اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| إذا علمت أنّ \(m\) و \(n\) و \(p\) أعداد صحيحة طبيعية مخالفة للصفر حيث \(\dfrac{p}{n} > 1 > \dfrac{m}{n}\) فإنّ: | \(p < m < n\) | \(m < p < n\) | \(m < n < p\) |
| عدد الكسور المساوية لـ \(\dfrac{6}{5}\) من بين الأعداد التالية \(\dfrac{36}{30}\) ؛ \(\dfrac{54}{45}\) ؛ \(\dfrac{47}{65}\) ؛ \(\dfrac{42}{35}\) هو: | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(E\) و \(F\) و \(H\) ثلاث نقاط حيث \(EF = 13{,}2\) و \(EH = 24{,}4\). تكون \(H\) الرأس الثالث للمثلّث \(EFH\) في حالة: | \(HF = 11{,}1\) | \(HF = 11{,}2\) | \(HF = 11{,}3\) |
القاعدة: بما أنّ المقامات موجبة، فإنّ \(\dfrac{p}{n} > 1\) يعني \(p > n\)، و \(\dfrac{m}{n} < 1\) يعني \(m < n\).
من \(m < n\) و \(n < p\) نستنتج مباشرةً: \(m < n < p\).
الجواب الصحيح: ج: \(m < n < p\)
الطريقة: نبسّط كلّ كسر ونقارنه بـ \(\dfrac{6}{5}\).
- \(\dfrac{36}{30} = \dfrac{36 : 6}{30 : 6} = \dfrac{6}{5}\) ⟵ يساوي ✓
- \(\dfrac{54}{45} = \dfrac{54 : 9}{45 : 9} = \dfrac{6}{5}\) ⟵ يساوي ✓
- \(\dfrac{47}{65}\): جداء تبادلي \(47 \times 5 = 235\) و \(6 \times 65 = 390\)، مختلفان ⟵ لا يساوي
- \(\dfrac{42}{35} = \dfrac{42 : 7}{35 : 7} = \dfrac{6}{5}\) ⟵ يساوي ✓
عدد الكسور المساوية لـ \(\dfrac{6}{5}\) هو \(3\).
الجواب الصحيح: ج: \(3\)
القاعدة: توجد \(H\) رأسًا ثالثًا للمثلّث \(EFH\) إذا وفقط إذا:
\(|EH - EF| < HF < EH + EF\)
عندنا \(EH = 24{,}4\) و \(EF = 13{,}2\)، إذن:
\(24{,}4 - 13{,}2 < HF < 24{,}4 + 13{,}2\)
\(11{,}2 < HF < 37{,}6\)
نختبر الإجابات:
- \(HF = 11{,}1\): \(11{,}1 < 11{,}2\) ⟵ مستحيل (لا مثلّث).
- \(HF = 11{,}2\): مساواة حدّية \(11{,}2 = 24{,}4 - 13{,}2\) ⟵ النقاط في استقامة (لا مثلّث).
- \(HF = 11{,}3\): \(11{,}2 < 11{,}3 < 37{,}6\) ⟵ مثلّث موجود ✓
الجواب الصحيح: ج: \(HF = 11{,}3\)
I- احسب العبارتين \(A\) و \(B\):
\(A = 0{,}246 \times 0{,}27 + 0{,}246 \times 0{,}23\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(B = 14{,}2 - 0{,}6 \times 1{,}4 - 0{,}6 \times 0{,}4\)
II- قارن الأعداد التالية (اختر طريقة لكلّ حالة):
أ- \(\dfrac{2}{17}\) و \(\dfrac{4}{39}\) \(\qquad\) ب- \(\dfrac{11}{14}\) و \(\dfrac{12}{13}\) \(\qquad\) ج- \(\dfrac{14}{6}\) و \(\dfrac{21}{11}\)
III- استخرج من بين الأعداد الكسرية التالية العشريّة منها واكتبها في صورة \(\dfrac{a}{10^{n}}\) مبيّنًا طريقة العمل (\(a\) و \(n\) عددان صحيحان):
أ- \(\dfrac{91}{350}\) \(\qquad\) ب- \(\dfrac{45}{36}\) \(\qquad\) ج- \(\dfrac{26}{39}\) \(\qquad\) د- \(\dfrac{153}{21}\)
حساب \(A\): نخرج العامل المشترك \(0{,}246\):
\(A = 0{,}246 \times (0{,}27 + 0{,}23) = 0{,}246 \times 0{,}5 = 0{,}123\)
الجواب: \(A = 0{,}123\)
حساب \(B\): نخرج العامل المشترك \(0{,}6\):
\(B = 14{,}2 - 0{,}6 \times (1{,}4 + 0{,}4) = 14{,}2 - 0{,}6 \times 1{,}8 = 14{,}2 - 1{,}08 = 13{,}12\)
الجواب: \(B = 13{,}12\)
طريقة الجداء التبادلي: لمقارنة \(\dfrac{a}{b}\) و \(\dfrac{c}{d}\) (بمقامات موجبة) نقارن \(a \times d\) و \(b \times c\).
