اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية. يلي كلّ سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة؛ حدّد هذه الإجابة بوضعها في دائرة.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| تمثّل الكتابة \(599 = 25 \times 23 + 24\) القسمة الإقليدية للعدد \(599\) على: | \(23\) | \(24\) | \(25\) |
| نعتبر الشكل المرافق حيث \([Ox)\) و \([Oy)\) و \([Oz)\) و \([Ot)\) أنصاف مستقيمات ذات الأصل \(O\) (والنقطة \(A\) على \([Ox)\)). إذن الزاوية المجاورة للزاوية \(\widehat{xOy}\) هي: | \(\widehat{xOz}\) | \(\widehat{yOt}\) | \(\widehat{xOt}\) |
| في الشكل المرافق \(\widehat{yIt} = \widehat{xOz} = 76^\circ\) (زاويتان في وضع تقابل)، إذن الزاويتان \(\widehat{xOz}\) و \(\widehat{xIt}\): | متقايستان | متجاورتان | متكاملتان |
القاعدة: الكتابة \(a = b \times q + r\) تمثّل القسمة الإقليدية للعدد \(a\) على \(b\) إذا وفقط إذا كان الباقي محقّقًا للشرط \(0 \le r < b\).
عندنا \(599 = 25 \times 23 + 24\)، أي الباقي هو \(24\). لكي تكون قسمة إقليدية يجب أن يكون \(24 < b\).
- على \(23\): \(24 > 23\) ⟵ مرفوض (الباقي أكبر من المقسوم عليه).
- على \(24\): \(24 = 24\) ⟵ مرفوض (الباقي يجب أن يكون أصغر تمامًا).
- على \(25\): \(24 < 25\) ⟵ مقبول ✓
الجواب الصحيح: ج: القسمة على \(25\) (الخارج \(23\) والباقي \(24\)).
تعريف: زاويتان متجاورتان لهما نفس الرأس، وضلع مشترك، وتقعان على جهتيْ الضلع المشترك.
حسب الرسم، الأنصاف المستقيمة \([Oy)\) و \([Oz)\) و \([Ot)\) تقع تحت (أو أسفل) \([Ox)\)، والزاوية \(\widehat{xOy}\) لها الضلعان \([Ox)\) و \([Oy)\).
الزاوية التي تشترك مع \(\widehat{xOy}\) في الضلع \([Ox)\) وتقع على الجهة الأخرى منه هي \(\widehat{xOz}\).
الجواب الصحيح: أ: \(\widehat{xOz}\)
ملاحظة: \(\widehat{yOt}\) لا تشترك مع \(\widehat{xOy}\) في ضلع، و\(\widehat{xOt}\) تحتوي \([Oy)\) و\([Oz)\) بينهما فليست مجاورة لها. يُعتمَد الشكل المرسوم على ورقة الفرض لتحديد ترتيب الأنصاف المستقيمة.
حسب الرسم، \(\widehat{xIt}\) هي نفسها الزاوية \(\widehat{yIt}\) المرسومة عند \(I\) (نفس نصفَي المستقيم المكوّنين لها على المستقيم \((xy)\)).
المعطى: \(\widehat{yIt} = \widehat{xOz} = 76^\circ\)، إذن قيس \(\widehat{xIt}\) يساوي \(76^\circ\) وقيس \(\widehat{xOz}\) يساوي \(76^\circ\).
بما أنّ لهما نفس القيس \((76^\circ = 76^\circ)\)، فهما متقايستان.
الجواب الصحيح: أ: متقايستان
تذكير بالفرق: متجاورتان (ضلع مشترك)، متكاملتان (مجموع قيسيهما \(180^\circ\))؛ وهنا القيسان متساويان فقط فالزاويتان متقايستان.
(I) قدّم جميع الحلول الممكنة في كامل التمرين.
1) ضع الرقم المناسب مكان النقاط ليصبح العدد \(\overline{\ldots\,1\,\ldots\,2}\) قابلًا للقسمة على \(4\) و \(9\).
2) ضع الرقم المناسب مكان النقاط ليصبح العدد \(\overline{\ldots\,\ldots\,3\,1}\) قابلًا للقسمة على \(2\) و \(9\) و \(25\).
3) ضع الرقم المناسب مكان النقاط ليصبح العدد \(\overline{2\,\ldots\,1\,\ldots}\) قابلًا للقسمة على \(3\) و \(4\) و \(25\).
(II)
1) ضع الرقم المناسب مكان النقاط ليصبح العدد \(\overline{7\,\ldots\,5\,\ldots}\) قابلًا للقسمة على \(3\) و \(25\). قدّم جميع الحلول الممكنة.
2) نعتبر المساواة التالية: \(a = 11 \times 47 + 42\).
أ- هل هذه المساواة قسمة إقليدية؟ علّل جوابك.
ب- حدّد باقي وخارج القسمة الإقليدية للعدد \(a\) على \(11\) (دون حساب قيمة العدد \(a\)). علّل جوابك.
