اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| فاصلة النقطة \(A\) في المستقيم المدرّج أسفله (حسب الرسم على ورقة الفرض) هي: \(+\!+\!+\; O \;+\!+\!+\; 1 \;+\!+\!+\!+\; A \;+\!+\!+\) |
\(1{,}4\) | \(2\) | \(1{,}5\) |
| إذا علمت أنّ \(EF = 6\) و \(EG = 8\) فإنّ النقاط \(E\) و \(F\) و \(G\) تمثّل رؤوسًا لمثلّث إذا كان: | \(FG = 2\) | \(FG = 7\) | \(FG = 15\) |
| إذا علمت أنّ \(6{,}156 = 5{,}13 \times 1{,}2\) فإنّ الجداء \(513 \times 0{,}12\) يساوي: | \(6{,}156\) | \(61{,}56\) | \(615{,}6\) |
| إذا علمت أنّ \(a \times 3 = b \times 5\) حيث \(a\) و \(b\) عددان صحيحان طبيعيان مخالفان للصفر فإنّ: | \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{15}{9}\) | \(\dfrac{a}{5} = \dfrac{3}{b}\) | \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5}\) |
هذا السؤال يُقرأ مباشرة من المستقيم المدرّج المرسوم على ورقة الفرض؛ نعدّ التدريجات على محور الفواصل انطلاقًا من المبدأ \(O\).
حسب الرسم، تقع \(A\) بعد التدريج \(1\) وقبل التدريج \(2\)، على مسافة نصف وحدة بعد الوحدة الأولى، فتكون فاصلتها \(1{,}5\).
الجواب الصحيح: ج: \(1{,}5\)
القاعدة: توجد النقاط \(E,F,G\) رؤوسًا لمثلّث إذا وفقط إذا كان الضلع الأكبر أصغر من مجموع الضلعين الآخرين، أي:
\(|EF - EG| < FG < EF + EG\)
عندنا \(EF = 6\) و \(EG = 8\)، إذن:
\(8 - 6 < FG < 8 + 6 \;\Longrightarrow\; 2 < FG < 14\)
نختبر الإجابات:
- \(FG = 2\): مساواة حدّية \(2 = 8 - 6\) ⟵ النقاط في استقامة (لا مثلّث).
- \(FG = 7\): \(2 < 7 < 14\) ⟵ مثلّث موجود ✓
- \(FG = 15\): \(15 > 14\) ⟵ مستحيل (لا مثلّث).
الجواب الصحيح: ب: \(FG = 7\)
لدينا \(5{,}13 \times 1{,}2 = 6{,}156\).
نلاحظ أنّ \(513 = 5{,}13 \times 100\) و \(0{,}12 = 1{,}2 \div 10\)، إذن نضرب في \(100\) ونقسم على \(10\)، أي نضرب الجداء الأصلي في \(10\):
\(513 \times 0{,}12 = (5{,}13 \times 1{,}2) \times 10 = 6{,}156 \times 10 = 61{,}56\)
الجواب الصحيح: ب: \(61{,}56\)
الجداء التبادلي: المساواة \(a \times 3 = b \times 5\) تكافئ \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{3}\).
نبحث في الاختيارات عن العلاقة المكافئة لـ \(a \times 3 = b \times 5\) (أي \(3a = 5b\)):
- الاختيار أ: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{15}{9}\) ⟵ بالجداء التبادلي \(9a = 15b\) أي \(3a = 5b\) ⟵ مكافئ ✓
- الاختيار ب: \(\dfrac{a}{5} = \dfrac{3}{b}\) ⟵ يعطي \(a \times b = 15\) ⟵ غير مكافئ.
- الاختيار ج: \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5}\) ⟵ يعطي \(5a = 3b\) ⟵ غير مكافئ.
الجواب الصحيح: أ: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{15}{9}\)
1) فكّك إلى جداء عوامل أوّلية العددين \(120\) و \(180\).
2) أحسب \(\text{ق م أ}(120\,,\,180)\) و \(\text{م م أ}(120\,,\,180)\).
3) مستطيل بُعداه \(120\) و \(180\) بالصنتمتر، نريد تقسيمه إلى مربّعات متقايسة بأكبر ضلع ممكن.
أ) ما هو ضلع المربّع الواحد؟
ب) أحسب عدد المربّعات المتحصّل عليها.
\(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^{3} \times 3 \times 5\)
\(180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5\)
ق م أ = جداء العوامل الأوّلية المشتركة بأصغر أُسّ:
\(\text{ق م أ}(120\,,\,180) = 2^{2} \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60\)
م م أ = جداء كلّ العوامل الأوّلية بأكبر أُسّ:
\(\text{م م أ}(120\,,\,180) = 2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360\)
الجواب: \(\text{ق م أ} = 60\) و \(\text{م م أ} = 360\).
لكي تنقسم أضلاع المستطيل إلى مربّعات متقايسة تمامًا، يجب أن يكون ضلع المربّع قاسمًا مشتركًا للبُعدين \(120\) و \(180\)؛ وأكبر ضلع ممكن هو القاسم المشترك الأكبر:
الجواب: ضلع المربّع \(= \text{ق م أ}(120\,,\,180) = 60\,\text{cm}\)
عدد المربّعات على البُعد الأوّل: \(120 : 60 = 2\).
عدد المربّعات على البُعد الثاني: \(180 : 60 = 3\).
إذن عدد المربّعات كلّها: \(2 \times 3 = 6\).
الجواب: عدد المربّعات هو \(6\) مربّعات.
1) أحسب ما يلي بأيسر طريقة:
\(a = 89{,}089 + 4{,}11 + 10{,}911 + 17{,}89\)
\(b = (15{,}789 + 4{,}102 - 2{,}59) - (4{,}789 - 2{,}59)\)
2) أكمل الفراغ بما يناسب:
\(\ldots\ldots + 3{,}25 = 7\) \(\qquad\qquad\) \(26 - (\ldots\ldots - 11{,}2) = 9{,}5\)
نعيد ترتيب الحدود (تبديلية الجمع) لتكوين أعداد صحيحة:
\(a = (89{,}089 + 10{,}911) + (4{,}11 + 17{,}89)\)
\(a = 100 + 22 = 122\)
الجواب: \(a = 122\)
نرفع القوسين مع الانتباه لإشارة الطرح أمام القوس الثاني:
\(b = 15{,}789 + 4{,}102 - 2{,}59 - 4{,}789 + 2{,}59\)
الحدّان المتقابلان \(-2{,}59\) و \(+2{,}59\) يُحذفان، ونحسب \(15{,}789 - 4{,}789 = 11\):
\(b = (15{,}789 - 4{,}789) + 4{,}102 = 11 + 4{,}102 = 15{,}102\)
الجواب: \(b = 15{,}102\)
(أ) \(\square + 3{,}25 = 7\):
\(\square = 7 - 3{,}25 = 3{,}75\)
الجواب: \(3{,}75 + 3{,}25 = 7\)
(ب) \(26 - (\square - 11{,}2) = 9{,}5\):
أوّلًا نُوجد قيمة القوس: \((\square - 11{,}2) = 26 - 9{,}5 = 16{,}5\).
ثمّ: \(\square = 16{,}5 + 11{,}2 = 27{,}7\).
الجواب: \(26 - (27{,}7 - 11{,}2) = 9{,}5\)
تحقّق: \(27{,}7 - 11{,}2 = 16{,}5\) و \(26 - 16{,}5 = 9{,}5\) ✓