اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية.
| المعطيات | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| عدد الكسور التي تساوي \(\dfrac{5}{6}\) من بين الأعداد \(\dfrac{45}{54}\) ؛ \(\dfrac{65}{78}\) ؛ \(\dfrac{35}{28}\) ؛ \(\dfrac{30}{42}\) هو: | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| ليكن \(a\) عددًا صحيحًا طبيعيًّا محصورًا بين \(9\) و \(15\) حيث \(\dfrac{a}{35 \times 2^{3}}\) هو كسري عشري، إذن: | \(a = 10\) | \(a = 12\) | \(a = 14\) |
| يمكن بناء مثلّث \(ABC\) حيث \(AB = 98 \times 0{,}1\) و \(AC = \dfrac{37}{5}\) و \(BC = 0{,}024 \times 10^{2}\): | صواب | خطأ | |
| إذا كان \(O\) مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(IJK\) و \(O'\) منتصف \([IK]\)، فإنّ \((OO')\) محور تناظر للمثلّث \(IOK\): | صواب | خطأ | |
نبسّط كلّ كسر:
- \(\dfrac{45}{54} = \dfrac{45 : 9}{54 : 9} = \dfrac{5}{6}\) ⟵ يساوي \(\dfrac{5}{6}\) ✓
- \(\dfrac{65}{78} = \dfrac{65 : 13}{78 : 13} = \dfrac{5}{6}\) ⟵ يساوي \(\dfrac{5}{6}\) ✓
- \(\dfrac{35}{28} = \dfrac{35 : 7}{28 : 7} = \dfrac{5}{4}\) ⟵ لا يساوي \(\dfrac{5}{6}\)
- \(\dfrac{30}{42} = \dfrac{30 : 6}{42 : 6} = \dfrac{5}{7}\) ⟵ لا يساوي \(\dfrac{5}{6}\)
عدد الكسور المساوية لـ \(\dfrac{5}{6}\) هو \(2\).
الجواب الصحيح: 2
القاعدة: كسر (في أبسط صورة) يكون كسريًّا عشريًّا إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) فقط.
المقام: \(35 \times 2^{3} = (5 \times 7) \times 2^{3} = 2^{3} \times 5 \times 7\). العامل \(7\) هو الذي يمنع الكسر من أن يكون عشريًّا، فلا بدّ أن يكون البسط \(a\) مضاعفًا لـ \(7\) حتّى يُختصر العامل \(7\).
مضاعفات \(7\) المحصورة بين \(9\) و \(15\): العدد \(14\) فقط \((14 = 7 \times 2)\).
عندئذٍ: \(\dfrac{14}{35 \times 2^{3}} = \dfrac{2 \times 7}{2^{3} \times 5 \times 7} = \dfrac{2}{2^{3} \times 5} = \dfrac{1}{2^{2} \times 5} = \dfrac{1}{20}\)، ومقامه \(20 = 2^{2} \times 5\)، إذن هو كسري عشري.
الجواب الصحيح: \(a = 14\)
نحسب الأطوال:
- \(AB = 98 \times 0{,}1 = 9{,}8\)
- \(AC = \dfrac{37}{5} = 7{,}4\)
- \(BC = 0{,}024 \times 10^{2} = 0{,}024 \times 100 = 2{,}4\)
المتفاوتة المثلثية: يوجد المثلّث إذا وفقط إذا كان \(|AB - AC| < BC < AB + AC\).
\(|AB - AC| = |9{,}8 - 7{,}4| = 2{,}4\)، ونجد \(BC = 2{,}4\).
إذن \(BC = |AB - AC|\)، وهي حالة مساواة حدّية: النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) في استقامة واحدة ولا يوجد مثلّث.
الجواب الصحيح: خطأ
\(O\) مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(IJK\)، إذن \(O\) على البعد نفسه من كلّ الرؤوس، وبالخصوص \(OI = OK\): فالمثلّث \(IOK\) متساوي الساقين في \(O\).
