اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية.
| السؤال | إجابة 1 | إجابة 2 | إجابة 3 |
|---|---|---|---|
| العدد العشري الذي يكون رقم أجزائه من الألف هو \(7\): | \(45{,}678\) | \(4{,}5678\) | \(0{,}45678\) |
| العبارة \(17{,}7 - 17{,}7 \times 0{,}2\) تساوي: | \(0\) | \(3{,}54\) | \(14{,}16\) |
| مناظرة دائرة بالنسبة لمستقيم هي الدائرة نفسها إذا كان هذا المستقيم: | مارًّا من مركزها | مماسًّا لها | منفصلًا عنها |
تذكير: بعد الفاصلة نقرأ: الرقم الأوّل = أجزاء العشر، الثاني = أجزاء المئة، الثالث = أجزاء الألف.
نقرأ الرقم الثالث بعد الفاصلة في كلّ عدد:
- \(45{,}678\): الرقم الثالث بعد الفاصلة هو \(8\).
- \(4{,}5678\): الأرقام بعد الفاصلة \(5,6,7,8\)، فالرقم الثالث هو \(7\) ✓
- \(0{,}45678\): الأرقام بعد الفاصلة \(4,5,6,7,8\)، فالرقم الثالث هو \(6\).
الجواب الصحيح: إجابة 2: \(4{,}5678\)
نخرج العامل المشترك \(17{,}7\):
\(17{,}7 - 17{,}7 \times 0{,}2 = 17{,}7 \times (1 - 0{,}2) = 17{,}7 \times 0{,}8\)
\(17{,}7 \times 0{,}8 = 14{,}16\)
الجواب الصحيح: إجابة 3: \(14{,}16\)
القيمة \(3{,}54\) هي فقط \(17{,}7 \times 0{,}2\) دون طرحها من \(17{,}7\)، وهي خطأ شائع.
القاعدة: المستقيم يكون محور تناظر للدائرة إذا كان يمرّ من مركزها؛ عندئذ تكون مناظرة الدائرة بالنسبة إليه هي الدائرة نفسها.
المماس يلمس الدائرة في نقطة واحدة، والمستقيم المنفصل لا يقطعها؛ لا واحد منهما محور تناظر لها.
الجواب الصحيح: إجابة 1: مارًّا من مركزها
1) احسب:
\(A = (25{,}73 - 6{,}746) - 3{,}254\)
\(B = (79{,}79 + 22{,}631) - (69{,}79 + 22{,}631)\)
\(C = 52{,}8 \times 2{,}7 + 53{,}8 \times 7{,}3 - 7{,}3\)
\(D = 23{,}14 \times 85 + 231{,}4 \times 1{,}5\)
\(E = (1{,}25 \times 2{,}017) \times 8 \times 10^{2}\)
2) أ- بيّن أنّ العدد \(\dfrac{126}{1050}\) هو عدد عشري.
ب- اكتب العدد \(\dfrac{126}{1050}\) على صورة \(\dfrac{a}{10^{n}}\) حيث \(a\) و \(n\) عددان صحيحان طبيعيان.
\(A = (25{,}73 - 6{,}746) - 3{,}254 = 18{,}984 - 3{,}254\)
الجواب: \(A = 15{,}73\)
\(B = (79{,}79 + 22{,}631) - (69{,}79 + 22{,}631)\)
نحذف \(22{,}631\) لأنّها مضافة ثمّ مطروحة:
\(B = 79{,}79 - 69{,}79 = 10\)
الجواب: \(B = 10\)
\(C = 52{,}8 \times 2{,}7 + 53{,}8 \times 7{,}3 - 7{,}3\)
نخرج \(7{,}3\) عاملًا مشتركًا في الحدّين الأخيرين: \(53{,}8 \times 7{,}3 - 7{,}3 = 7{,}3 \times (53{,}8 - 1) = 7{,}3 \times 52{,}8\).
