اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية. ضع العلامة (X) على الإجابة الصحيحة.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| يمكن رسم المثلّث \(ABC\) إذا كان: | \(AB = 3\;,\; AC = 7\;,\; BC = 11\) | \(AB = 2\;,\; BC = 7\;,\; AC = 9\) | \(AB = 4\;,\; BC = 5\;,\; AC = 6\) |
| ق.م.أ \((11\,,\,24)\) هو: | \(24\) | \(24 \times 11\) | \(1\) |
| في المثلّث \(ABC\)، النقطة \(I\) هي منتصف \([AB]\)، فإنّ \([CI]\) هو: | منصّف الزاوية \(\widehat{ACB}\) | الموسّط الموافق لـ \([AB]\) | الارتفاع الصادر من \(C\) |
| مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث هو نقطة تقاطع: | موسّطات المثلّث | منصّفات زوايا المثلّث | الموسّطات العمودية لأضلاعه |
القاعدة: يوجد المثلّث إذا كان أكبر الأطوال أصغر (تمامًا) من مجموع الطولين الآخرين.
- أ: الأطوال \(3\,,\,7\,,\,11\): بما أنّ \(3 + 7 = 10 < 11\) ⟵ لا يوجد مثلّث.
- ب: الأطوال \(2\,,\,7\,,\,9\): بما أنّ \(2 + 7 = 9\) (تساوٍ) ⟵ النقاط في استقامة (لا مثلّث).
- ج: الأطوال \(4\,,\,5\,,\,6\): أكبرها \(6\)، و \(4 + 5 = 9 > 6\) ⟵ يوجد مثلّث ✓
الجواب الصحيح: ج
قواسم \(11\) هي: \(1\) و \(11\) (لأنّ \(11\) عدد أوّلي).
قواسم \(24\) هي: \(1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,6\,,\,8\,,\,12\,,\,24\).
القاسم المشترك الوحيد بين \(11\) و \(24\) هو \(1\)، وهو الأكبر.
الجواب الصحيح: ج: \(1\)
العددان \(11\) و \(24\) أوّليان فيما بينهما لأنّ ق.م.أ لهما يساوي \(1\).
تذكير: الموسّط في مثلّث هو القطعة التي تصل رأسًا بمنتصف الضلع المقابل له.
بما أنّ \(I\) منتصف \([AB]\) والضلع المقابل للرأس \(C\) هو \([AB]\)، فإنّ \([CI]\) تصل الرأس \(C\) بمنتصف الضلع المقابل، إذن هي الموسّط الموافق لـ \([AB]\).
الجواب الصحيح: ب: الموسّط الموافق لـ \([AB]\)
القاعدة: مركز الدائرة المحيطة بمثلّث هو نقطة تقاطع الموسّطات العمودية لأضلاعه؛ فهو على البعد نفسه من الرؤوس الثلاثة.
الجواب الصحيح: ج: الموسّطات العمودية لأضلاعه
تقاطع الموسّطات ⟵ مركز الثقل، وتقاطع منصّفات الزوايا ⟵ مركز الدائرة المحاطة (الداخلية)؛ لذلك (أ) و(ب) خاطئتان.
1) إذا علمت أنّ \(39483 = 321 \times 123\)، أحسب:
\(12{,}3 \times 3{,}21 = \ldots\ldots\)
\((1000 \times 0{,}321) \times (0{,}01 \times 1230) = \ldots\ldots\)
2) أكتب العدد العشري المناسب:
\(13{,}403 - (2{,}403 + \ldots\ldots) = 5{,}1\)
\(50{,}05 \times 45{,}9 + \ldots\ldots \times 50{,}05 = 5005\)
3) أكتب ترتيبًا تنازليًّا للأعداد العشرية التالية:
\(64{,}142 \;/\; 37{,}45 \;/\; 96{,}98 \;/\; 46{,}142 \;/\; 54{,}45 \;/\; 53{,}54\)
4) أحسب بأيسر طريقة:
\(a = (171{,}06 - 87{,}35) - 12{,}65\)
\(b = 1{,}17 \times 74{,}21 + 1{,}17 \times 25{,}79 - 25{,}79\)
\(c = 12{,}3 \times 91{,}7 + 1{,}23 \times 83\)
(أ) \(12{,}3 \times 3{,}21\):
\(12{,}3 = \dfrac{123}{10}\) و \(3{,}21 = \dfrac{321}{100}\)، إذن:
\(12{,}3 \times 3{,}21 = \dfrac{123 \times 321}{10 \times 100} = \dfrac{39483}{1000} = 39{,}483\)
الجواب: \(12{,}3 \times 3{,}21 = 39{,}483\)
(ب) \((1000 \times 0{,}321) \times (0{,}01 \times 1230)\):
\(1000 \times 0{,}321 = 321\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(0{,}01 \times 1230 = 12{,}3\).
إذن الجداء يساوي \(321 \times 12{,}3 = 321 \times \dfrac{123}{10} = \dfrac{39483}{10} = 3948{,}3\).
