اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية.
| المقترحات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| إذا كان \(\dfrac{a}{49} = \dfrac{b}{56}\) فإنّ العدد الكسري \(\dfrac{a}{b}\) هو عدد: | كسري صحيح | كسري عشري | كسري غير عشري |
| إذا علمت أنّ \(\dfrac{m}{13} < \dfrac{n}{13}\) فإنّ: | \(\dfrac{18}{m} < \dfrac{18}{n}\) | \(\dfrac{18}{m} > \dfrac{18}{n}\) | \(\dfrac{18}{m} = \dfrac{18}{n}\) |
| \(E\) و \(F\) و \(H\) ثلاث نقاط حيث \(EF = 13{,}2\) و \(EH = 17{,}4\). تكون \(H\) الرأس الثالث للمثلّث \(EFH\) في حالة: | \(HG = 4{,}2\) | \(HG = 4{,}4\) | \(HG = 4\) |
| إذا كان \(ABC\) مثلّثًا قائم الزاوية في \(A\) وحيث \(\widehat{ACB} = 60^\circ\) و \(O\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث \(ABC\)، فإنّ قيس الزاوية \(\widehat{AOB}\) هو: | \(\widehat{AOB} = 120^\circ\) | \(\widehat{AOB} = 135^\circ\) | \(\widehat{AOB} = 100^\circ\) |
من المساواة \(\dfrac{a}{49} = \dfrac{b}{56}\) نستنتج بالجداء التبادلي \(a \times 56 = b \times 49\)، ومنه:
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{49}{56}\)
نبسّط: \(49 = 7^{2}\) و \(56 = 7 \times 8\)، إذن \(\dfrac{49}{56} = \dfrac{7}{8}\).
القاعدة: كسر في أبسط صورة يكون عددًا عشريًّا إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\).
المقام هو \(8 = 2^{3}\)، إذن \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{7}{8} = 0{,}875\) عدد كسري عشري.
الجواب الصحيح: ب: كسري عشري
من \(\dfrac{m}{13} < \dfrac{n}{13}\) (والمقام \(13\) موجب) نستنتج \(m < n\) (وهما موجبان).
القاعدة: بين عددين موجبين، كلّما كبر العدد صغُر مقلوبه. فبما أنّ \(m < n\) فإنّ \(\dfrac{1}{m} > \dfrac{1}{n}\)، ومنه بالضرب في \(18 > 0\): \(\dfrac{18}{m} > \dfrac{18}{n}\).
الجواب الصحيح: ب: \(\dfrac{18}{m} > \dfrac{18}{n}\)
القاعدة (المتفاوتة المثلثية): توجد النقاط \(E, F, H\) رؤوسًا لمثلّث إذا وفقط إذا كان:
\(|EH - EF| < FH < EH + EF\)
عندنا \(EF = 13{,}2\) و \(EH = 17{,}4\)، إذن الضلع \(FH\) (المرمّز \(HG\) في المقترحات) يحقّق:
\(17{,}4 - 13{,}2 < FH < 17{,}4 + 13{,}2\)
\(4{,}2 < FH < 30{,}6\)
نختبر المقترحات:
- \(HG = 4{,}2\): مساواة حدّية \(4{,}2 = 17{,}4 - 13{,}2\) ⟵ النقاط في استقامة (لا مثلّث).
- \(HG = 4{,}4\): \(4{,}2 < 4{,}4 < 30{,}6\) ⟵ مثلّث موجود ✓
- \(HG = 4\): \(4 < 4{,}2\) ⟵ مستحيل (لا مثلّث).
الجواب الصحيح: ب: \(HG = 4{,}4\)
بما أنّ \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\)، فإنّ الوتر \([BC]\) هو قطر الدائرة المحاطة، ومركزها \(O\) هو منتصف \([BC]\).
الزاوية \(\widehat{ACB} = 60^\circ\) هي زاوية محيطية تحصر القوس \(AB\)، والزاوية \(\widehat{AOB}\) هي الزاوية المركزية التي تحصر القوس نفسه.
