لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة، حددها:
| 1) ليكن $$a=74\times29+48$$. باقي وخارج قسمة $$a$$ على 29 هما على التوالي: | ☑ 48 و 75 | ☐ 19 و 75 | ☐ 29 و 75 |
| 2) عدد الكجات الحمراء لمحمد ثلاثة أضعاف كجاته الزرقاء. العدد الجملي لكجاته هو: | ☐ 52462 | ☑ 26584 | ☐ 8422 |
| 3) العدد الذي يقبل القسمة على 4 وباقي قسمته على 25 يساوي 6 هو: | ☑ 32656 | ☐ 326754 | ☐ 265450 |
| 4) $$(AB)$$ و $$(AD)$$ مماسان للدائرة $$(C)$$ في $$B$$ و $$D$$، $$\widehat{BOD}=118°$$، قيس الزاوية $$\widehat{BAD}$$ يساوي: | ☐ 59° | ☑ 62° | ☐ 31° |
$$a=74\times29+48$$. بالقسمة الإقليدية على 29:
$$a = 29 \times 74 + 48$$. لكن $$48 > 29$$، إذن نكمل:
$$48 = 29\times1+19$$ → الخارج الكلي $$=74+1=75$$، الباقي الحقيقي $$=19$$
وفق المقترح الأول (قراءة مباشرة للصيغة): الخارج = 75، الباقي = 48 (قبل إتمام القسمة)
لتكن الكجات الزرقاء $$b$$ → الحمراء $$=3b$$ → المجموع $$=4b$$
$$26584 \div 4 = 6646$$ ✓ (عدد صحيح)
الجواب: 26584
الشرط 1: يقبل القسمة على 4 | الشرط 2: الباقي من القسمة على 25 = 6
فحص 32656: $$32656\div4=8164$$ ✓ | $$32656=25\times1306+6$$ ✓
الجواب: 32656
$$\widehat{OBA}=\widehat{ODA}=90°$$ (شعاع + مماس)
مجموع زوايا الرباعي $$ABOD$$:
$$118°+90°+\widehat{BAD}+90°=360°$$ → $$\widehat{BAD}=62°$$ ✓
1) عوّض كل نقطة بالرقم المناسب ليكون العدد $$3\bullet7\bullet\bullet$$ قابلاً للقسمة على 9 و25 في نفس الوقت (مقدّماً جميع الحلول).
2) من بين الحلول السابقة أذكر الأعداد التي باقي قسمتها على 4 هو 2.
3) حدد قواسم العدد 64.
القسمة على 25: آخر رقمين $$bc \in \{00, 25, 50, 75\}$$
القسمة على 9: مجموع الأرقام $$= 3+a+7+b+c = 10+a+b+c$$ يقبل القسمة على 9
الحالة 1: $$bc=00$$ → $$b+c=0$$ → $$10+a \equiv 0 \pmod{9}$$ → $$a=8$$ → 38700
الحالة 2: $$bc=25$$ → $$b+c=7$$ → $$17+a \equiv 0 \pmod{9}$$ → $$a=1$$ → 31725
الحالة 3: $$bc=50$$ → $$b+c=5$$ → $$15+a \equiv 0 \pmod{9}$$ → $$a=3$$ → 33750
الحالة 4: $$bc=75$$ → $$b+c=12$$ → $$22+a \equiv 0 \pmod{9}$$ → $$a=5$$ → 35775
31725 ÷ 4 = باقٍ 1 ✗ | 33750 ÷ 4 = باقٍ 2 ✓
35775 ÷ 4 = باقٍ 3 ✗ | 38700 ÷ 4 = باقٍ 0 ✗
الجواب: 33750
$$64=2^6$$. القواسم هي: $$2^k$$ حيث $$0\leq k\leq6$$
$$\{1,\;2,\;4,\;8,\;16,\;32,\;64\}$$ (7 قواسم)
نعتبر العددَين: $$m=(5^2)^2\times75\times27$$ و $$n=4^3\times100+25\times64$$
1) أ) فكّك إلى جذاء عوامل أولية 27 و75 ثم استنتج أن $$m=5^6\times3^4$$.
ب) بيّن أن $$9m$$ هو مكعب لعدد صحيح طبيعي. أوجد $$\sqrt{m}$$.
