اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| ليكن العددان \(x = \dfrac{5 + a}{24}\) و \(y = \dfrac{14 + a}{28}\). يكون \(x\) و \(y\) عشريَّين في حالة: | \(a = 4\) | \(a = 7\) | \(a = 0\) |
| نقطة متساوية البعد عن رؤوس المثلّث هي نقطة تقاطع: | الموسّطات | الارتفاعات | المواسط العمودية |
| إذا علمت أنّ \(a\) و \(b\) عددان صحيحان طبيعيان مخالفان للصفر حيث \(\dfrac{a}{4} = \dfrac{b}{6}\) فإنّ: | \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{4}\) | \(\dfrac{a}{6} = \dfrac{b}{4}\) | \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{2}\) |
| الترتيب التصاعدي للأعداد \(-6{,}5\) و \(-6{,}25\) و \(-6{,}15\) هو: | \(-6{,}5 < -6{,}25 < -6{,}15\) | \(-6{,}15 < -6{,}25 < -6{,}5\) | \(-6{,}25 < -6{,}15 < -6{,}5\) |
| \(ABC\) مثلّث متقايس الضلعين في \(A\)، و \((AI)\) منصّف الزاوية \(\widehat{BAC}\)، و \(J\) منتصف \([AB]\). يتقاطع \((AI)\) و \((CJ)\) في \(O\). إذن \(O\) هي: | مركز ثقل المثلّث \(ABC\) | مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\) | المركز القائم للمثلّث \(ABC\) |
القاعدة: كسر (في أبسط صورة) عددٌ عشري إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) فقط. ولدينا \(24 = 2^{3} \times 3\) و \(28 = 2^{2} \times 7\)، فلا بدّ أن يُبسّط العامل \(3\) من مقام \(x\) والعامل \(7\) من مقام \(y\).
نجرّب \(a = 7\):
\(x = \dfrac{5 + 7}{24} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\) ⟵ عشري ✓
\(y = \dfrac{14 + 7}{28} = \dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\) ⟵ عشري ✓
الجواب الصحيح: ب: \(a = 7\)
\(a = 0\): \(x = \dfrac{5}{24}\) والمقام يحتفظ بالعامل \(3\) ⟵ غير عشري. \(a = 4\): \(x = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}\) عشري، لكن \(y = \dfrac{18}{28} = \dfrac{9}{14}\) والمقام \(14 = 2 \times 7\) ⟵ غير عشري. فلا تصلح إلّا \(a = 7\).
خاصّية: كلّ نقطة من الموسط العمودي لقطعة تكون على البعد نفسه من طرفيها. فالنقطة المتساوية البعد عن رؤوس المثلّث تنتمي إلى المواسط العمودية للأضلاع الثلاثة، وهي نقطة تقاطعها.
الجواب الصحيح: ج: المواسط العمودية (وهذه النقطة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث).
الجداء التبادلي: من \(\dfrac{a}{4} = \dfrac{b}{6}\) نحصل على \(6 \times a = 4 \times b\).
نقسم الطرفين على \(a\): \(\dfrac{6 \times a}{a} = \dfrac{4 \times b}{a}\)، ثمّ نرتّب لنحصل على \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\).
الجواب الصحيح: ج: \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{2}\)
الإجابة (أ) \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{4}\) خاطئة لأنّ الصحيح هو \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{4}{6}\)، والإجابة (ب) لا تنتج عن الجداء التبادلي.
القاعدة: بين عددين سالبين، الأبعد عن الصفر هو الأصغر.
نقارن الأجزاء العشرية: \(6{,}5 > 6{,}25 > 6{,}15\)، إذن بأخذ المقابلات (السالبة) ينعكس الترتيب:
\(-6{,}5 < -6{,}25 < -6{,}15\)
الجواب الصحيح: أ: \(-6{,}5 < -6{,}25 < -6{,}15\)
\((AI)\) منصّف الزاوية \(\widehat{BAC}\) في المثلّث المتقايس الضلعين في \(A\)؛ والمنصّف الصادر من الرأس الرئيسي في مثلّث متساوي الساقين هو نفسه المتوسّط الصادر من \(A\) (يمرّ من منتصف \([BC]\)).
و \((CJ)\) متوسّط صادر من \(C\) لأنّ \(J\) منتصف \([AB]\).
إذن \(O\) هي نقطة تقاطع متوسّطين، وهي:
الجواب الصحيح: أ: مركز ثقل المثلّث \(ABC\)
قام مدير مدرسة إعدادية بتقسيم تلاميذ السنوات السابعة أساسي إلى مجموعات جزئية ذات \(65\) تلميذًا أو \(30\) تلميذًا، فيكون الباقي في الحالتين \(10\) تلاميذ.
1) احسب \(\text{ق.م.أ}(30\,;65)\) و \(\text{م.م.أ}(30\,;65)\).