القاعدة: قيس الزاوية المركزية يساوي ضِعف قيس الزاوية المحيطية المحصورة للقوس نفسه: \(\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB}\).
\(\widehat{AOB} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ\)
الجواب الصحيح: أ: \(\widehat{AOB} = 120^\circ\)
يمكن التحقّق: المثلّث \(OAB\) متساوي الساقين في \(O\) (\(OA = OB = r\))؛ وبما أنّ \(\widehat{ABC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\)، تكون زاويتاه عند القاعدة \(\widehat{OBA} = \widehat{OAB} = 30^\circ\)، فيكون \(\widehat{AOB} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\).
احسب بأيسر طريقة معتمدًا قواعد الحساب في مجموعة الأعداد العشرية:
\(A = (0{,}25 \times 17{,}05) \times 40\)
\(B = 49{,}74 - (11{,}5 + 31{,}74)\)
\(C = (89 + 24{,}7 - 0{,}5) - (24{,}7 + 0{,}5)\)
\(D = 75{,}75 \times 1{,}8 + 25{,}25 \times 1{,}8 - 1{,}8\)
\(E = 11{,}03 \times 0{,}9 + 12{,}03 \times 9{,}1 - 9{,}1\)
نستعمل تبديلية وتجميعية الضرب لتقريب \(0{,}25\) من \(40\):
\(A = 17{,}05 \times (0{,}25 \times 40) = 17{,}05 \times 10\)
الجواب: \(A = 170{,}5\)
نزيل القوس (طرح مجموع = طرح كلّ حدّ) ونجمع الحدّين ذوي نفس الجزء العشري:
\(B = 49{,}74 - 11{,}5 - 31{,}74 = (49{,}74 - 31{,}74) - 11{,}5\)
\(B = 18 - 11{,}5\)
الجواب: \(B = 6{,}5\)
نزيل الأقواس مع الانتباه إلى إشارة الطرح:
\(C = 89 + 24{,}7 - 0{,}5 - 24{,}7 - 0{,}5\)
نجمع الحدود المتشابهة: \(24{,}7 - 24{,}7 = 0\) و \(-0{,}5 - 0{,}5 = -1\):
\(C = 89 - 1\)
الجواب: \(C = 88\)
نخرج العامل المشترك \(1{,}8\) (نلاحظ أنّ الحدّ الأخير \(1{,}8 = 1 \times 1{,}8\)):
\(D = 1{,}8 \times (75{,}75 + 25{,}25 - 1)\)
\(75{,}75 + 25{,}25 = 101\)، ثمّ \(101 - 1 = 100\):
\(D = 1{,}8 \times 100\)
الجواب: \(D = 180\)
نلاحظ أنّ \(11{,}03 = 12{,}03 - 1\)، إذن:
\(11{,}03 \times 0{,}9 = (12{,}03 - 1) \times 0{,}9 = 12{,}03 \times 0{,}9 - 0{,}9\)
نعوّض في \(E\):
\(E = 12{,}03 \times 0{,}9 - 0{,}9 + 12{,}03 \times 9{,}1 - 9{,}1\)
نجمع حدّي \(12{,}03\): \(12{,}03 \times (0{,}9 + 9{,}1) = 12{,}03 \times 10 = 120{,}3\).
ونجمع الحدّين الآخرين: \(-0{,}9 - 9{,}1 = -10\).
\(E = 120{,}3 - 10\)
الجواب: \(E = 110{,}3\)
التحقّق بالحساب المباشر: \(11{,}03 \times 0{,}9 = 9{,}927\) و \(12{,}03 \times 9{,}1 = 109{,}473\)، ومنه \(9{,}927 + 109{,}473 - 9{,}1 = 110{,}3\) ✓
ليكن \(ABC\) مثلّثًا حيث \(BA = BC = 6\,\text{cm}\) و \(AC = 8\,\text{cm}\)، و \(I\) منتصف \([AC]\) و \(M\) منتصف \([AB]\) (انظر الرسم على ورقة الفرض).
1) بيّن أنّ \((BI)\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\).
2) أ- ابن النقطة \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\).
ب- \((AH)\) و \((BI)\) يتقاطعان في \(K\). حدّد المركز القائم للمثلّث \(ABC\) معلّلًا جوابك.