و \(O'\) منتصف \([IK]\) (قاعدة هذا المثلّث المتساوي الساقين). في مثلّث متساوي الساقين، المستقيم المارّ من الرأس الرئيسي ومن منتصف القاعدة هو محور التناظر (وهو الموسط العمودي للقاعدة).
إذن \((OO')\) محور تناظر للمثلّث \(IOK\).
الجواب الصحيح: صواب
1) أ- بيّن أنّ العدد الكسري \(a = \dfrac{198}{120}\) هو عدد عشري واكتبه في صورة \(\dfrac{x}{10^{n}}\) حيث \(x\) و \(n\) عددان صحيحان طبيعيان.
ب- اختزل إلى أقصى حدّ العدد \(b = \dfrac{693}{357}\) ثمّ علّل لماذا هو عدد غير عشري.
ج- استنتج مقارنة لـ \(a\) و \(b\).
2) أ- احسب العددين التاليين:
\(c = 2 + \dfrac{3}{7}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(d = \dfrac{13}{80} + \dfrac{5}{24}\)
ب- استنتج ترتيبًا للأعداد \(a\) و \(b\) و \(c\) و \(d\) معلّلًا جوابك.
أكمل بما يناسب:
\(\dfrac{91}{52} = \dfrac{21}{\ldots\ldots}\) \(\qquad\qquad\) \(\dfrac{99 \times 6 + 99}{4 \times 98 + 4} = \dfrac{\ldots\ldots}{4}\)
\(\dfrac{293}{53} = 5 + \dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}\) \(\qquad\qquad\) \(\dfrac{397{,}5}{13{,}25} = \ldots\ldots\)
نبسّط \(a = \dfrac{198}{120}\). التفكيك: \(198 = 2 \times 3^{2} \times 11\) و \(120 = 2^{3} \times 3 \times 5\)، والقاسم المشترك الأكبر \(= 2 \times 3 = 6\).
\(a = \dfrac{198 : 6}{120 : 6} = \dfrac{33}{20}\)
مقام \(a\) في أبسط صورة هو \(20 = 2^{2} \times 5\)، وهو من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\)، إذن \(a\) عدد عشري.
لكتابته في صورة \(\dfrac{x}{10^{n}}\) نضرب البسط والمقام في \(5\):
\(a = \dfrac{33 \times 5}{20 \times 5} = \dfrac{165}{100} = \dfrac{165}{10^{2}}\)
الجواب: \(a = \dfrac{165}{10^{2}} = 1{,}65\) أي \(x = 165\) و \(n = 2\).
التفكيك: \(693 = 3^{2} \times 7 \times 11\) و \(357 = 3 \times 7 \times 17\)، والقاسم المشترك الأكبر \(= 3 \times 7 = 21\).
\(b = \dfrac{693 : 21}{357 : 21} = \dfrac{33}{17}\)
مقام \(b\) في أبسط صورة هو \(17\)، وهو عدد أوّلي ليس من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\)، إذن \(b\) عدد غير عشري.
لدينا \(a = \dfrac{33}{20}\) و \(b = \dfrac{33}{17}\): الكسران لهما نفس البسط \(33\).
القاعدة: عند تساوي البسطين (والمقامان موجبان)، الكسر الأكبر هو صاحب المقام الأصغر.
بما أنّ \(20 > 17\)، فإنّ:
الجواب: \(a < b\) أي \(\dfrac{33}{20} < \dfrac{33}{17}\).
حساب \(c\):
\(c = 2 + \dfrac{3}{7} = \dfrac{14}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{17}{7}\)
حساب \(d\): نوحّد المقامين. \(80 = 2^{4} \times 5\) و \(24 = 2^{3} \times 3\)، والمضاعف المشترك الأصغر \(= 2^{4} \times 3 \times 5 = 240\).