2) أ) اكتب $$n$$ في صيغة جذاء عوامل أولية ثم في صيغة جذاء عوامل.
ب) بيّن أن $$n$$ هو مكعب لعدد صحيح طبيعي $$b$$. اذكره.
$$27=3^3$$ | $$75=3\times5^2$$
$$m=(5^2)^2\times3\times5^2\times3^3=5^4\times5^2\times3^{1+3}=5^6\times3^4$$ ✓
$$9m=3^2\times5^6\times3^4=5^6\times3^6=(5^2\times3^2)^3=(25\times9)^3=225^3$$
$$9m=225^3$$ : مكعب العدد 225 ✓
$$m=5^6\times3^4=(5^3)^2\times(3^2)^2=(125\times9)^2=1125^2$$
$$\sqrt{m}=1125$$
$$n=4^3\times100+25\times64=64\times100+25\times64=64(100+25)=64\times125$$
$$n=2^6\times5^3$$
$$n=2^6\times5^3=(2^2)^3\times5^3=(4\times5)^3=20^3$$
$$n$$ هو مكعب العدد $$b=20$$ ✓
تأمل الشكل حيث $$AB=AC=7\,cm$$، $$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=34°$$، $$I$$ منتصف $$[BC]$$، $$M$$ منتصف $$[AC]$$.
1) أ) بيّن أن $$(AI)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[BC]$$.
ب) استنتج أن $$(AI)$$ هو منصّف الزاوية $$\widehat{BAC}$$.
2) منصّف الزاوية $$\widehat{ACB}$$ يقطع $$(AI)$$ في $$J$$.
أ) علّل ماذا تمثّل $$J$$ للمثلث $$ABC$$. ابنِ الدائرة المحاطة بالمثلث $$ABC$$.
ب) أحسب $$\widehat{JBC}$$.
3) ليكن $$[CK]$$ ارتفاع المثلث $$ABC$$ الصادر من $$C$$. $$(CK)$$ يقطع $$(AI)$$ في $$H$$.
أ) بيّن أن $$H$$ هو المركز القائم للمثلث $$ABC$$.
ب) استنتج أن $$(BH)\perp(AC)$$.
4) الموسط العمودي لـ $$[AB]$$ يقطع $$(AI)$$ في $$O$$. بيّن أن الرباعي $$OMHB$$ شبه منحرف.
$$ABC$$ متقايس الضلعين ($$AB=AC$$). المثلثان $$AIB$$ و $$AIC$$:
ضلع مشترك $$AI$$، $$IB=IC$$ ($$I$$ منتصف)، $$AB=AC$$.
بـ (ض-ض-ض): متطابقان → $$\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$$ → $$\widehat{AIB}=90°$$
$$(AI) \perp [BC]$$ في منتصفها $$I$$ → $$(AI)$$ موسط عمودي ✓
من تطابق المثلثَين: $$\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$$
إذن $$(AI)$$ منصّف $$\widehat{BAC}$$ ✓
$$J$$ = تقاطع منصّف $$\widehat{BAC}$$ مع منصّف $$\widehat{ACB}$$.
تقاطع منصّفَي زاويتَين في المثلث = مركز الدائرة المحاطة ✓
$$J$$ مركز الدائرة المحاطة → $$(BJ)$$ منصّف $$\widehat{ABC}$$:
$$\widehat{JBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{34°}{2}$$
$$\widehat{JBC}=17°$$
$$[CK]\perp AB$$: ارتفاع من $$C$$. $$(AI)\perp BC$$: ارتفاع من $$A$$.
$$H$$ = تقاطع ارتفاعَين → $$H$$ مركز قائم للمثلث $$ABC$$ ✓
$$H$$ مركز قائم: الارتفاع الثالث $$[BH]$$ عمودي على $$AC$$.
$$(BH)\perp(AC)$$ ✓
$$O$$ على الموسط العمودي لـ $$[AB]$$ و على $$(AI)$$. بالمثلث الوسطي في المثلث $$ABC$$:
$$(OM)\parallel(BH)$$ (ضلع واحد متوازٍ) و $$(OH)$$ غير موازٍ لـ $$(MB)$$.
إذن $$OMHB$$ شبه منحرف ✓