اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية. أحِط بدائرة الإجابة الصحيحة.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| عدد قواسم الجداء \(2^{2} \times 9 \times 5\) هو: | \(12\) | \(18\) | \(16\) |
| العدد \(2^{2} + 2^{3}\) يساوي: | \(4^{3}\) | \(2^{6}\) | \(2^{4}\) |
| ليكن \(\Delta\) و \((D)\) مستقيمين متوازيين، و \((AB)\) مستقيمًا مخالفًا لـ \(\Delta\) حيث مناظر \((AB)\) بالنسبة إلى \(\Delta\) هو \((D)\). إذن: | \((AB)\,/\!/\,(D)\) | \((AB) \perp (D)\) | \((AB)\) و \((D)\) متقاطعان |
ملاحظة حول التمرين: السؤال الثاني كما قُرئ من ورقة الفرض هو \(2^{2}+2^{3}\)، والإجابات المقترحة \(4^{3}\) و \(2^{6}\) و \(2^{4}\)؛ نُصحّح انطلاقًا من النصّ ونُبيّن القيمة الصحيحة. راجِع نصّ الفرض للتثبّت.
القاعدة: إذا كان \(n = a^{p} \times b^{q} \times c^{r}\) (بعوامل أوّلية) فإنّ عدد قواسمه هو \((p+1)(q+1)(r+1)\).
نكتب أوّلًا العدد على صورة جداء عوامل أوّلية. بما أنّ \(9 = 3^{2}\)، فإنّ:
\(2^{2} \times 9 \times 5 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{1}\)
إذن عدد القواسم هو:
\((2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18\)
الجواب الصحيح: ب: \(18\)
نحسب كلّ قوّة على حدة:
\(2^{2} = 4 \qquad\) و \(\qquad 2^{3} = 8\)
إذن: \(2^{2} + 2^{3} = 4 + 8 = 12\).
نحسب قيم الإجابات المقترحة: \(4^{3} = 64\)، و \(2^{6} = 64\)، و \(2^{4} = 16\).
تنبيه: حسب النصّ المقروء \(2^{2}+2^{3}=12\)، وهو لا يطابق أيًّا من الإجابات المقترحة، كما أنّ الإجابتين (أ) و(ب) متساويتان (\(4^{3}=2^{6}=64\)). ننبّه إلى وجود التباس محتمل في قراءة نصّ السؤال؛ يُرجى الرجوع إلى ورقة الفرض الأصلية للتثبّت من صيغة العملية المطلوبة.
القاعدة المهمّة هنا: عند جمع قوّتين لهما الأساس نفسه لا نجمع الأُسّين؛ فـ \(2^{2}+2^{3} \neq 2^{5}\). أمّا عند الضرب فنجمع الأُسّين: \(2^{2} \times 2^{3} = 2^{5}\).
خاصّية: التناظر المحوري يحفظ التوازي؛ فصورة مستقيمين متوازيين مستقيمان متوازيان، وإذا كان مستقيم موازيًا لمستقيم آخر فصورتاهما متوازيتان.
معطى أنّ \(\Delta \,/\!/\, (D)\)، وأنّ \((D)\) هي صورة \((AB)\) بالتناظر بالنسبة إلى \(\Delta\).
التناظر المحوري بالنسبة إلى \(\Delta\) يحفظ التوازي مع المحور \(\Delta\): بما أنّ \((D)\) موازٍ لـ \(\Delta\)، فإنّ سابقته \((AB)\) موازية أيضًا لـ \(\Delta\). ومنه \((AB)\) و \((D)\) كلاهما موازٍ لـ \(\Delta\)، فهما متوازيان فيما بينهما:
\((AB) \,/\!/\, \Delta \,/\!/\, (D)\)
الجواب الصحيح: أ: \((AB)\,/\!/\,(D)\)
هذا السؤال يُبرّر هندسيًّا بخاصّية حفظ التوازي بالتناظر المحوري؛ يُنصح بالرجوع إلى الرسم على ورقة الفرض لتصوّر وضعيّة المستقيمات.
1) أ- فكّك إلى جداء عوامل أوّلية العدد \(48\).
ب- باستعمال جدول بيتاغور، أوجد مجموعة قواسم العدد \(48\).
2) فكّك إلى جداء عوامل أوّلية العدد \(108\).
3) أ- استنتج تفكيكًا إلى جداء عوامل أوّلية لـ \(48 \times 108\) و \(108^{3}\).
ب- مستطيل بُعداه بحساب الصنتمتر \(108\) و \(48\). أوجد قيس طول ضلع مربّع له نفس مساحة المستطيل.