\(\dfrac{13}{80} = \dfrac{13 \times 3}{240} = \dfrac{39}{240}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\dfrac{5}{24} = \dfrac{5 \times 10}{240} = \dfrac{50}{240}\)
\(d = \dfrac{39}{240} + \dfrac{50}{240} = \dfrac{89}{240}\)
نكتب قيمة كلّ عدد تقريبًا:
- \(a = \dfrac{33}{20} = 1{,}65\)
- \(b = \dfrac{33}{17} \approx 1{,}94\)
- \(c = \dfrac{17}{7} \approx 2{,}43\)
- \(d = \dfrac{89}{240} \approx 0{,}37\)
نلاحظ أنّ \(d < 1\) (بسطه أصغر من مقامه)، وأنّ \(a < b\) (من السؤال 1ج)، وأنّ \(c\) هو الأكبر.
الترتيب التصاعدي: \(d < a < b < c\)
(1) \(\dfrac{91}{52} = \dfrac{21}{\ldots}\): نبسّط \(\dfrac{91}{52} = \dfrac{7}{4}\) (لأنّ \(91 = 7 \times 13\) و \(52 = 4 \times 13\)). وبما أنّ \(21 = 7 \times 3\)، نضرب في \(3\): \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{21}{12}\).
\(\dfrac{91}{52} = \dfrac{21}{12}\)
(2) \(\dfrac{99 \times 6 + 99}{4 \times 98 + 4} = \dfrac{\ldots}{4}\): البسط \(= 594 + 99 = 693\)، والمقام \(= 392 + 4 = 396\). نبسّط \(\dfrac{693}{396}\) بالقاسم المشترك الأكبر \(99\): \(\dfrac{693 : 99}{396 : 99} = \dfrac{7}{4}\).
\(\dfrac{99 \times 6 + 99}{4 \times 98 + 4} = \dfrac{7}{4}\)
(3) \(\dfrac{293}{53} = 5 + \dfrac{\ldots}{\ldots}\): بما أنّ \(53 \times 5 = 265\) و \(293 - 265 = 28\)، فإنّ \(\dfrac{293}{53} = \dfrac{265 + 28}{53} = 5 + \dfrac{28}{53}\).
\(\dfrac{293}{53} = 5 + \dfrac{28}{53}\)
(4) \(\dfrac{397{,}5}{13{,}25} = \ldots\): نضرب البسط والمقام في \(100\) لإزالة الفاصلة: \(\dfrac{397{,}5}{13{,}25} = \dfrac{39750}{1325} = 30\) (لأنّ \(13{,}25 \times 30 = 397{,}5\)).
\(\dfrac{397{,}5}{13{,}25} = 30\)
ابن مثلّثًا \(ABC\) بحيث \(AB = 8\,\text{cm}\) و \(\widehat{CAB} = 50^\circ\) و \(\widehat{ABC} = 70^\circ\).
1) عيّن النقطة \(I\) منتصف \([AB]\) والنقطة \(H\) المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AB)\).
أ- ماذا تمثّل قطعة المستقيم \([CI]\) بالنسبة للمثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
ب- ماذا تمثّل قطعة المستقيم \([CH]\) بالنسبة للمثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
ج- احسب \(\widehat{BCH}\) معلّلًا جوابك.
2) أ- لتكن النقطة \(K\) حيث \([AK]\) الارتفاع الصادر من \(A\) في المثلّث \(ABC\).
ب- المستقيمان \((CH)\) و \((AK)\) يتقاطعان في النقطة \(O\). ماذا تمثّل النقطة \(O\) بالنسبة للمثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
ج- استنتج أنّ المستقيمين \((AC)\) و \((OB)\) متعامدان.
3) ابن المستقيم \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([AC]\) الذي يقطع \((AC)\) في نقطة \(J\). المستقيم \((BJ)\) يقطع \((CI)\) في نقطة \(G\).
