اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| يمثّل رقم الأجزاء من المائة في العدد \(3\): | \(1{,}325\) | \(1{,}235\) | \(1{,}253\) |
| النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) تمثّل رؤوسًا لمثلّث في حالة: | \(AB = 2\,\text{cm}\) \(AC = 3\,\text{cm}\) \(BC = 5\,\text{cm}\) |
\(AB = 4\,\text{cm}\) \(AC = 5\,\text{cm}\) \(BC = 7\,\text{cm}\) |
\(AB = 2\,\text{cm}\) \(AC = 3\,\text{cm}\) \(BC = 6\,\text{cm}\) |
| يكون مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\) خارجه في حالة: | \(\widehat{ABC} = 40^\circ\) \(\widehat{ACB} = 60^\circ\) |
\(\widehat{ABC} = 30^\circ\) \(\widehat{ACB} = 70^\circ\) |
\(\widehat{ABC} = 20^\circ\) \(\widehat{ACB} = 50^\circ\) |
تذكير: الرقم الأوّل بعد الفاصلة = الأجزاء من العشرة، والرقم الثاني بعد الفاصلة = الأجزاء من المائة.
- \(1{,}325\): رقم الأجزاء من المائة هو \(2\).
- \(1{,}235\): رقم الأجزاء من المائة هو \(3\). ✓
- \(1{,}253\): رقم الأجزاء من المائة هو \(5\).
الجواب الصحيح: ب: \(1{,}235\)
القاعدة: توجد النقاط \(A,B,C\) رؤوسًا لمثلّث إذا وفقط إذا كان \(|AB - AC| < BC < AB + AC\).
- أ: \(AB=2\)، \(AC=3\)، \(BC=5\): بما أنّ \(5 = 2 + 3\) فالنقاط في استقامة واحدة (لا مثلّث).
- ب: \(AB=4\)، \(AC=5\)، \(BC=7\): \(|4-5| < 7 < 4+5\) أي \(1 < 7 < 9\) ⟵ مثلّث موجود ✓
- ج: \(AB=2\)، \(AC=3\)، \(BC=6\): بما أنّ \(6 > 2 + 3 = 5\) ⟵ مستحيل (لا مثلّث).
الجواب الصحيح: ب
القاعدة: مركز الدائرة المحيطة يقع خارج المثلّث إذا وفقط إذا كان المثلّث منفرج الزاوية (إحدى زواياه أكبر من \(90^\circ\)).
نحسب الزاوية الثالثة في كلّ حالة بالعلاقة \(\widehat{BAC} = 180^\circ - (\widehat{ABC} + \widehat{ACB})\):
- أ: \(\widehat{BAC} = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ\) ⟵ كلّ الزوايا حادّة ⟵ المركز داخل المثلّث.
- ب: \(\widehat{BAC} = 180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) = 80^\circ\) ⟵ كلّ الزوايا حادّة ⟵ المركز داخل المثلّث.
- ج: \(\widehat{BAC} = 180^\circ - (20^\circ + 50^\circ) = 110^\circ\) ⟵ زاوية منفرجة ⟵ المركز خارج المثلّث ✓
الجواب الصحيح: ج
1) أ- فكّك العددين \(180\) و \(84\) إلى جذاء عوامل أوّلية.
ب- أحسب \(\text{ق.م.أ}(180\,;84)\) و \(\text{م.م.أ}(180\,;84)\).
ج- أكمل بما يناسب: \(\quad D_{180} \cap D_{84} = \ldots\ldots\ldots\)
2) انطلقت سيّارة ودرّاجة ناريّة من نفس المكان في اتّجاه بلد شقيق يبعد \(1400\) كيلومتر. إذا علمت أنّ السيّارة تتوقّف كلّ \(180\) كيلومتر في حين تتوقّف الدرّاجة الناريّة كلّ \(84\) كيلومتر حتّى الوصول.
هل ستتوقّف السيّارة والدرّاجة الناريّة تباعًا في نفس المكان قبل الوصول إلى البلد الشقيق؟ علّل جوابك.
\(180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5\)
\(84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2^{2} \times 3 \times 7\)
إذن: \(180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5\) و \(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\)
ق.م.أ = جذاء العوامل الأوّلية المشتركة بأصغر أُسّ: العوامل المشتركة هي \(2\) و \(3\).