نقسم تباعًا:
\(48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
الجواب: \(48 = 2^{4} \times 3\)
بما أنّ \(48 = 2^{4} \times 3\)، فكلّ قاسم من الشكل \(2^{i} \times 3^{j}\) حيث \(0 \le i \le 4\) و \(0 \le j \le 1\). نبني الجدول:
| \(\times\) | \(2^{0}=1\) | \(2^{1}=2\) | \(2^{2}=4\) | \(2^{3}=8\) | \(2^{4}=16\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3^{0}=1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(16\) |
| \(3^{1}=3\) | \(3\) | \(6\) | \(12\) | \(24\) | \(48\) |
مجموعة القواسم: \(\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,8;\,12;\,16;\,24;\,48\}\)
عددها \((4+1)(1+1) = 5 \times 2 = 10\) قاسمًا، وهو ما يطابق عدد خانات الجدول.
نقسم تباعًا:
\(108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2 \times 2 \times 3 \times 9 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3\)
الجواب: \(108 = 2^{2} \times 3^{3}\)
\(48 \times 108\): نستعمل التفكيكين السابقين ونجمع الأُسُس للعوامل المتماثلة:
\(48 \times 108 = (2^{4} \times 3) \times (2^{2} \times 3^{3}) = 2^{4+2} \times 3^{1+3} = 2^{6} \times 3^{4}\)
الجواب: \(48 \times 108 = 2^{6} \times 3^{4}\)
\(108^{3}\): نرفع كلّ عامل إلى القوّة \(3\) (نضرب الأُسّ في \(3\)):
\(108^{3} = (2^{2} \times 3^{3})^{3} = 2^{2 \times 3} \times 3^{3 \times 3} = 2^{6} \times 3^{9}\)
الجواب: \(108^{3} = 2^{6} \times 3^{9}\)
القاعدة: مساحة المستطيل \(= \text{الطول} \times \text{العرض}\)، ومساحة المربّع \(= (\text{الضلع})^{2}\). فطول الضلع المطلوب هو العدد الذي مربّعه يساوي مساحة المستطيل.
مساحة المستطيل هي:
\(S = 108 \times 48 = 2^{6} \times 3^{4}\) (من السؤال السابق)
نبحث عن العدد \(c\) حيث \(c^{2} = 2^{6} \times 3^{4}\). نلاحظ أنّ الأُسّين زوجيان، فنقسم كلًّا منهما على \(2\):
\(c^{2} = 2^{6} \times 3^{4} = (2^{3} \times 3^{2})^{2}\)
إذن \(c = 2^{3} \times 3^{2} = 8 \times 9 = 72\).
الجواب: طول ضلع المربّع هو \(72\,\text{cm}\).
للتحقّق: مساحة المربّع \(= 72 \times 72 = 5184\)، ومساحة المستطيل \(= 108 \times 48 = 5184\). المساحتان متساويتان ✓
ارسم مربّعًا \(ABCD\) طول ضلعه \(6\,\text{cm}\)، و \(O\) منتصف قطره \([BD]\).
1) أ- بيّن أنّ المستقيم \((AO)\) هو الموسط العمودي لـ \([BD]\).
ب- استنتج أنّ النقطة \(C\) مناظرة نفسها بالنسبة إلى \((AO)\).
2) لتكن \(I\) نقطة من قطعة المستقيم \([AB]\) حيث \(AI = 4\,\text{cm}\).
أ- حدّد، معلّلًا جوابك، مناظر نصف المستقيم \([AI)\) بالنسبة إلى \((AO)\).
ب- ابنِ \(J\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \((AO)\)، ثمّ بيّن أنّ \(J \in (AD)\).
3) أ- حدّد، معلّلًا جوابك، مناظرة الزاوية \(\widehat{IAC}\) بالنسبة إلى \((AO)\).
ب- استنتج أنّ \((AC)\) منصّف الزاوية \(\widehat{IAJ}\).
4) لتكن \((\xi)\) دائرة مركزها \(B\) وشعاعها \([BI]\)، و \((\xi')\) دائرة مركزها \(D\) وشعاعها \([DJ]\). بيّن أنّ الدائرتين \((\xi)\) و \((\xi')\) متناظرتان بالنسبة إلى \((AO)\).
خاصّية: إذا كانت نقطتان على البعد نفسه من طرفي قطعة، فإنّ المستقيم المارّ بهما هو الموسط العمودي لتلك القطعة.
في المربّع \(ABCD\) كلّ الأضلاع متساوية، وبصفة خاصّة \(AB = AD\)، إذن النقطة \(A\) على البعد نفسه من \(B\) و \(D\): \(AB = AD\).
و \(O\) منتصف \([BD]\) (معطى)، إذن \(OB = OD\)، أي \(O\) كذلك على البعد نفسه من \(B\) و \(D\).
وبما أنّ النقطتين \(A\) و \(O\) كلتاهما على البعد نفسه من \(B\) و \(D\)، فإنّ المستقيم \((AO)\) هو:
الاستنتاج: \((AO)\) هو الموسط العمودي لـ \([BD]\) ✓
القطر الثاني للمربّع هو \([AC]\)، وقطرا المربّع يتقاطعان في منتصفيهما، أي في \(O\). إذن \(O\) ينتمي إلى \([AC]\)، والنقطة \(A\) طرفٌ من \([AC]\)، فالمستقيم \((AO)\) هو نفسه المستقيم \((AC)\) (لأنّه يمرّ بـ \(A\) و \(O\) وكلاهما على \((AC)\)).
