
1) أ) فكّك إلى جذاء عوامل أولية: $$e=240$$ و $$f=30\times14$$.
ب) احسب م.م.أ$$(e,f)$$ و ق.م.م$$(e,f)$$.
2) حنفيتان $$R_1$$ و $$R_2$$: بين قطرتي $$R_1$$ مدة 3 دقائق و30 ثانية، وبين قطرتي $$R_2$$ مدة 4 دقائق. انطلقتا معاً عند الساعة 7h. متى سيتزامنان من جديد؟
3) نعتبر: $$b=\dfrac{42000}{120\times700}$$
أثبت أن $$b$$ عشري ثم اكتبه في صيغة $$\dfrac{a}{10^n}$$.
$$e=240=2^4\times3\times5$$
$$f=30\times14=2\times3\times5\times2\times7=2^2\times3\times5\times7$$
م.م.أ: العوامل المشتركة بالأسس الصغرى: $$2^2\times3\times5=60$$
ق.م.م: جميع العوامل بالأسس الكبرى: $$2^4\times3\times5\times7=1680$$
$$R_1$$: كل $$3\min30\sec=210\sec$$ | $$R_2$$: كل $$4\min=240\sec$$
$$210=2\times3\times5\times7$$ | $$240=2^4\times3\times5$$
ق.م.م$$(210,240)=2^4\times3\times5\times7=1680\sec=28\min$$
أول تزامن: الساعة 7h 28min
$$b=\dfrac{42000}{84000}=\dfrac{1}{2}$$. المقام $$2=2^1$$: عاملٌ أوليٌّ وحيدٌ هو 2.
$$b$$ عشري ✓
$$b=\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{5}{10^1}$$ → $$a=5$$، $$n=1$$، $$b=0{,}5$$
يمثّل الشكل مربّعاً $$AMIE$$ مركزه $$O$$ حيث $$AI=4\,cm$$.
أ) أحسب معلّلاً $$\widehat{AME}$$.
ب) ابنِ المستقيم $$\Delta$$ المار من $$A$$ والعمودي على $$(AI)$$. يقطع $$(EI)$$ في $$L$$.
1) أ) بيّن أن $$(AL)\parallel(ME)$$. ب) استنتج أن $$AMEL$$ متوازي أضلاع.
2) أ) أثبت أن المثلث $$ALI$$ متقايس الضلعين قمّته الرئيسية $$A$$.
ب) احسب مساحة متوازي الأضلاع $$AMEL$$.
3) لتكن $$D$$ المسقط العمودي لـ $$L$$ على $$(ME)$$. ما طبيعة الرباعي $$ALDO$$؟ استنتج مساحته.
$$AMIE$$ مربّع: كل زاوية داخلية $$=90°$$
$$\widehat{AME}=90°$$
$$\Delta \perp AI$$ (تعريف $$\Delta$$). في المربع: $$AI \perp ME$$ (القطر عمودي على الأضلاع المجاورة).
$$\Delta \perp AI$$ و $$ME \perp AI$$ → $$(AL)\parallel(ME)$$ ✓
$$(AL)\parallel(ME)$$ و $$AM\parallel EL$$ (ضلعا المربع).
ضلعان متقابلان متوازيان → $$AMEL$$ متوازي أضلاع ✓
$$\widehat{LAI}=90°$$ (لأن $$\Delta \perp AI$$). $$\widehat{LIA}=45°$$ (قطر المربع يصنع 45° مع الأضلاع).
$$\widehat{ALI}=45°=\widehat{LIA}$$ → المثلث $$ALI$$ متقايس الضلعين: $$AL=AI=4\,cm$$ ✓
$$AM=\dfrac{AI}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,cm$$ (ضلع المربع). الزاوية بين $$AL$$ و $$AM$$ هي 90°.
$$\mathcal{S}=AL\times AM=4\times2\sqrt{2}=8\sqrt{2}\approx11{,}3\,cm^2$$
$$LD\perp ME$$ و $$AL\perp ME$$ → $$AL\parallel LD$$. $$\widehat{LAO}=\widehat{LDO}=90°$$
$$ALDO$$ مستطيل ✓
$$AO=\dfrac{AI}{2}=2\,cm$$، $$AL=4\,cm$$ → مساحة $$=2\times4=8\,cm^2$$