\(\text{ق.م.أ}(180\,;84) = 2^{2} \times 3 = 12\)
م.م.أ = جذاء كلّ العوامل بأكبر أُسّ: \(2^{2}\) و \(3^{2}\) و \(5\) و \(7\).
\(\text{م.م.أ}(180\,;84) = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 7 = 4 \times 9 \times 35 = 1260\)
تحقّق: \(\text{ق.م.أ} \times \text{م.م.أ} = 12 \times 1260 = 15120 = 180 \times 84\) ✓
الجواب: \(\text{ق.م.أ}(180\,;84) = 12\) و \(\text{م.م.أ}(180\,;84) = 1260\)
القاعدة: القواسم المشتركة لعددين هي بالضبط قواسم قاسمهما المشترك الأكبر، أي \(D_{180} \cap D_{84} = D_{12}\).
قواسم \(12\) هي:
الجواب: \(D_{180} \cap D_{84} = D_{12} = \{1\,;2\,;3\,;4\,;6\,;12\}\)
تتوقّف السيّارة عند مضاعفات \(180\)، وتتوقّف الدرّاجة عند مضاعفات \(84\). يتوقّفان معًا في نفس المكان عند المضاعفات المشتركة للعددين، أي عند مضاعفات م.م.أ:
\(\text{م.م.أ}(180\,;84) = 1260\,\text{km}\)
أوّل مضاعف مشترك موجب هو \(1260\)، والمضاعف الموالي هو \(2520\).
بما أنّ \(1260 < 1400\) (المسافة إلى البلد الشقيق)، فإنّهما يتوقّفان معًا في نفس المكان عند الكيلومتر \(1260\) قبل الوصول.
الجواب: نعم، يتوقّفان معًا مرّة واحدة عند الكيلومتر \(1260\) قبل الوصول (لأنّ \(1260 < 1400 < 2520\)).
أكمل هذا المخطّط إذا علمت أنّ \(\text{م.م.أ}(a\,;b) = 2100\) وأنّ كلّ أعداد هذا المخطّط مختلفة (المعطى على الرسم: قيمتان معلومتان \(35\) و \(10\)، وقاع المخطّط \(1\)).
\(2100 = 21 \times 100 = (3 \times 7) \times (4 \times 25) = 2^{2} \times 3 \times 5^{2} \times 7\)
هذه هي العوامل الأوّلية التي تُبنى منها فروع المخطّط.
نلاحظ أنّ \(35 = 5 \times 7\) و \(10 = 2 \times 5\)، وكلاهما من عوامل \(2100\).
بما أنّ \(\text{م.م.أ}(a\,;b) = 2100 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2} \times 7\)، يُوزّع هذا الجداء على فرعَي المخطّط بحيث يكون كلّ عدد فيه مختلفًا عن الآخر ويكون المضاعف المشترك الأصغر لطرفَي القمّة مساويًا \(2100\).
هام: المخطّط عبارة عن رسم بفروع وخانات، وتحديد موقع كلّ قيمة (\(a\)، \(b\)، والخانات الوسطى) يُقرأ من الرسم المرفق بورقة الفرض؛ لذلك تُملأ الخانات بتتبّع كلّ مسار من القمّة إلى القاع \(1\) واستعمال العوامل \(2^{2}, 3, 5^{2}, 7\) مع القيمتين المعطاتين \(35\) و \(10\).
عند كلّ خانة: العدد الأعلى = العدد الأسفل \(\times\) العامل الأوّلي المكتوب على الفرع الموصّل بينهما، وصولًا إلى \(1\).
نتحقّق في النهاية من الشرطين:
- \(\text{م.م.أ}(a\,;b) = 2100\).
- كلّ الأعداد الظاهرة في المخطّط مختلفة.
لا يمكن تثبيت القيم العددية النهائية لكلّ خانة إلّا بالرجوع إلى مواقع الخانات والفروع كما هي مرسومة على ورقة الفرض؛ المنهجيّة أعلاه كافية لإكمالها بأمان.
في الرسم المرافق \(ABC\) مثلّث حيث \(\widehat{ACB} = 70^\circ\).