الجواب: \((1000 \times 0{,}321) \times (0{,}01 \times 1230) = 3948{,}3\)
(أ) \(13{,}403 - (2{,}403 + \square) = 5{,}1\):
نعزل القوس: \(2{,}403 + \square = 13{,}403 - 5{,}1 = 8{,}303\).
إذن \(\square = 8{,}303 - 2{,}403 = 5{,}9\).
الجواب: العدد هو \(5{,}9\)
تحقّق: \(13{,}403 - (2{,}403 + 5{,}9) = 13{,}403 - 8{,}303 = 5{,}1\) ✓
(ب) \(50{,}05 \times 45{,}9 + \square \times 50{,}05 = 5005\):
نُخرج العامل المشترك \(50{,}05\): \(50{,}05 \times (45{,}9 + \square) = 5005\).
إذن \(45{,}9 + \square = \dfrac{5005}{50{,}05} = 100\)، ومنه \(\square = 100 - 45{,}9 = 54{,}1\).
الجواب: العدد هو \(54{,}1\)
تحقّق: \(50{,}05 \times (45{,}9 + 54{,}1) = 50{,}05 \times 100 = 5005\) ✓
نقارن الأجزاء الصحيحة أوّلًا: \(96 > 64 > 54 > 53 > 46 > 37\).
(لا يوجد تساوٍ في الأجزاء الصحيحة، فلا حاجة إلى مقارنة الجزء العشري.)
الترتيب التنازلي:
\(96{,}98 > 64{,}142 > 54{,}45 > 53{,}54 > 46{,}142 > 37{,}45\)
حساب \(a\):
\(a = (171{,}06 - 87{,}35) - 12{,}65 = 171{,}06 - (87{,}35 + 12{,}65)\)
\(= 171{,}06 - 100 = 71{,}06\)
الجواب: \(a = 71{,}06\)
حساب \(b\): (نُخرج العامل المشترك \(1{,}17\))
\(b = 1{,}17 \times (74{,}21 + 25{,}79) - 25{,}79 = 1{,}17 \times 100 - 25{,}79\)
\(= 117 - 25{,}79 = 91{,}21\)
الجواب: \(b = 91{,}21\)
حساب \(c\):
نلاحظ أنّ \(1{,}23 \times 83 = 12{,}3 \times 8{,}3\) (لأنّ كليهما يساوي \(\dfrac{123 \times 83}{100}\))، إذن:
\(c = 12{,}3 \times 91{,}7 + 12{,}3 \times 8{,}3 = 12{,}3 \times (91{,}7 + 8{,}3)\)
\(= 12{,}3 \times 100 = 1230\)
الجواب: \(c = 1230\)
تأمّل الشكل التالي حيث المثلّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) و \(\widehat{ABC} = 67^\circ\) (انظر الرسم على ورقة الفرض).
1) احسب \(\widehat{ACB}\).
2) أ- ابن النقطة \(D\) حيث \(A\) منتصف \([BD]\).
ب- بيّن أنّ \((AC)\) هو الموسّط العمودي لـ \([BD]\).
ج- ابن المستقيم \(\Delta\) الموسّط العمودي لـ \([DC]\)؛ يقطع \(\Delta\) المستقيم \((AC)\) في النقطة \(O\).
د- ماذا تمثّل النقطة \(O\) بالنسبة للمثلّث \(DBC\)؟ علّل جوابك.
هـ- استنتج قيس الزاوية \(\widehat{OBC}\).
3) أ- ارسم \(H\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((DC)\)؛ يقطع \((BH)\) المستقيم \((AC)\) في النقطة \(I\).
ب- بيّن أنّ \(I\) هو المركز القائم (تقاطع الارتفاعات) للمثلّث \(BCD\).
ج- ابن \(E\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \((BC)\)، ثمّ بيّن أنّ النقاط \(D\) و \(I\) و \(E\) على استقامة واحدة.
القاعدة: في مثلّث قائم الزاوية، الزاويتان الحادّتان متتامّتان (مجموعهما \(90^\circ\)).
المثلّث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن \(\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^\circ\).
\(\widehat{ACB} = 90^\circ - 67^\circ = 23^\circ\)
الجواب: \(\widehat{ACB} = 23^\circ\)
(أ) نبني \(D\) على المستقيم \((AB)\) بحيث تكون \(A\) منتصف \([BD]\) (أي \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى النقطة \(A\))، فتقع \(D\) على الجهة الأخرى من \(A\) وبحيث \(AD = AB\).
(ب) بيان أنّ \((AC)\) موسّط عمودي لـ \([BD]\):
تعريف: الموسّط العمودي لقطعة هو المستقيم المارّ من منتصفها والعمودي عليها.
- \(A\) منتصف \([BD]\) (من البناء) ⟵ إذن \((AC)\) يمرّ من منتصف \([BD]\).
- المثلّث قائم في \(A\)، إذن \((AC) \perp (AB)\)، والنقاط \(B\) و \(A\) و \(D\) في استقامة واحدة، فيكون \((AC) \perp (BD)\).