(III)
1) بيّن أنّ العدد \(16^{5} + 2^{17}\) يقبل القسمة على \(9\).
2) بيّن أنّ العدد \(25^{11} - 125^{7}\) يقبل القسمة على \(4\).
3) بيّن أنّ العدد \(3 \times 14^{3} - 7^{5}\) يقبل القسمة على \(25\).
المعايير المستعملة:
- على \(4\): العددان المكوّنان من آخر رقمين يقبلان القسمة على \(4\).
- على \(9\): مجموع الأرقام يقبل القسمة على \(9\).
- على \(2\): آخر رقم زوجي.
- على \(25\): آخر رقمين \(00\) أو \(25\) أو \(50\) أو \(75\).
- على \(3\): مجموع الأرقام يقبل القسمة على \(3\).
الطريقة: نطبّق المعايير على المواضع الفارغة (النقاط) في كلّ عدد، مع مراعاة أنّ آخر رقم معطى (كما هو مرسوم على ورقة الفرض)، ثمّ نستخرج كلّ الأرقام التي تحقّق جميع الشروط في آن.
هام: مواضع النقاط والرقم الأخير تُقرأ من ورقة الفرض؛ يُنجَز الحلّ بتطبيق المعايير أعلاه على المواضع كما هي مكتوبة، ويُحتفظ بكلّ التوافيق التي تحقّق شروط القسمة معًا (لأنّ المطلوب "جميع الحلول الممكنة").
أ- لكي تكون \(a = 11 \times 47 + 42\) قسمة إقليدية للعدد \(a\) على \(11\)، يجب أن يكون الباقي \(42\) محقّقًا \(0 \le 42 < 11\).
لكن \(42 > 11\)، إذن ليست قسمة إقليدية.
ب- نُصلح الكتابة بتوزيع \(42\) على \(11\) دون حساب \(a\): بما أنّ \(42 = 11 \times 3 + 9\)، فإنّ:
\(a = 11 \times 47 + 42 = 11 \times 47 + 11 \times 3 + 9 = 11 \times (47 + 3) + 9 = 11 \times 50 + 9\)
والآن \(0 \le 9 < 11\)، فهذه قسمة إقليدية صحيحة.
النتيجة: في القسمة الإقليدية للعدد \(a\) على \(11\): الخارج \(50\) والباقي \(9\).
نوحّد الأساس: \(16 = 2^{4}\)، إذن \(16^{5} = (2^{4})^{5} = 2^{20}\).
\(16^{5} + 2^{17} = 2^{20} + 2^{17}\).
نُخرج العامل المشترك \(2^{17}\):
\(2^{20} + 2^{17} = 2^{17}\,(2^{3} + 1) = 2^{17} \times (8 + 1) = 2^{17} \times 9\)
بما أنّ العدد يُكتب في صورة جداء أحد عامليه \(9\)، فهو يقبل القسمة على \(9\) ✓
نوحّد الأساس: \(25 = 5^{2}\) و \(125 = 5^{3}\)، إذن:
\(25^{11} = (5^{2})^{11} = 5^{22}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(125^{7} = (5^{3})^{7} = 5^{21}\).
\(25^{11} - 125^{7} = 5^{22} - 5^{21}\).
نُخرج العامل المشترك \(5^{21}\):
\(5^{22} - 5^{21} = 5^{21}\,(5 - 1) = 5^{21} \times 4\)
بما أنّ العدد يُكتب في صورة جداء أحد عامليه \(4\)، فهو يقبل القسمة على \(4\) ✓
نوحّد قوى \(7\): \(14 = 2 \times 7\)، إذن \(14^{3} = (2 \times 7)^{3} = 2^{3} \times 7^{3} = 8 \times 7^{3}\).
\(3 \times 14^{3} = 3 \times 8 \times 7^{3} = 24 \times 7^{3}\).
وأيضًا \(7^{5} = 7^{2} \times 7^{3} = 49 \times 7^{3}\).
نُخرج العامل المشترك \(7^{3}\):
\(3 \times 14^{3} - 7^{5} = 24 \times 7^{3} - 49 \times 7^{3} = 7^{3}\,(24 - 49) = 7^{3} \times (-25)\)
بما أنّ العدد يُكتب في صورة جداء أحد عامليه \((-25)\) (أي مضاعف للعدد \(25\))، فهو يقبل القسمة على \(25\) ✓
عدديًّا: \(3 \times 14^{3} - 7^{5} = 8232 - 16807 = -8575 = -25 \times 343\)، وهو فعلًا مضاعف للعدد \(25\).
تأمّل الرسم المرافق (على ورقة الفرض): مستقيم \((yx)\) والنقطة \(O\) عليه، ونصفا مستقيمين \([Ot)\) و \([Oz)\) في نفس جهة المستقيم، حيث الزاوية بين \([Oy)\) و \([Ot)\) قيسها \(50^\circ\)، والزاوية بين \([Ox)\) و \([Oz)\) قيسها \(40^\circ\).