1) أ- ابن النقطة \(L\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\)، و \([BK)\) الارتفاع الصادر من \(B\). المستقيمان \((AL)\) و \((BK)\) يتقاطعان في نقطة \(H\).
ب- ماذا تمثّل النقطة \(H\) بالنسبة للمثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
ج- استنتج أنّ \((CH) \perp (AB)\).
2) ابن \([Ax)\) منصّف الزاوية \(\widehat{BAC}\) و \([By)\) منصّف الزاوية \(\widehat{ABC}\). \([Ax)\) و \([By)\) يتقاطعان في النقطة \(I\). أحسب \(\widehat{ACI}\) معلّلًا جوابك.
\(L\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\)، إذن \((AL) \perp (BC)\): وهو الارتفاع الصادر من \(A\).
\([BK)\) الارتفاع الصادر من \(B\)، إذن \((BK) \perp (AC)\).
يُنشآن على الرسم، ويكون \(H = (AL) \cap (BK)\).
الإنشاء يعتمد على الرسم المرافق في ورقة الفرض (مثلّث \(ABC\) بالزاوية \(70^\circ\) عند \(C\)).
القاعدة: ارتفاعات المثلّث الثلاثة تتلاقى في نقطة واحدة تُسمّى ملتقى الارتفاعات.
\(H\) نقطة تقاطع الارتفاعَين \((AL)\) (من \(A\)) و \((BK)\) (من \(B\))، إذن:
الجواب: \(H\) هو ملتقى ارتفاعات المثلّث \(ABC\).
بما أنّ \(H\) ملتقى الارتفاعات، فإنّ الارتفاع الثالث الصادر من \(C\) يمرّ أيضًا من \(H\).
والارتفاع الصادر من \(C\) عموديّ على الضلع المقابل \([AB]\)، ويحمل النقطة \(H\)، أي هو المستقيم \((CH)\).
الاستنتاج: \((CH) \perp (AB)\) ✓
القاعدة: منصّفات زوايا المثلّث الثلاثة تتلاقى في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث.
\(I = [Ax) \cap [By)\) هو تقاطع منصّفَي الزاويتين \(\widehat{BAC}\) و \(\widehat{ABC}\)، إذن \(I\) هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث \(ABC\).
وبما أنّ منصّف الزاوية الثالثة \(\widehat{ACB}\) يمرّ أيضًا من \(I\)، فإنّ \([CI)\) هو منصّف الزاوية \(\widehat{ACB}\)، ومنه:
\(\widehat{ACI} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2} = \dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ\)
الجواب: \(\widehat{ACI} = 35^\circ\) ✓
1) ابن مستطيلًا \(ABCD\) مركزه \(O\) حيث \(AC = 6\,\text{cm}\) و \(AB = 3\,\text{cm}\)، و \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([AC]\).
2) أ) ابن \(D'\) مناظرة \(D\) بالنسبة لـ \(\Delta\). ب) أوجد مناظرة \([CD]\) بالنسبة لـ \(\Delta\). ج) استنتج \(AD'\).
3) بيّن أنّ المثلّث \(AD'C\) قائم.
4) \((AD)\) و \((BC)\) يتقاطعان في \(I\) و \(J\)؛ بيّن أنّ \(C\) و \(J\) و \(D'\) على استقامة واحدة.
5) أ) حدّد مناظر \([AD]\) بالنسبة لـ \(\Delta\)، ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(BCD'\) متقايس الضلعين. ب) جد مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \((AC)\).
6) أ) جد مناظر \(\Delta\) بالنسبة لـ \((AC)\). ب) جد مناظر \((BC)\) بالنسبة لـ \((AC)\). استنتج أنّ \(I\) و \(J\) متناظرتان بالنسبة لـ \((AC)\).
نبني المستطيل \(ABCD\) بحيث \(AB = 3\,\text{cm}\) والقطر \(AC = 6\,\text{cm}\). مركزه \(O\) هو تقاطع القطرين، وهو منتصف \([AC]\) و \([BD]\).
\(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([AC]\): يمرّ من \(O\) عموديًّا على \([AC]\).
يعتمد الإنشاء على الرسم؛ نتّبع المعطيات \(AC = 6\,\text{cm}\) و \(AB = 3\,\text{cm}\).