إذن \((AC)\) يمرّ من منتصف \([BD]\) وهو عمودي عليها، ومنه:
الاستنتاج: \((AC)\) هو الموسّط العمودي لـ \([BD]\) ✓
(ج) نبني \(\Delta\) الموسّط العمودي لـ \([DC]\) (يمرّ من منتصف \([DC]\) عموديًّا عليها)، ويقطع \((AC)\) في \(O\).
(د) ماذا تمثّل \(O\) للمثلّث \(DBC\):
الخاصّية: كلّ نقطة من الموسّط العمودي لقطعة تكون على البعد نفسه من طرفيها.
- \(O\) على \((AC)\) وهو الموسّط العمودي لـ \([BD]\) ⟵ إذن \(OB = OD\).
- \(O\) على \(\Delta\) الموسّط العمودي لـ \([DC]\) ⟵ إذن \(OD = OC\).
- إذن \(OB = OD = OC\).
النقطة \(O\) على البعد نفسه من رؤوس المثلّث \(DBC\)، وهي تقاطع موسّطين عموديين لضلعين منه، إذن:
الاستنتاج: \(O\) هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(DBC\) ✓
بما أنّ \((AC)\) هو الموسّط العمودي لـ \([BD]\)، فهو محور تناظر للنقطتين \(B\) و \(D\)؛ والتناظر بالنسبة إلى \((AC)\) يحوّل \(B\) إلى \(D\) ويُبقي \(C\) في مكانها (لأنّها على المحور). إذن \(CB = CD\)، والمثلّث \(CBD\) متساوي الساقين في \(C\)، مع \(\widehat{BCA} = \widehat{DCA} = 23^\circ\)، أي \(\widehat{BCD} = 46^\circ\)، وزاويتا القاعدة: \(\widehat{DBC} = \widehat{BDC} = \dfrac{180^\circ - 46^\circ}{2} = 67^\circ\).
الآن النقطة \(O\) على المستقيم \((AC)\)، فيكون النصف مستقيم \([CO)\) هو نفسه \([CA)\)، ومنه:
\(\widehat{OCB} = \widehat{ACB} = 23^\circ\).
وبما أنّ \(O\) مركز الدائرة المحيطة بـ \(DBC\) فإنّ \(OB = OC\)، والمثلّث \(OBC\) متساوي الساقين في \(O\)، فتتساوى زاويتا قاعدته:
\(\widehat{OBC} = \widehat{OCB} = 23^\circ\)
الاستنتاج: \(\widehat{OBC} = 23^\circ\) ✓
(أ) نرسم \(H\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((DC)\)، فيكون \((BH) \perp (DC)\)، أي \((BH)\) هو الارتفاع الصادر من \(B\) في المثلّث \(BCD\). ويقطع \((BH)\) المستقيم \((AC)\) في \(I\).
(ب) بيان أنّ \(I\) هو المركز القائم:
تعريف: المركز القائم لمثلّث هو نقطة تقاطع ارتفاعاته الثلاثة، ويكفي تقاطع ارتفاعين لتعيينه.
- \((BH) \perp (DC)\) ⟵ إذن \((BI)\) يحمل الارتفاع الصادر من \(B\) في المثلّث \(BCD\).
- \((AC) \perp (BD)\) (لأنّ \((AC)\) موسّط عمودي لـ \([BD]\))، والنقطة \(C\) على \((AC)\) ⟵ إذن \((CA)\) يحمل الارتفاع الصادر من \(C\) في المثلّث \(BCD\) (عمودي على الضلع المقابل \([BD]\)).
- النقطة \(I\) هي تقاطع \((BH)\) و \((AC)\)، أي تقاطع ارتفاعين للمثلّث \(BCD\).
الاستنتاج: \(I\) هو المركز القائم للمثلّث \(BCD\) ✓
البناء: \(E\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى المستقيم \((BC)\) (بالتناظر المحوري حول \((BC)\)).
الفكرة: بما أنّ \(I\) هو المركز القائم للمثلّث \(BCD\)، فإنّ الارتفاع الصادر من \(D\) يمرّ من \(D\) ومن \(I\)، وهو عمودي على الضلع المقابل \([BC]\). إذن المستقيم \((DI)\) عمودي على \((BC)\).
التعليل الهندسي: المستقيم \((DI)\) عمودي على \((BC)\) (لأنّه يحمل الارتفاع الصادر من \(D\)). ومناظرة \(D\) بالنسبة إلى \((BC)\) تعطي \(E\) بحيث يكون \((BC)\) الموسّط العمودي لـ \([DE]\)، أي \((DE) \perp (BC)\). فالمستقيمان \((DI)\) و \((DE)\) كلاهما مارّ من \(D\) وعمودي على \((BC)\)، ومن نقطة معلومة لا يُرسم إلّا عمود واحد على مستقيم، إذن هما المستقيم نفسه.
الاستنتاج: النقاط \(D\) و \(I\) و \(E\) على استقامة واحدة ✓
يُتمّم التحقّق بالرجوع إلى الرسم على ورقة الفرض: \((DE) \perp (BC)\) هو الاتّجاه نفسه للارتفاع المارّ من \(D\) و \(I\).