اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية. يلي كلّ سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة؛ حدّد هذه الإجابة بوضعها في دائرة.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| \(3\) يمثّل رقم الأجزاء من المائة في العدد: | \(1{,}325\) | \(1{,}235\) | \(1{,}253\) |
| النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) تمثّل رؤوسًا لمثلّث في حالة: | \(AB = 2\,\text{cm}\) \(AC = 3\,\text{cm}\) \(BC = 5\,\text{cm}\) |
\(AB = 4\,\text{cm}\) \(AC = 5\,\text{cm}\) \(BC = 7\,\text{cm}\) |
\(AB = 2\,\text{cm}\) \(AC = 3\,\text{cm}\) \(BC = 6\,\text{cm}\) |
| يكون مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\) خارجه في حالة: | \(\widehat{ABC} = 40^\circ\) و \(\widehat{ACB} = 60^\circ\) |
\(\widehat{ABC} = 30^\circ\) و \(\widehat{ACB} = 70^\circ\) |
\(\widehat{ABC} = 20^\circ\) و \(\widehat{ACB} = 50^\circ\) |
تذكير: رقم الأجزاء من المائة هو الرقم الثاني بعد الفاصلة.
نقرأ الرقم الثاني بعد الفاصلة في كلّ عدد:
- \(1{,}325\): الرقم الثاني بعد الفاصلة هو \(2\).
- \(1{,}235\): الرقم الثاني بعد الفاصلة هو \(3\). ✓
- \(1{,}253\): الرقم الثاني بعد الفاصلة هو \(5\).
الجواب الصحيح: ب: \(1{,}235\)
القاعدة: توجد النقاط \(A,B,C\) رؤوسًا لمثلّث إذا وفقط إذا كان الضلع الأكبر أصغر (تمامًا) من مجموع الضلعين الآخرين.
نختبر كلّ حالة (الضلع الأكبر مع مجموع الضلعين الآخرين):
- (أ) \(2,3,5\): الأكبر \(5\) و \(2+3 = 5\)، أي \(5 = 5\) ⟵ مساواة: النقاط في استقامة، لا مثلّث.
- (ب) \(4,5,7\): الأكبر \(7\) و \(4+5 = 9\)، أي \(7 < 9\) ⟵ مثلّث موجود ✓
- (ج) \(2,3,6\): الأكبر \(6\) و \(2+3 = 5\)، أي \(6 > 5\) ⟵ مستحيل، لا مثلّث.
الجواب الصحيح: ب: \(AB=4\), \(AC=5\), \(BC=7\)
القاعدة: مركز الدائرة المحيطة يقع داخل المثلّث إن كان حادّ الزوايا، وعلى الوتر إن كان قائمًا، وخارجه إن كانت إحدى زواياه منفرجة (أكبر من \(90^\circ\)).
نحسب في كلّ حالة الزاوية الثالثة \(\widehat{BAC} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{ACB}\):
- (أ) \(40^\circ, 60^\circ\): \(\widehat{BAC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\) ⟵ كلّ الزوايا حادّة، المركز داخل المثلّث.
- (ب) \(30^\circ, 70^\circ\): \(\widehat{BAC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\) ⟵ كلّ الزوايا حادّة، المركز داخل المثلّث.
- (ج) \(20^\circ, 50^\circ\): \(\widehat{BAC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) ⟵ زاوية منفرجة، المركز خارج المثلّث ✓.
الجواب الصحيح: ج: \(\widehat{ABC}=20^\circ\) و \(\widehat{ACB}=50^\circ\)
1) أكمل بما يناسب:
\(\dfrac{26}{14} = \dfrac{\ldots\ldots}{49}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\ldots\ldots \times 7 = 5\)
\(\ldots\ldots \times 0{,}534 - 91 \times 0{,}534 = 53{,}4\)
2) احسب العبارات التالية:
\(a = 25 \times 3^{2} \times 0{,}04 - 9 \times 0{,}5\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(b = (37{,}73 - 8) + (13{,}73 - 8)\)
\(c = 5{,}19 \times 73{,}14 + 2{,}686 \times 51{,}9\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(d = (16{,}5 + 15{,}631) - 36{,}31 \times 0{,}1\)
(أ) \(\dfrac{26}{14} = \dfrac{\ldots}{49}\)
نبسّط: \(26 = 2 \times 13\) و \(14 = 2 \times 7\)، إذن \(\dfrac{26}{14} = \dfrac{13}{7}\).
وبما أنّ \(49 = 7 \times 7\)، نضرب البسط والمقام في \(7\):
\(\dfrac{13}{7} = \dfrac{13 \times 7}{7 \times 7} = \dfrac{91}{49}\)
الجواب: \(\dfrac{26}{14} = \dfrac{91}{49}\)
(ب) \(\ldots \times 7 = 5\)
نبحث عن العدد الذي إذا ضربناه في \(7\) نحصل على \(5\):
\(\square \times 7 = 5 \;\Longrightarrow\; \square = \dfrac{5}{7}\)
الجواب: \(\dfrac{5}{7} \times 7 = 5\)
(ت) \(\ldots \times 0{,}534 - 91 \times 0{,}534 = 53{,}4\)
نُخرج العامل المشترك \(0{,}534\):
\((\square - 91) \times 0{,}534 = 53{,}4\)
وبما أنّ \(53{,}4 = 100 \times 0{,}534\)، فإنّ \(\square - 91 = 100\)، ومنه \(\square = 191\).