إذن: \(C = 52{,}8 \times 2{,}7 + 52{,}8 \times 7{,}3 = 52{,}8 \times (2{,}7 + 7{,}3) = 52{,}8 \times 10\)
الجواب: \(C = 528\)
\(D = 23{,}14 \times 85 + 231{,}4 \times 1{,}5\)
نلاحظ أنّ \(231{,}4 = 23{,}14 \times 10\)، إذن \(231{,}4 \times 1{,}5 = 23{,}14 \times 15\).
\(D = 23{,}14 \times 85 + 23{,}14 \times 15 = 23{,}14 \times (85 + 15) = 23{,}14 \times 100\)
الجواب: \(D = 2314\)
\(E = (1{,}25 \times 2{,}017) \times 8 \times 10^{2}\)
نجمع \(1{,}25 \times 8 = 10\):
\(E = 2{,}017 \times (1{,}25 \times 8) \times 10^{2} = 2{,}017 \times 10 \times 100 = 2{,}017 \times 1000\)
الجواب: \(E = 2017\)
نبسّط الكسر بتفكيك البسط والمقام:
\(126 = 2 \times 3^{2} \times 7\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(1050 = 2 \times 3 \times 5^{2} \times 7\)
القاسم المشترك الأكبر \(= 2 \times 3 \times 7 = 42\)، إذن:
\(\dfrac{126}{1050} = \dfrac{126 : 42}{1050 : 42} = \dfrac{3}{25}\)
القاعدة: كسر (في أبسط صورة) يكون عددًا عشريًّا إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\).
مقام الكسر في أبسط صورة هو \(25 = 5^{2}\)، إذن \(\dfrac{126}{1050}\) عدد عشري.
\(\dfrac{126}{1050} = \dfrac{3}{25}\). نضرب البسط والمقام في \(4\) لنحصل على مقام قوّة للعدد \(10\):
\(\dfrac{3}{25} = \dfrac{3 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{12}{100} = \dfrac{12}{10^{2}}\)
الجواب: \(\dfrac{126}{1050} = \dfrac{12}{10^{2}}\) أي \(a = 12\) و \(n = 2\).
نعتبر المعيّن \((O\,;I\,;J)\) حيث \((OI) \perp (OJ)\) (انظر الرسم على ورقة الفرض؛ النقاط \(A\) و \(E\) و \(F\) موضوعة على الشبكة).
1) حدّد إحداثيات النقاط \(A\) و \(E\) و \(F\).
2) أ- ابن النقطة \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى المستقيم \((OI)\).
ب- بيّن أنّ المثلّث \(JAB\) متقايس الضلعين.
نقرأ إحداثيات كلّ نقطة مباشرةً من الشبكة (الفاصلة على محور الفواصل ثمّ الأردة على محور الترتيبات):
- من الرسم: نقرأ فاصلة \(A\) ثمّ أردتها، ونكتب \(A(\ldots\,;\,\ldots)\).
- من الرسم: النقطة \(E\) تقع على محور الفواصل (أردتها \(0\))، فنكتب \(E(\ldots\,;\,0)\).
- من الرسم: النقطة \(F\) تقع على محور الترتيبات (فاصلتها \(0\))، فنكتب \(F(0\,;\,\ldots)\).
الإحداثيات تُقرأ بصريًّا من الرسم الموجود على ورقة الفرض؛ نكتب لكلّ نقطة زوجها المرتّب دون أيّ حساب على الإحداثيات.
محور الفواصل \((OI)\) هو محور التناظر. نُنشئ \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة إليه: نُسقط \(A\) عموديًّا على \((OI)\)، ونمدّد بالمسافة نفسها إلى الجهة الأخرى من المستقيم (بالكوس أو بالطيّ).
خاصّية: التناظر المحوري بالنسبة إلى مستقيم يحفظ الأطوال. والنقطة الواقعة على محور التناظر تكون على البعد نفسه من نقطة ومناظرتها.
بما أنّ \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((OI)\)، فإنّ \((OI)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([AB]\). ونقطة تقاطع \((OI)\) مع \([AB]\) هي منتصفها، وكلّ نقطة من \((OI)\) على البعد نفسه من \(A\) و \(B\).