2) جِد، معلّلًا جوابك، عدد هؤلاء التلاميذ إذا علمت أنّه محصور بين \(1100\) و \(1200\).
نفكّك العددين إلى عوامل أوّلية:
\(30 = 2 \times 3 \times 5\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(65 = 5 \times 13\)
القاسم المشترك الأكبر: العامل الأوّلي المشترك الوحيد هو \(5\)، إذن:
\(\text{ق.م.أ}(30\,;65) = 5\)
المضاعف المشترك الأصغر:
\(\text{م.م.أ}(30\,;65) = \dfrac{30 \times 65}{\text{ق.م.أ}} = \dfrac{1950}{5} = 390\)
الجواب: \(\text{ق.م.أ}(30\,;65) = 5\) و \(\text{م.م.أ}(30\,;65) = 390\)
ليكن \(N\) عدد التلاميذ. بما أنّ الباقي هو \(10\) عند التقسيم إلى مجموعات من \(65\) ومن \(30\)، فإنّ العدد \(N - 10\) يقبل القسمة على \(65\) وعلى \(30\) معًا.
إذن \(N - 10\) مضاعف مشترك لـ \(30\) و \(65\)، أي مضاعف لـ \(\text{م.م.أ}(30\,;65) = 390\).
نكتب \(N - 10 = 390 \times k\) حيث \(k\) عدد صحيح طبيعي، أي \(N = 390k + 10\).
نبحث عن \(N\) محصور بين \(1100\) و \(1200\):
- \(k = 2\): \(N = 390 \times 2 + 10 = 780 + 10 = 790\) ⟵ \(<1100\).
- \(k = 3\): \(N = 390 \times 3 + 10 = 1170 + 10 = 1180\) ⟵ \(1100 < 1180 < 1200\) ✓
- \(k = 4\): \(N = 390 \times 4 + 10 = 1560 + 10 = 1570\) ⟵ \(>1200\).
الجواب: عدد التلاميذ هو \(1180\) تلميذًا.
تحقّق: \(1180 = 65 \times 18 + 10\) وأيضًا \(1180 = 30 \times 39 + 10\)، فالباقي في الحالتين \(10\) ✓.
احسب العبارات التالية:
\(a = 25 \times 3^{2} \times 0{,}04 - 9 \times 0{,}5\)
\(b = (37{,}73 - 8) + (13{,}73 - 8)\)
\(c = 5{,}19 \times 73{,}14 + 2{,}686 \times 51{,}9\)
\(d = (16{,}5 - 15{,}631) + 36{,}31 \times 0{,}1\)
\(a = 25 \times 3^{2} \times 0{,}04 - 9 \times 0{,}5\)
\(a = 25 \times 9 \times 0{,}04 - 9 \times 0{,}5\)
\(a = 225 \times 0{,}04 - 4{,}5\)
\(a = 9 - 4{,}5\)
الجواب: \(a = 4{,}5\)
\(b = (37{,}73 - 8) + (13{,}73 - 8)\)
\(b = 29{,}73 + 5{,}73\)
الجواب: \(b = 35{,}46\)
الحيلة: بما أنّ \(51{,}9 = 5{,}19 \times 10\)، فإنّ \(2{,}686 \times 51{,}9 = 2{,}686 \times 10 \times 5{,}19 = 26{,}86 \times 5{,}19\)، فنُخرج العامل المشترك \(5{,}19\).
\(c = 5{,}19 \times 73{,}14 + 5{,}19 \times 26{,}86\)
\(c = 5{,}19 \times (73{,}14 + 26{,}86)\)
\(c = 5{,}19 \times 100\)
الجواب: \(c = 519\)
\(d = (16{,}5 - 15{,}631) + 36{,}31 \times 0{,}1\)
\(d = 0{,}869 + 3{,}631\)
الجواب: \(d = 4{,}5\)
1) أ) ابنِ مثلّثًا \(IBC\) حيث \(BC = 7\,\text{cm}\) و \(\widehat{BCI} = 58^\circ\) و \(\widehat{CBI} = 32^\circ\).
ب) بيّن أنّ \(IBC\) قائم الزاوية.
2) أ) عيّن النقطة \(J\) من القطعة \([BC]\) حيث \(BJ = 2{,}5\,\text{cm}\). ابنِ المستقيم \(\Delta\) المارّ من \(J\) والعمودي على \((BC)\)، والذي يقطع \((CI)\) في \(A\) و \((BI)\) في \(H\).
ب) ماذا تمثّل \(H\) بالنسبة للمثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
ج) بيّن أنّ \((HC) \perp (AB)\).
3) أ) عيّن النقطة \(E\) من القطعة \([AC]\) حيث \(I\) منتصف \([EC]\) و \(K\) منتصف \([EB]\). ابنِ \(\Delta'\) الموسط العمودي لـ \([BC]\)، والذي يقطع \((BI)\) في \(O\).