(أ) \(\dfrac{2}{17}\) و \(\dfrac{4}{39}\): \(2 \times 39 = 78\) و \(17 \times 4 = 68\).
بما أنّ \(78 > 68\) فإنّ: \(\dfrac{2}{17} > \dfrac{4}{39}\)
(ب) \(\dfrac{11}{14}\) و \(\dfrac{12}{13}\): \(11 \times 13 = 143\) و \(14 \times 12 = 168\).
بما أنّ \(143 < 168\) فإنّ: \(\dfrac{11}{14} < \dfrac{12}{13}\)
(ج) \(\dfrac{14}{6}\) و \(\dfrac{21}{11}\): \(14 \times 11 = 154\) و \(6 \times 21 = 126\).
بما أنّ \(154 > 126\) فإنّ: \(\dfrac{14}{6} > \dfrac{21}{11}\)
القاعدة: كسر (في أبسط صورة) يكون عددًا عشريًّا إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) فقط.
(أ) \(\dfrac{91}{350}\): \(91 = 7 \times 13\) و \(350 = 7 \times 50\)، إذن \(\dfrac{91}{350} = \dfrac{13}{50}\).
المقام \(50 = 2 \times 5^{2}\) من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) ⟵ عدد عشري. نضرب البسط والمقام في \(2\):
\(\dfrac{13}{50} = \dfrac{13 \times 2}{50 \times 2} = \dfrac{26}{100} = \dfrac{26}{10^{2}}\)
(ب) \(\dfrac{45}{36}\): نبسّط بالقاسم المشترك الأكبر \(9\): \(\dfrac{45}{36} = \dfrac{5}{4}\).
المقام \(4 = 2^{2}\) من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) ⟵ عدد عشري. نضرب البسط والمقام في \(25\):
\(\dfrac{5}{4} = \dfrac{5 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{125}{100} = \dfrac{125}{10^{2}}\)
(ج) \(\dfrac{26}{39}\): نبسّط بالقاسم المشترك الأكبر \(13\): \(\dfrac{26}{39} = \dfrac{2}{3}\).
المقام \(3\) ليس من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) ⟵ عدد غير عشري.
(د) \(\dfrac{153}{21}\): نبسّط بالقاسم المشترك الأكبر \(3\): \(\dfrac{153}{21} = \dfrac{51}{7}\).
المقام \(7\) ليس من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) ⟵ عدد غير عشري.
الخلاصة: الأعداد العشرية هي \(\dfrac{91}{350} = \dfrac{26}{10^{2}}\) و \(\dfrac{45}{36} = \dfrac{125}{10^{2}}\)؛ أمّا \(\dfrac{26}{39}\) و \(\dfrac{153}{21}\) فغير عشريّين.
في الرسم المرافق (على ورقة الفرض)، \(ABC\) مثلّث و \(I\) منتصف \([AC]\) و \(J\) منتصف \([BC]\).