الجواب: \(191 \times 0{,}534 - 91 \times 0{,}534 = 53{,}4\)
حساب \(a\): نبدأ بالقوّة ثمّ الضرب:
\(a = 25 \times 3^{2} \times 0{,}04 - 9 \times 0{,}5 = 25 \times 9 \times 0{,}04 - 4{,}5\)
\(= 225 \times 0{,}04 - 4{,}5 = 9 - 4{,}5\)
الجواب: \(a = 4{,}5\)
حساب \(b\): نحسب داخل كلّ قوس ثمّ نجمع:
\(b = (37{,}73 - 8) + (13{,}73 - 8) = 29{,}73 + 5{,}73\)
الجواب: \(b = 35{,}46\)
حساب \(c\): نلاحظ أنّ \(51{,}9 = 5{,}19 \times 10\)، إذن \(2{,}686 \times 51{,}9 = 2{,}686 \times 10 \times 5{,}19 = 26{,}86 \times 5{,}19\).
نُخرج العامل المشترك \(5{,}19\):
\(c = 5{,}19 \times 73{,}14 + 5{,}19 \times 26{,}86 = 5{,}19 \times (73{,}14 + 26{,}86)\)
\(= 5{,}19 \times 100\)
الجواب: \(c = 519\)
حساب \(d\): نحترم أولويّة العمليات (الأقواس ثمّ الضرب ثمّ الطرح):
\(d = (16{,}5 + 15{,}631) - 36{,}31 \times 0{,}1 = 32{,}131 - 3{,}631\)
الجواب: \(d = 28{,}5\)
في الرسم المرافق (على ورقة الفرض) \(ABC\) مثلّث حيث \(\widehat{ABC} = 50^\circ\) و \(\widehat{ACB} = 30^\circ\).
1) ابن \([Bx)\) منصّف الزاوية \(\widehat{ABC}\) و \([Cy)\) منصّف الزاوية \(\widehat{ACB}\)، ثمّ عيّن \(O\) نقطة تقاطع \([Bx)\) و \([Cy)\). ماذا تمثّل النقطة \(O\) بالنسبة إلى المثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
2) المستقيم \((AO)\) يقطع \((BC)\) في نقطة \(I\). أحسب \(\widehat{BAI}\).
3) عيّن النقطة \(J\) منتصف \([IB]\). المستقيم المارّ من \(J\) والعمودي على \((BI)\) يقطع \((AB)\) في نقطة \(E\). لتكن النقطة \(K\) مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABI\). بيّن أنّ النقاط \(E\) و \(J\) و \(K\) على استقامة واحدة.
ننشئ \([Bx)\) منصّف \(\widehat{ABC}\) و \([Cy)\) منصّف \(\widehat{ACB}\) (باستعمال الكوس أو المنقلة)، ثمّ نعيّن نقطة تقاطعهما \(O\).
الخاصّية: منصّفات زوايا المثلّث الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث (الدائرة الداخلية المماسّة للأضلاع).
\(O\) هي نقطة تقاطع منصّفَي زاويتين من زوايا المثلّث \(ABC\)، إذن:
الاستنتاج: \(O\) هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلّث \(ABC\)، وهي تقع أيضًا على منصّف الزاوية الثالثة \(\widehat{BAC}\).
نحسب أوّلًا الزاوية \(\widehat{BAC}\) (مجموع زوايا المثلّث \(180^\circ\)):
\(\widehat{BAC} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ - 30^\circ = 100^\circ\)
بما أنّ \(O\) مركز الدائرة المحاطة، فهي تقع على منصّف \(\widehat{BAC}\)؛ والمستقيم \((AO)\) يمرّ من \(A\) و \(O\)، إذن \((AO)\) هو منصّف الزاوية \(\widehat{BAC}\). وبما أنّ \(I\) على \((AO)\)، فإنّ \([AI)\) منصّف \(\widehat{BAC}\)، ومنه:
\(\widehat{BAI} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = \dfrac{100^\circ}{2} = 50^\circ\)
الجواب: \(\widehat{BAI} = 50^\circ\)
مفتاح البرهان: المستقيم المارّ من \(J\) (منتصف \([IB]\)) والعمودي على \((BI)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([BI]\). سنبيّن أنّ كلّ نقطة من \(E\) و \(J\) و \(K\) تنتمي إلى هذا الموسط العمودي.
• النقطتان \(J\) و \(E\): حسب المعطى، المستقيم المارّ من \(J\) عموديًّا على \((BI)\) يقطع \((AB)\) في \(E\). إذن كلّ من \(J\) و \(E\) على هذا المستقيم، وهو الموسط العمودي لـ \([BI]\) (لأنّه يمرّ من منتصف \([IB]\) وهو عمودي عليها).
• النقطة \(K\): النقطة \(K\) هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABI\).
الخاصّية: مركز الدائرة المحيطة بمثلّث يقع على الموسط العمودي لكلّ ضلع من أضلاعه.
وبما أنّ \([BI]\) ضلع في المثلّث \(ABI\)، فإنّ \(K\) يقع على الموسط العمودي لـ \([BI]\).
الاستنتاج: النقاط \(E\) و \(J\) و \(K\) جميعها تنتمي إلى الموسط العمودي نفسه للقطعة \([BI]\)، وهو مستقيم واحد، إذن:
النقاط \(E\) و \(J\) و \(K\) على استقامة واحدة ✓
ملاحظة: الإنشاءات (المنصّفات، النقطة \(O\)، النقطة \(I\)، \(J\)، \(E\)) تُنجز على الرسم المرافق بورقة الفرض؛ أمّا البرهان أعلاه فمنطقيّ لا يعتمد على قياسات من الرسم.