اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية. ضع علامة X أمام الإجابة الصحيحة:
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| علمًا أنّ \(63 \times 6 = 27 \times 14\) فإنّ: | \(\dfrac{27}{14} = \dfrac{63}{6}\) | \(\dfrac{21}{9} = \dfrac{63}{27}\) | \(\dfrac{27}{6} = \dfrac{14}{63}\) |
| العدد \(\dfrac{119}{28}\) هو: | عدد كسري عشري | عدد كسري غير عشري | عدد صحيح طبيعي |
| تأمّل التدريج التالي وحدّد فاصلة النقطة \(A\) (حسب الرسم على ورقة الفرض، حيث تُبيّن التدريجتان \(1\) و \(2\) الوحدة): | \(A(-1{,}6)\) | \(A(-1{,}2)\) | \(A(-0{,}2)\) |
| مقابل (مقابل \((-9)\)) يساوي: | \(9\) | مقابل \((-9)\) | مقابل \((9)\) |
| في الشكل المقابل (المرسوم على ورقة الفرض) النقطة \(D\) هي: | مركز ثقل المثلّث \(ABC\) | مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\) | مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث \(ABC\) |
القاعدة: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) صحيحة إذا وفقط إذا \(a \times d = b \times c\) (الجداء التبادلي).
نختبر الإجابات:
- (أ) \(\dfrac{27}{14} = \dfrac{63}{6}\): \(27 \times 6 = 162\) و \(14 \times 63 = 882\) ⟵ غير متساويين.
- (ب) \(\dfrac{21}{9} = \dfrac{63}{27}\): \(21 \times 27 = 567\) و \(9 \times 63 = 567\) ⟵ متساويان ✓.
- (ج) \(\dfrac{27}{6} = \dfrac{14}{63}\): \(27 \times 63 = 1701\) و \(6 \times 14 = 84\) ⟵ غير متساويين.
الجواب الصحيح: ب: \(\dfrac{21}{9} = \dfrac{63}{27}\) (فكلا الكسرين يساوي \(\dfrac{7}{3}\)).
نبسّط: \(119 = 7 \times 17\) و \(28 = 4 \times 7\)، إذن:
\(\dfrac{119}{28} = \dfrac{7 \times 17}{7 \times 4} = \dfrac{17}{4}\)
القاعدة: كسر (في أبسط صورة) يكون عددًا عشريًّا إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\).
المقام في أبسط صورة هو \(4 = 2^{2}\)، إذن العدد عشري، وقيمته \(\dfrac{17}{4} = 4{,}25\). وهو ليس عددًا صحيحًا طبيعيًّا (لأنّ \(17\) لا يقبل القسمة على \(4\)).
الجواب الصحيح: أ: عدد كسري عشري
الطريقة: نحدّد المبدأ والوحدة من التدريجتين \(1\) و \(2\) المرسومتين، ثمّ نعدّ التدريجات إلى النقطة \(A\). \(A\) على يسار المبدأ فإشارة فاصلتها سالبة.
هذا السؤال يُقرأ مباشرةً من الرسم الموجود على ورقة الفرض؛ نقرأ عدد الوحدات (وأجزائها) بين المبدأ والنقطة \(A\) ونضع الإشارة السالبة.
ملاحظة: لا نحسب الفاصلة بأيّ عملية؛ نكتفي بقراءتها بصريًّا على التدريج (حسب الرسم) واختيار الإجابة المطابقة من بين \(-1{,}6\) و \(-1{,}2\) و \(-0{,}2\).
القاعدة: مقابل عدد نحصل عليه بتغيير إشارته؛ ومقابل مقابل عدد يعيدنا إليه: مقابل (مقابل \(x\)) \(= x\).
مقابل \((-9) = 9\)، ثمّ مقابل \((9) = -9\). إذن مقابل (مقابل \((-9)\)) \(= -9\).
ونلاحظ أنّ الإجابة "مقابل \((9)\)" تساوي بالضبط \(-9\).
الجواب الصحيح: ج: مقابل \((9)\)
الإجابة (أ) \(9\) خاطئة لأنّها مقابل \((-9)\) فقط (مرّة واحدة)، والإجابة (ب) "مقابل \((-9)\)" تساوي \(9\) وهي كذلك خاطئة.