أ- ماذا تمثّل النقطة \(G\) بالنسبة للمثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
ب- عيّن النقطة \(E\) منتصف \([BC]\). بيّن أنّ النقاط \(A\) و \(G\) و \(E\) على استقامة واحدة.
نرسم القطعة \([AB]\) بحيث \(AB = 8\,\text{cm}\). من \(A\) نرسم نصف مستقيم يصنع زاوية \(50^\circ\) مع \([AB]\)، ومن \(B\) نرسم نصف مستقيم يصنع زاوية \(70^\circ\) مع \([AB]\)؛ نقطة تقاطعهما هي \(C\). (يُنجَز البناء بالمنقلة والمسطرة على ورقة الفرض.)
نلاحظ أنّ \(\widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ\).
\(I\) منتصف \([AB]\)، والقطعة \([CI]\) تصل الرأس \(C\) بمنتصف الضلع المقابل \([AB]\).
الاستنتاج: \([CI]\) هو المتوسّط الصادر من \(C\) للمثلّث \(ABC\).
\(H\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AB)\)، أي \((CH) \perp (AB)\)، والقطعة \([CH]\) تصل الرأس \(C\) عموديًّا بالضلع المقابل.
الاستنتاج: \([CH]\) هو الارتفاع الصادر من \(C\) للمثلّث \(ABC\).
المثلّث \(BCH\) قائم في \(H\) (لأنّ \((CH) \perp (AB)\))، وزاويته في \(B\) هي \(\widehat{HBC} = \widehat{ABC} = 70^\circ\).
مجموع الزاويتين الحادّتين في مثلّث قائم يساوي \(90^\circ\)، إذن:
\(\widehat{BCH} = 90^\circ - \widehat{HBC} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\)
الجواب: \(\widehat{BCH} = 20^\circ\)
(أ) نُنشئ \([AK]\) الارتفاع الصادر من \(A\)، أي المستقيم المارّ من \(A\) والعمودي على \((BC)\).
(ب) \((CH)\) هو الارتفاع الصادر من \(C\)، و \((AK)\) هو الارتفاع الصادر من \(A\). النقطة \(O\) هي تقاطع ارتفاعين من المثلّث.
الاستنتاج: \(O\) هو مركز تقاطع الارتفاعات للمثلّث \(ABC\).
بما أنّ \(O\) مركز تقاطع الارتفاعات، فإنّ الارتفاعات الثلاثة تمرّ منه، وبالخصوص الارتفاع الصادر من \(B\) يمرّ من \(O\)، أي المستقيم \((OB)\) يحمل الارتفاع الصادر من \(B\).
والارتفاع الصادر من \(B\) عموديّ على الضلع المقابل \([AC]\)، إذن:
الاستنتاج: \((AC) \perp (OB)\) ✓
\(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\)، وهو يمرّ من منتصف \([AC]\) عموديًّا عليها. وبما أنّ \(J = \Delta \cap (AC)\)، فإنّ \(J\) هو منتصف \([AC]\).
إذن \((BJ)\) يصل الرأس \(B\) بمنتصف الضلع المقابل \([AC]\): فهو المتوسّط الصادر من \(B\).
ومن السؤال 1(أ)، \((CI)\) هو المتوسّط الصادر من \(C\). والنقطة \(G\) هي تقاطع المتوسّطين \((BJ)\) و \((CI)\).
الاستنتاج: \(G\) هو مركز ثقل المثلّث \(ABC\) (تقاطع المتوسّطات).
\(E\) منتصف \([BC]\)، إذن \((AE)\) يصل الرأس \(A\) بمنتصف الضلع المقابل \([BC]\): فهو المتوسّط الثالث الصادر من \(A\).
ومركز الثقل \(G\) يقع على المتوسّطات الثلاثة، ومنها المتوسّط \((AE)\)، إذن \(G\) على \((AE)\).
الاستنتاج: النقاط \(A\) و \(G\) و \(E\) على استقامة واحدة ✓