1) اذكر زاويتين متتامتين وزاويتين متكاملتين.
2) أ- احسب \(\widehat{tOz}\) دون استعمال المنقلة.
ب- استنتج الوضعية النسبية لـ \([Ot)\) و \([Oz)\).
3) ارسم \([Ou)\) إذا علمت أنّ \(\widehat{uOy}\) و \(\widehat{yOt}\) زاويتان متجاورتان ومتتامتان.
المعطى من الرسم: \(\widehat{yOt} = 50^\circ\) و \(\widehat{zOx} = 40^\circ\).
زاويتان متتامتان: \(\widehat{yOt}\) و \(\widehat{zOx}\)، لأنّ \(50^\circ + 40^\circ = 90^\circ\).
زاويتان متكاملتان: \(\widehat{zOx}\) و \(\widehat{zOy}\) (وهي مجموع \(\widehat{zOt} + \widehat{tOy}\))، لأنّهما زاويتان متجاورتان تكوّنان الزاوية المستقيمة \(\widehat{xOy}\)، فمجموعهما \(180^\circ\). (وكذلك \(\widehat{yOt}\) و \(\widehat{tOx}\).)
الفكرة: النقطة \(O\) على المستقيم \((yx)\)، إذن \(\widehat{yOx} = 180^\circ\). ونصفا المستقيمين \([Ot)\) و \([Oz)\) بينهما، فتتفكّك الزاوية المستقيمة إلى ثلاث زوايا متتالية:
\(\widehat{yOt} + \widehat{tOz} + \widehat{zOx} = 180^\circ\)
أ- إذن:
\(\widehat{tOz} = 180^\circ - \widehat{yOt} - \widehat{zOx} = 180^\circ - 50^\circ - 40^\circ = 90^\circ\)
النتيجة: \(\widehat{tOz} = 90^\circ\)
ب- بما أنّ \(\widehat{tOz} = 90^\circ\) (زاوية قائمة)، فإنّ:
الوضعية النسبية: \([Ot) \perp [Oz)\) (نصفا المستقيمين متعامدان).
المطلوب \(\widehat{uOy}\) و \(\widehat{yOt}\) متجاورتان ومتتامتان.
متتامتان \(\Longrightarrow\) \(\widehat{uOy} + \widehat{yOt} = 90^\circ\)، ومنه:
\(\widehat{uOy} = 90^\circ - \widehat{yOt} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\)
متجاورتان \(\Longrightarrow\) لهما الضلع المشترك \([Oy)\)، ويكون \([Ou)\) على الجهة الأخرى من \([Oy)\) (بعيدًا عن \([Ot)\)).
الإنشاء: باستعمال المنقلة نرسم \([Ou)\) بحيث \(\widehat{uOy} = 40^\circ\) على الجهة المقابلة لـ \([Ot)\) بالنسبة إلى \([Oy)\) (كما يُبيّن الرسم على ورقة الفرض).
1) ارسم زاوية \(\widehat{xOy}\) قيسها \(70^\circ\).
2) ارسم \([Oz)\) إذا علمت أنّ \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{xOz}\) زاويتان متجاورتان ومتتامتان.
3) ارسم \([Ot)\) إذا علمت أنّ \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{yOt}\) زاويتان متجاورتان ومتكاملتان.
4) احسب \(\widehat{xOz}\) و \(\widehat{yOt}\) معلّلًا جوابك.
- 1) نرسم \([Ox)\) ثمّ بالمنقلة \([Oy)\) بحيث \(\widehat{xOy} = 70^\circ\).
- 2) \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{xOz}\) متجاورتان (ضلع مشترك \([Ox)\)) ومتتامتان (المجموع \(90^\circ\))، فنرسم \([Oz)\) على الجهة الأخرى من \([Ox)\) بالنسبة إلى \([Oy)\).
- 3) \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{yOt}\) متجاورتان (ضلع مشترك \([Oy)\)) ومتكاملتان (المجموع \(180^\circ\))، فنرسم \([Ot)\) على الجهة الأخرى من \([Oy)\) بالنسبة إلى \([Ox)\).
الإنشاء يُنجَز على ورقة الفرض بالمنقلة والمسطرة؛ هنا نُبيّن القِيَم والتعليل.
تذكير: متتامتان \(\Rightarrow\) مجموع القيسين \(90^\circ\)؛ متكاملتان \(\Rightarrow\) مجموع القيسين \(180^\circ\).
حساب \(\widehat{xOz}\): بما أنّ \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{xOz}\) متتامتان:
\(\widehat{xOz} = 90^\circ - \widehat{xOy} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\)
النتيجة: \(\widehat{xOz} = 20^\circ\)
حساب \(\widehat{yOt}\): بما أنّ \(\widehat{xOy}\) و \(\widehat{yOt}\) متكاملتان:
\(\widehat{yOt} = 180^\circ - \widehat{xOy} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)
النتيجة: \(\widehat{yOt} = 110^\circ\)