تذكير: النقطة الواقعة على البعد نفسه من رأسين هي على الموسط العمودي للضلع الواصل بينهما؛ ومركز الدائرة المحيطة بمثلّث هو تقاطع المواسط العمودية لأضلاعه (على البعد نفسه من الرؤوس الثلاثة).
حسب الرسم على ورقة الفرض، العلامات المتساوية تدلّ على أنّ \(D\) على البعد نفسه من رؤوس المثلّث \(ABC\) (تقع على المواسط العمودية للأضلاع). إذن:
الجواب الصحيح: ب: مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\)
ملاحظة: هذا السؤال يعتمد على الشكل المرسوم؛ نتبيّن موقع \(D\) وعلاماته من الرسم لنستنتج أنّه مركز الدائرة المحيطة.
ليكن \((O\,;I\,;J)\) معيّنًا في المستوي (انظر الرسم على ورقة الفرض).
1) حدّد إحداثيات النقطتين \(A\) و \(B\).
2) عيّن النقطة \(C\) إذا علمت أنّ \(O\) المركز القائم للمثلّث \(ABC\).
3) أ- عيّن النقطة \(D(4\,;0)\).
ب- حدّد إحداثيات النقطة \(A\) في المعيّن \((O\,;D\,;B)\).
نقرأ الإحداثيات مباشرةً من الرسم على ورقة الفرض: لكلّ نقطة نقرأ الفاصلة على محور الفواصل ثمّ الأردة على محور الترتيبات.
حسب الرسم، \(B\) تقع فوق محور الفواصل، و\(A\) تقع في الجهة السفلى اليسرى. نكتب إحداثيات كلّ منهما بقراءة الشبكة (الفاصلة أوّلًا ثمّ الأردة). لا نستعمل أيّ حساب على الإحداثيات.
القاعدة: المركز القائم لمثلّث هو نقطة تقاطع ارتفاعاته. فإذا كان \(O\) المركز القائم للمثلّث \(ABC\) فإنّ:
- المستقيم \((AO)\) هو حامل الارتفاع الصادر من \(A\)، إذن \((AO) \perp (BC)\).
- المستقيم \((BO)\) هو حامل الارتفاع الصادر من \(B\)، إذن \((BO) \perp (AC)\).
الإنشاء: نعيّن \(C\) بالكوس بحيث يتحقّق الشرطان معًا: نرسم من \(A\) المستقيم العمودي على \((BO)\) (هو حامل \((AC)\))، ونرسم من \(B\) المستقيم العمودي على... ونختار \(C\) على حامل \((AC)\) بحيث يصير \((AO)\) عموديًّا على \((BC)\).
نعيّن \(C\) بالكوس اعتمادًا على شرطي التعامد؛ ثمّ نتحقّق بصريًّا من أنّ ارتفاعي المثلّث \(ABC\) يتقاطعان فعلًا في \(O\) (حسب الرسم).
الفاصلة \(4\) والأردة \(0\): ننطلق من المبدأ \(O\)، نعدّ \(4\) تدريجات على محور الفواصل في الاتّجاه الموجب (نحو \(I\))، ولا نتحرّك على محور الترتيبات. النقطة الناتجة هي \(D\).
\(D\) تقع على محور الفواصل عند التدريج \(4\).
في المعيّن الجديد نعتمد \(O\) مبدأً، و\([OD)\) محورًا للفواصل (وحدته \(OD\))، و\([OB)\) محورًا للترتيبات (وحدته \(OB\)).
نقرأ من الرسم موقع \(A\) بالنسبة إلى هاتين الوحدتين: كم وحدة \(OD\) على \([OD)\) وكم وحدة \(OB\) على \([OB)\) لنصل إلى \(A\)، ثمّ نكتب الزوج \((\text{الفاصلة}\,;\,\text{الأردة})\).
هذا يُقرأ بصريًّا من الرسم (حسب الرسم على ورقة الفرض)؛ لا نجري أيّ حساب على الإحداثيات، بل نعدّ الوحدتين الجديدتين \(OD\) و \(OB\).
1) أكمل بما يناسب:
\(\dfrac{27}{18} = \dfrac{\ldots\ldots}{8}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(3 \times \ldots\ldots = 5\)
2) أ- حدّد الأعداد العشرية من بين الأعداد التالية. علّل جوابك.