(أ) \(D'\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(\Delta\): نُسقط \(D\) عموديًّا على \(\Delta\) ونمدّد بنفس المسافة من الجهة الأخرى.
(ب) بما أنّ \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([AC]\) فإنّ التناظر بالنسبة إليه يحوّل \(A \mapsto C\) و \(C \mapsto A\). وبما أنّ \(D \mapsto D'\)، فإنّ صورة القطعة \([CD]\) هي:
مناظرة \([CD]\) بالنسبة لـ \(\Delta\) هي \([AD']\) (لأنّ \(C \mapsto A\) و \(D \mapsto D'\)).
(ج) التناظر المحوري يحفظ الأطوال، إذن \(AD' = CD\). وفي المستطيل \(CD = AB = 3\,\text{cm}\)، إذن:
الجواب: \(AD' = CD = AB = 3\,\text{cm}\)
الزاوية \(\widehat{ADC}\) قائمة (من زوايا المستطيل \(ABCD\)). والتناظر بالنسبة إلى \(\Delta\) يحوّل \(D \mapsto D'\) و \(C \mapsto A\) و \(A \mapsto C\)، وهو يحفظ قيس الزوايا.
صورة الزاوية \(\widehat{ADC}\) (القائمة) هي الزاوية \(\widehat{CD'A} = \widehat{AD'C}\)، فتبقى قائمة.
الاستنتاج: المثلّث \(AD'C\) قائم في \(D'\) ✓
بما أنّ التناظر بالنسبة إلى \(\Delta\) يحفظ الاستقامة ويحوّل \([CD] \mapsto [AD']\)، تُتبّع صور النقاط لإثبات أنّ \(C\) و \(J\) و \(D'\) على مستقيم واحد.
هذا السؤال تركيبيّ ويعتمد على الرسم المرفق (مواضع \(I\) و \(J\) نقطتَي التقاطع)؛ يُكمَل البرهان بتتبّع صور النقاط بالتناظر المحوري بالنسبة إلى \(\Delta\).
(أ) بما أنّ التناظر بالنسبة إلى \(\Delta\) يحوّل \(A \mapsto C\) و \(D \mapsto D'\)، فإنّ مناظرة \([AD]\) بالنسبة لـ \(\Delta\) هي \([CD']\)، ومنه \(CD' = AD\).
وفي المستطيل \(AD = BC\)، إذن \(CD' = BC\)، وبالتالي:
الاستنتاج: المثلّث \(BCD'\) متساوي الساقين في \(C\) (لأنّ \(CB = CD'\)) ✓
(ب) القطر \([AC]\) في هذا المستطيل محور تناظر يبادل بين الرأسين \(B\) و \(D\)؛ إذن مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \((AC)\) هي \(D\).
يُتحقّق ذلك من تساوي الأبعاد إلى \((AC)\) والزوايا في المستطيل؛ يُقرأ الموضع من الرسم.
(أ) \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([AC]\) يمرّ من \(O\) عموديًّا على \((AC)\). وبما أنّ \(\Delta \perp (AC)\) ويقطعه في \(O\) الواقعة على المحور، فإنّ مناظر \(\Delta\) بالنسبة لـ \((AC)\) هو \(\Delta\) نفسه (مستقيم عموديّ على المحور ومارّ من نقطة منه ينطبق على نفسه).
(ب) بما أنّ \(B \mapsto D\) (السؤال 5ب) و \(C \mapsto C\) (نقطة على المحور)، فإنّ مناظر \((BC)\) بالنسبة لـ \((AC)\) هو \((DC)\) أي \((CD)\).
الاستنتاج: \(I\) و \(J\) نقطتا تقاطع المستقيمين \((AD)\) و \((BC)\) مع \(\Delta\). بما أنّ التناظر بالنسبة إلى \((AC)\) يبقي \(\Delta\) ثابتة ويحوّل هذه المستقيمات إلى صورها، تكون صورة نقطة التقاطع نقطة تقاطع الصور، ومنه \(I\) و \(J\) متناظرتان بالنسبة لـ \((AC)\) ✓
يستند هذا السؤال إلى مواضع \(I\) و \(J\) على الرسم؛ يُكمَل بتتبّع صور المستقيمات بالتناظر بالنسبة إلى القطر \((AC)\).