النقطة \(J\) تقع على محور الترتيبات \((OJ)\)، وبالنظر إلى الرسم على ورقة الفرض نتبيّن أنّ \(J\) على البعد نفسه من \(A\) ومن مناظرتها \(B\)، أي \(JA = JB\) (لأنّ التناظر بالنسبة إلى \((OI)\) يحوّل \([JA]\) إلى \([J'B]\) مع حفظ الطول، وموضع \(J\) على الرسم يعطي \(JA = JB\)).
وعليه للمثلّث \(JAB\) ضلعان متساويان \(JA = JB\):
الاستنتاج: المثلّث \(JAB\) متقايس الضلعين (رأسه \(J\)) ✓
يُستكمَل التعليل بالرجوع إلى الرسم على ورقة الفرض لتحديد موضع \(J\) و \(A\) و \(B\)؛ في السابعة نكتفي بخاصّية حفظ الأطوال بالتناظر المحوري وقراءة الشكل، دون أيّ حساب على الإحداثيات.
\(ABC\) مثلّث و \(\widehat{ACB} = 70^\circ\).
1) أ- ابن \([Ax)\) منصّف الزاوية \(\widehat{BAC}\) و \([By)\) منصّف الزاوية \(\widehat{ABC}\).
ب- \([Ax)\) و \([By)\) يتقاطعان في النقطة \(I\). احسب \(\widehat{AIB}\) (الزاوية عند النقطة \(I\)) معلّلًا جوابك.
2) أ- ابن النقطة \(L\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\)، و \([BK)\) الارتفاع الصادر من \(B\) (\(K\) نقطة).
ب- المستقيمان \((AL)\) و \((BK)\) يتقاطعان في نقطة \(H\). بيّن أنّ \((CH) \perp (AB)\).
(أ) نُنشئ \([Ax)\) منصّف \(\widehat{BAC}\) و \([By)\) منصّف \(\widehat{ABC}\) بالكوس (أو بالمنقلة). فيكون:
\(\widehat{IAB} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\widehat{IBA} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)
(ب) في المثلّث \(ABC\): \(\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ\).
بما أنّ \(\widehat{ACB} = 70^\circ\)، فإنّ \(\widehat{BAC} + \widehat{ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).
ومنه مجموع نصفيهما: \(\widehat{IAB} + \widehat{IBA} = \dfrac{110^\circ}{2} = 55^\circ\).
في المثلّث \(ABI\): \(\widehat{AIB} = 180^\circ - (\widehat{IAB} + \widehat{IBA}) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\).
الاستنتاج: \(\widehat{AIB} = 125^\circ\) ✓
ملاحظة حول قراءة النصّ: العبارة المطلوب حسابها في ورقة الفرض متعلّقة بزاوية عند النقطة \(I\) (تقاطع المنصّفين)؛ نعتمد نفس المسار (مجموع زوايا المثلّث + خاصّية المنصّف) لحساب أيّ زاوية مطلوبة عند \(I\).
\(L\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\): نرسم من \(A\) عموديًّا على \((BC)\) فيلتقيها في \(L\)، فالمستقيم \((AL)\) هو الارتفاع الصادر من \(A\) (\((AL) \perp (BC)\)).
\([BK)\) الارتفاع الصادر من \(B\): نرسم من \(B\) عموديًّا على \((AC)\)، فيكون \((BK) \perp (AC)\).
خاصّية: ارتفاعات المثلّث الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة تُسمّى مركز تعامد المثلّث.
\(H = (AL) \cap (BK)\)، و \((AL)\) ارتفاع صادر من \(A\)، و \((BK)\) ارتفاع صادر من \(B\). إذن \(H\) هو نقطة تقاطع ارتفاعين، أي مركز تعامد المثلّث \(ABC\).
وبما أنّ الارتفاعات الثلاثة تمرّ من مركز التعامد، فإنّ الارتفاع الصادر من \(C\) يمرّ كذلك من \(H\)؛ وهذا الارتفاع عموديّ على الضلع المقابل \((AB)\). والمستقيم \((CH)\) هو حامل هذا الارتفاع.
الاستنتاج: \((CH) \perp (AB)\) ✓