\(\dfrac{35}{42}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\dfrac{126}{280}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\dfrac{28}{7}\)
ب- اكتب الأعداد العشرية من بين الأعداد السابقة في صورة \(\dfrac{a}{10^{n}}\) (حيث \(a\) و \(n\) عددان صحيحان طبيعيان).
3) رتّب تنازليًّا الأعداد التالية:
\(\dfrac{4}{27}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\dfrac{36}{35}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\dfrac{2}{13}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\dfrac{29}{28}\)
(أ) \(\dfrac{27}{18} = \dfrac{\ldots}{8}\)
نبسّط: \(\dfrac{27}{18} = \dfrac{27 : 9}{18 : 9} = \dfrac{3}{2}\).
نجعل المقام \(8\) بالضرب في \(4\): \(\dfrac{3}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2 \times 4} = \dfrac{12}{8}\).
الجواب: \(\dfrac{27}{18} = \dfrac{12}{8}\)
(ب) \(3 \times \ldots = 5\)
\(3 \times \square = 5 \;\Longrightarrow\; \square = \dfrac{5}{3}\).
الجواب: \(3 \times \dfrac{5}{3} = 5\)
القاعدة: كسر (في أبسط صورة) يكون عددًا عشريًّا إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) فقط.
\(\dfrac{35}{42}\): \(35 = 5 \times 7\) و \(42 = 6 \times 7\)، إذن \(\dfrac{35}{42} = \dfrac{5}{6}\). المقام \(6 = 2 \times 3\) فيه العامل \(3\) ⟵ ليس عددًا عشريًّا.
\(\dfrac{126}{280}\): القاسم المشترك الأكبر لـ \(126\) و \(280\) هو \(14\)، إذن \(\dfrac{126}{280} = \dfrac{126 : 14}{280 : 14} = \dfrac{9}{20}\). المقام \(20 = 2^{2} \times 5\) ⟵ عدد عشري ✓ (وقيمته \(0{,}45\)).
\(\dfrac{28}{7}\): \(\dfrac{28}{7} = 4\) عدد صحيح، فهو عدد عشري ✓.
الخلاصة: الأعداد العشرية هي \(\dfrac{126}{280}\) و \(\dfrac{28}{7}\)، أمّا \(\dfrac{35}{42}\) فليس عشريًّا.
\(\dfrac{126}{280} = \dfrac{9}{20}\): نضرب البسط والمقام في \(5\) ليصير المقام \(100\):
\(\dfrac{9}{20} = \dfrac{9 \times 5}{20 \times 5} = \dfrac{45}{100} = \dfrac{45}{10^{2}}\) \(\;\) أي \(a = 45\) و \(n = 2\).
\(\dfrac{28}{7} = 4\): نكتبه \(4 = \dfrac{4}{10^{0}}\) أي \(a = 4\) و \(n = 0\) (ويمكن كذلك كتابته \(\dfrac{40}{10^{1}}\)).
الفكرة: نقارن أوّلًا كلّ كسر بالواحد: \(\dfrac{4}{27}\) و \(\dfrac{2}{13}\) أصغر من \(1\) (البسط أصغر من المقام)، بينما \(\dfrac{36}{35}\) و \(\dfrac{29}{28}\) أكبر من \(1\).
مقارنة الكسرين الأكبر من \(1\): بالجداء التبادلي \(36 \times 28 = 1008\) و \(35 \times 29 = 1015\). بما أنّ \(1008 < 1015\) فإنّ \(\dfrac{36}{35} < \dfrac{29}{28}\).
مقارنة الكسرين الأصغر من \(1\): بالجداء التبادلي \(4 \times 13 = 52\) و \(27 \times 2 = 54\). بما أنّ \(52 < 54\) فإنّ \(\dfrac{4}{27} < \dfrac{2}{13}\).
الترتيب التنازلي:
\(\dfrac{29}{28} > \dfrac{36}{35} > \dfrac{2}{13} > \dfrac{4}{27}\)
في الرسم المرافق (على ورقة الفرض) \(ABC\) مثلّث قائم في \(A\).
1) أ- ابن النقطة \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \((AC)\).
ب- حدّد معلّلًا جوابك مناظرة الزاوية \(\widehat{ACB}\) بالنسبة إلى \((AC)\)، ثمّ استنتج أنّ \((AC)\) منصّف الزاوية \(\widehat{DCB}\).