ب) ماذا يمثّل \(O\) بالنسبة للمثلّث \(EBC\)؟ علّل جوابك.
ج) بيّن أنّ المثلّث \(OKB\) قائم الزاوية.
د) ابنِ الدائرة المحيطة بالمثلّث \(EBC\).
(أ) نرسم القطعة \([BC]\) بطول \(7\,\text{cm}\)، ثمّ نرسم نصف مستقيم من \(B\) يصنع زاوية \(32^\circ\) مع \([BC]\)، ونصف مستقيم من \(C\) يصنع زاوية \(58^\circ\) مع \([BC]\)؛ يتقاطعان في \(I\).
(ب) مجموع زوايا المثلّث \(IBC\) يساوي \(180^\circ\)، إذن:
\(\widehat{BIC} = 180^\circ - \widehat{CBI} - \widehat{BCI} = 180^\circ - 32^\circ - 58^\circ = 90^\circ\)
الاستنتاج: المثلّث \(IBC\) قائم الزاوية في \(I\) ✓
نتأمّل المثلّث \(ABC\) (حيث \(A\) على \((CI)\) و \(H\) على \((BI)\)):
- المستقيم \((\Delta)\) عمودي على \((BC)\) ويمرّ من \(A\) (لأنّ \(A \in \Delta\)) ومن \(H\)، إذن \((AH) \perp (BC)\): فـ \((AH)\) هو الارتفاع الصادر من \(A\) في المثلّث \(ABC\).
- بما أنّ \(\widehat{BIC} = 90^\circ\) فإنّ \((BI) \perp (CI)\). و \(A\) على \((CI)\)، إذن \((BI) \perp (AC)\). وبما أنّ \(H\) على \((BI)\)، فـ \((BH) \perp (AC)\): فـ \((BH)\) هو الارتفاع الصادر من \(B\).
النقطة \(H\) هي تقاطع ارتفاعين، إذن:
الجواب: \(H\) هي المركز القائم للمثلّث \(ABC\) (نقطة تقاطع الارتفاعات) ✓
بما أنّ \(H\) هو المركز القائم للمثلّث \(ABC\)، فهو يقع على الارتفاعات الثلاثة، ومنها الارتفاع الصادر من \(C\).
والارتفاع الصادر من \(C\) عموديّ على الضلع المقابل \([AB]\)، وهو المستقيم \((HC)\)، إذن:
الاستنتاج: \((HC) \perp (AB)\) ✓
ننشئ \(E\) على \([AC]\) بحيث \(I\) منتصف \([EC]\) و \(K\) منتصف \([EB]\)، ثمّ \(\Delta'\) الموسط العمودي لـ \([BC]\) يقطع \((BI)\) في \(O\).
- \(O\) على \(\Delta'\) الموسط العمودي لـ \([BC]\) ⟵ إذن \(OB = OC\).
- لدينا \(\widehat{BIC} = 90^\circ\) أي \((BI) \perp (IC)\)، و \(I\) منتصف \([EC]\) ونقطة من المستقيم \((IC)\)، إذن \((BI)\) عموديّ على \([EC]\) ويمرّ من منتصفها \(I\): فـ \((BI)\) هو الموسط العمودي لـ \([EC]\). وبما أنّ \(O\) على \((BI)\)، فإنّ \(OE = OC\).
- إذن \(OB = OC = OE\): النقطة \(O\) على البعد نفسه من رؤوس المثلّث \(EBC\).
الجواب: \(O\) هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(EBC\) (تقاطع المواسط العمودية) ✓
بما أنّ \(O\) مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(EBC\)، فإنّ \(OE = OB\)، أي \(O\) على البعد نفسه من \(E\) و \(B\)، فهو ينتمي إلى الموسط العمودي لـ \([EB]\).
و \(K\) منتصف \([EB]\)، وهو أيضًا على الموسط العمودي لـ \([EB]\). إذن المستقيم \((OK)\) هو الموسط العمودي لـ \([EB]\)، ومنه \((OK) \perp (EB)\)، أي \((OK) \perp (KB)\).
الاستنتاج: المثلّث \(OKB\) قائم الزاوية في \(K\) ✓
مركز الدائرة المحيطة هو \(O\) (من السؤال 3(ب))، وشعاعها هو البعد المشترك \(OB = OC = OE\).
نضع رأس الفرجار في \(O\) ونفتحه بمقدار \([OB]\)، ثمّ نرسم الدائرة؛ فتمرّ من الرؤوس الثلاثة \(E\) و \(B\) و \(C\).
يُنجز هذا الإنشاء على الرسم الموجود على ورقة الفرض بالرجوع إلى موضع \(O\) المحدَّد سابقًا.