وبما أنّ \(C\) نقطة من المستقيم \((AC) = (AO)\)، أي \(C\) واقعة على محور التناظر \((AO)\)، فإنّ:
الاستنتاج: \(C\) مناظرة نفسها بالنسبة إلى \((AO)\) ✓ (لأنّ كلّ نقطة على المحور مناظرةٌ نفسها).
خاصّية: التناظر المحوري يحفظ نصف المستقيم؛ فصورة \([AI)\) نصفُ مستقيم ينطلق من صورة \(A\) نحو صورة \(I\).
النقطة \(A\) على المحور \((AO)\)، إذن مناظرتها هي \(A\) نفسها.
القطر \((AC)\) للمربّع منصّف للزاوية \(\widehat{BAD}\) (خاصّية مربّع: القطر ينصّف زوايا المربّع)، أي إنّ \((AO) = (AC)\) هو منصّف الزاوية \(\widehat{BAD}\)، فهو محور تناظر بين ضلعي هذه الزاوية: يحوّل نصف المستقيم \([AB)\) إلى نصف المستقيم \([AD)\).
وبما أنّ \(I \in [AB]\)، فإنّ نصف المستقيم \([AI)\) محمول على \([AB)\)، ومناظره محمول على \([AD)\).
الاستنتاج: مناظر \([AI)\) بالنسبة إلى \((AO)\) هو نصف المستقيم \([AD)\) (المنطلق من \(A\) نحو \(D\)) ✓
البناء: \(J\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \((AO)\): نُسقط \(I\) عموديًّا على المحور \((AO)\) ونمدّد بنفس المسافة على الجهة الأخرى (بالكوس أو بالطيّ).
الإثبات: بما أنّ \(I \in [AB) \subset [AB)\)، ومناظر نصف المستقيم \([AB)\) هو \([AD)\) (من السؤال 2أ)، فإنّ مناظر النقطة \(I\)، وهي \(J\)، تنتمي إلى صورة نصف المستقيم، أي إلى \([AD)\).
الاستنتاج: \(J \in (AD)\) ✓
زيادةً على ذلك، التناظر يحفظ الأطوال، فـ \(AJ = AI = 4\,\text{cm}\)؛ أي \(J\) هي النقطة من \([AD)\) التي تبعد عن \(A\) بـ \(4\,\text{cm}\).
خاصّية: التناظر المحوري يحفظ الزوايا؛ فصورة زاوية زاويةٌ لها نفس القيس، رأسها صورة الرأس وضلعاها صورتا الضلعين.
الزاوية \(\widehat{IAC}\) رأسها \(A\) وضلعاها \([AI)\) و \([AC)\).
- مناظر الرأس \(A\) هو \(A\) (على المحور).
- مناظر \([AI)\) هو \([AJ)\) (المحمول على \([AD)\)، من السؤال 2).
- مناظر \([AC)\) هو \([AC)\) نفسه (لأنّ \((AC) = (AO)\) هو المحور).
الاستنتاج: مناظرة الزاوية \(\widehat{IAC}\) بالنسبة إلى \((AO)\) هي الزاوية \(\widehat{JAC}\)، ولهما نفس القيس: \(\widehat{IAC} = \widehat{JAC}\) ✓
من السؤال السابق: \(\widehat{IAC} = \widehat{JAC}\)، أي إنّ نصف المستقيم \([AC)\) يقسم الزاوية \(\widehat{IAJ}\) إلى زاويتين متساويتين \(\widehat{IAC}\) و \(\widehat{CAJ}\)، وهو داخلها (بين \([AI)\) و \([AJ)\)).
الاستنتاج: \((AC)\) منصّف الزاوية \(\widehat{IAJ}\) ✓
خاصّية: مناظرة دائرة بالتناظر المحوري دائرةٌ لها نفس الشعاع ومركزها مناظر المركز.
\((\xi)\) دائرة مركزها \(B\) وشعاعها \(BI\)، و \((\xi')\) دائرة مركزها \(D\) وشعاعها \(DJ\). نتتبّع صور العناصر بالتناظر بالنسبة إلى \((AO)\):
- مناظر المركز \(B\) هو \(D\) (لأنّ \((AO)\) الموسط العمودي لـ \([BD]\)، فهو محور تناظر النقطتين \(B\) و \(D\)).
- مناظر \(I\) هو \(J\) (من السؤال 2).
- التناظر يحفظ الأطوال، إذن \(BI = DJ\)، أي الدائرتان لهما نفس الشعاع.
إذن مناظرة الدائرة \((\xi)\) (مركزها \(B\) وشعاعها \(BI\)) هي الدائرة التي مركزها \(D\) وشعاعها \(DJ\)، وهي بالضبط \((\xi')\).
الاستنتاج: الدائرتان \((\xi)\) و \((\xi')\) متناظرتان بالنسبة إلى \((AO)\) ✓