1) ليكن \(\Delta\) المستقيم المارّ من \(I\) والعمودي على \((AC)\)، والمستقيم \(\Delta'\) الموسط العمودي لـ \([AB]\). ولتكن \(O\) نقطة تقاطع المستقيمين \(\Delta\) و \(\Delta'\). ماذا تمثّل النقطة \(O\) بالنسبة إلى المثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
2) أ- بيّن أنّ النقطتين \(B\) و \(C\) متناظرتان بالنسبة إلى \((OJ)\).
ب- حدّد معلّلًا جوابك مناظرة الزاوية \(\widehat{COJ}\) بالنسبة إلى \((OJ)\).
ج- ليكن \((Cx)\) منصّف الزاوية \(\widehat{OCB}\) ولتكن \(E\) نقطة تقاطع المستقيمين \((Cx)\) و \((OJ)\). ماذا تمثّل النقطة \(E\) بالنسبة إلى المثلّث \(OBC\)؟ علّل جوابك.
تحليل المعطيات: \(\Delta\) يمرّ من \(I\) منتصف \([AC]\) وهو عموديّ على \((AC)\) ⟵ إذن \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\). و \(\Delta'\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\).
\(O = \Delta \cap \Delta'\)، وبما أنّ كلّ نقطة من الموسط العمودي على البعد نفسه من طرفي القطعة:
- \(O\) على الموسط العمودي لـ \([AC]\) ⟵ \(OA = OC\).
- \(O\) على الموسط العمودي لـ \([AB]\) ⟵ \(OA = OB\).
- إذن \(OA = OB = OC\).
الاستنتاج: \(O\) هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\) (نقطة تقاطع المواسط العمودية لأضلاعه).
من السؤال 1: \(OB = OC\) ⟵ إذن \(O\) على الموسط العمودي لـ \([BC]\).
و \(J\) منتصف \([BC]\) ⟵ إذن \(J\) على الموسط العمودي لـ \([BC]\).
المستقيم المارّ من النقطتين \(O\) و \(J\) هو إذن الموسط العمودي لـ \([BC]\).
الاستنتاج: بما أنّ \((OJ)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\)، فإنّ \(B\) و \(C\) متناظرتان بالنسبة إلى \((OJ)\) ✓
خاصّية التناظر المحوري: يحوّل كلّ نقطة إلى مناظرتها ويحفظ الزوايا. بالنسبة إلى المحور \((OJ)\): صورة \(O\) هي \(O\) وصورة \(J\) هي \(J\) (كلاهما على المحور)، وصورة \(C\) هي \(B\) (من السؤال 2أ).
الزاوية \(\widehat{COJ}\) رأسها \(O\) وضلعاها \([OC)\) و \([OJ)\). بالتناظر بالنسبة إلى \((OJ)\): \(O \mapsto O\)، \(C \mapsto B\)، \(J \mapsto J\).
الاستنتاج: مناظرة الزاوية \(\widehat{COJ}\) هي الزاوية \(\widehat{BOJ}\)، ومنه \(\widehat{COJ} = \widehat{BOJ}\) (لأنّ التناظر يحفظ قيس الزوايا).
أوّلًا نبيّن أنّ \((OJ)\) منصّف الزاوية \(\widehat{BOC}\): من السؤال 2(ب) \(\widehat{COJ} = \widehat{BOJ}\)، والنصف المستقيم \([OJ)\) يقع داخل الزاوية \(\widehat{BOC}\)، إذن \([OJ)\) منصّف الزاوية \(\widehat{BOC}\) (المنصّف الصادر من \(O\) في المثلّث \(OBC\)).
ومن جهة أخرى \((Cx)\) هو منصّف الزاوية \(\widehat{OCB}\) (المنصّف الصادر من \(C\) في المثلّث \(OBC\)).
\(E = (Cx) \cap (OJ)\) هو إذن نقطة تقاطع منصّفين لزاويتين في المثلّث \(OBC\).
القاعدة: منصّفات زوايا مثلّث تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث (على البعد نفسه من الأضلاع الثلاثة).
الاستنتاج: \(E\) هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث \(OBC\) (نقطة تقاطع منصّفات زواياه).