2) ابن المستقيم \(\Delta\) إذا علمت أنّ \(B\) و \(C\) متناظرتان بالنسبة إلى \(\Delta\).
أ- المستقيم \(\Delta\) يقطع \((AC)\) في نقطة \(O\). ماذا تمثّل النقطة \(O\) بالنسبة للمثلّث \(BCD\)؟ علّل جوابك.
ب- ارسم الدائرة \((\mathcal{C})\) المحيطة بالمثلّث \(BCD\)، ثمّ ابن مناظرتها \((\mathcal{C}')\) بالنسبة إلى \((BC)\).
3) أكمل الرسم ليكون المستقيم \((AC)\) محور تناظر له.
نُنشئ \(D\) بالتناظر المحوري حول \((AC)\): نُسقط \(B\) عموديًّا على \((AC)\) في نقطة \(H\)، ثمّ نمدّد \([BH]\) بنفس المسافة فنحصل على \(D\)، بحيث يكون \((AC)\) هو الموسط العمودي لـ \([BD]\).
بما أنّ المثلّث قائم في \(A\)، فإنّ \((AB) \perp (AC)\)، فتقع \(D\) في امتداد \([BA]\) على الجهة الأخرى من \((AC)\) (يُقرأ موضعها من الرسم).
القاعدة: التناظر المحوري بالنسبة إلى \((AC)\) يحفظ الأطوال والزوايا. نتتبّع صور النقاط: \(A \mapsto A\) و \(C \mapsto C\) (لأنّهما على المحور)، و \(B \mapsto D\).
إذن مناظرة الزاوية \(\widehat{ACB}\) بالنسبة إلى \((AC)\) هي الزاوية \(\widehat{ACD}\)، ولها القيس نفسه:
\(\widehat{ACD} = \widehat{ACB}\)
الاستنتاج: الزاويتان \(\widehat{ACB}\) و \(\widehat{ACD}\) متساويتان، ونصف المستقيم \([CA)\) يقع بينهما (داخل الزاوية \(\widehat{DCB}\))، إذن \([CA)\) يقسم الزاوية \(\widehat{DCB}\) إلى زاويتين متساويتين:
\((AC)\) منصّف الزاوية \(\widehat{DCB}\) ✓
القاعدة: إذا كانت \(B\) و \(C\) متناظرتين بالنسبة إلى \(\Delta\)، فإنّ \(\Delta\) هو الموسط العمودي للقطعة \([BC]\) (نُنشئه: العمودي على \([BC]\) المارّ من منتصفها).
(أ) ماذا تمثّل \(O = \Delta \cap (AC)\) للمثلّث \(BCD\):
- \(O\) على \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([BC]\) ⟵ إذن \(OB = OC\).
- \(O\) على \((AC)\) وهو الموسط العمودي لـ \([BD]\) (لأنّ \(D\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \((AC)\) من السؤال 1) ⟵ إذن \(OB = OD\).
- إذن \(OB = OC = OD\): \(O\) على البعد نفسه من رؤوس المثلّث \(BCD\) الثلاثة.
الاستنتاج: \(O\) هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(BCD\) (تقاطع المواسط العمودية) ✓
الدائرة \((\mathcal{C})\) المحيطة بالمثلّث \(BCD\) مركزها \(O\) وشعاعها \(OB = OC = OD\): نرسمها فتمرّ من \(B\) و \(C\) و \(D\).
ثمّ نُنشئ مناظرتها \((\mathcal{C}')\) بالنسبة إلى \((BC)\): هي دائرة لها الشعاع نفسه ومركزها \(O'\) مناظر \(O\) بالنسبة إلى \((BC)\) (نُنشئ \(O'\) بالتناظر المحوري حول \((BC)\)).
لجعل \((AC)\) محور تناظر للشكل، نُنشئ مناظرة كلّ عنصر (نقطة أو دائرة) بالنسبة إلى \((AC)\) ونضيفها إلى الرسم، حتّى ينطبق الشكل على نفسه بالطيّ حول \((AC)\).
يُتمّم هذا الإنشاء مباشرةً على الرسم المرفق بورقة الفرض بالكوس أو بالطيّ حول \((AC)\).