3) أ- عيّن \(J\) منتصف \([BC]\)، وارسم المستقيم \(\Delta\) المارّ من \(J\) والعمودي على \([BC]\).
ب- \(\Delta\) يقطع \((BI)\) في نقطة \(O\). ماذا تمثّل \(O\) بالنسبة للمثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
4) المستقيمان \((AJ)\) و \((BI)\) يتقاطعان في \(G\). بيّن أنّ المستقيم \((CG)\) يمرّ من \(M\) منتصف \([AB]\).
الخاصّية المميّزة للموسط العمودي: نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة إذا (وفقط إذا) كانت على البعد نفسه من طرفيها.
- \(BA = BC = 6\,\text{cm}\) ⟵ النقطة \(B\) على البعد نفسه من \(A\) و \(C\)، إذن \(B\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ \([AC]\).
- \(I\) منتصف \([AC]\) ⟵ إذن \(IA = IC\)، والنقطة \(I\) تنتمي كذلك إلى الموسط العمودي لـ \([AC]\).
المستقيم \((BI)\) يمرّ من نقطتين مختلفتين تنتميان إلى الموسط العمودي لـ \([AC]\)، إذن:
الاستنتاج: \((BI)\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\) ✓
(أ) \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\): نُنشئه بإنزال العمودي من \(A\) على المستقيم \((BC)\) (باستعمال الكوس).
(ب) تحديد المركز القائم:
تعريف: المركز القائم لمثلّث هو نقطة تقاطع ارتفاعاته الثلاثة (الارتفاع مستقيم يمرّ من رأس ويكون عموديًّا على الضلع المقابل).
- \((AH)\) عمودي على \((BC)\) ويمرّ من الرأس \(A\) ⟵ إذن \((AH)\) هو الارتفاع الصادر من \(A\).
- \((BI)\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\) (السؤال 1)، فهو عمودي على \((AC)\) ويمرّ من الرأس \(B\) ⟵ إذن \((BI)\) هو الارتفاع الصادر من \(B\).
النقطة \(K\) هي تقاطع ارتفاعين للمثلّث، إذن:
الاستنتاج: \(K\) هو المركز القائم للمثلّث \(ABC\) ✓
(أ) نعيّن \(J\) منتصف \([BC]\)، ونرسم \(\Delta\) العمودي على \([BC]\) المارّ من \(J\): فيكون \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\).
(ب) ماذا تمثّل \(O\):
- \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\)، و \(O\) على \(\Delta\) ⟵ إذن \(OB = OC\).
- \((BI)\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\) (السؤال 1)، و \(O\) على \((BI)\) ⟵ إذن \(OA = OC\).
- إذن \(OA = OB = OC\).
النقطة \(O\) هي تقاطع موسطين عموديين لضلعين، وهي على البعد نفسه من الرؤوس الثلاثة، إذن:
الاستنتاج: \(O\) هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\) ✓
تعريف: المتوسّط في مثلّث مستقيم يصل رأسًا بمنتصف الضلع المقابل. تتلاقى المتوسّطات الثلاثة في نقطة واحدة تُسمّى مركز الثقل.
- \(J\) منتصف \([BC]\) ⟵ إذن \((AJ)\) هو المتوسّط الصادر من \(A\).
- \(I\) منتصف \([AC]\) ⟵ إذن \((BI)\) هو المتوسّط الصادر من \(B\).
النقطة \(G = (AJ) \cap (BI)\) هي تقاطع متوسّطين، إذن \(G\) هو مركز ثقل المثلّث \(ABC\).
ومركز الثقل يقع على المتوسّطات الثلاثة؛ والمتوسّط الثالث هو الصادر من \(C\)، أي المستقيم الذي يصل \(C\) بمنتصف \([AB]\) وهو \(M\). إذن المتوسّط \((CM)\) يمرّ من \(G\)، ومنه المستقيم \((CG)\) هو نفسه المتوسّط \((CM)\):
الاستنتاج: \((CG)\) يمرّ من \(M\) منتصف \([AB]\) ✓