اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات المقترحة لكلّ سؤال.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| علمًا أنّ \(728 = 56 \times 13\)، فإنّ \(7{,}280\) تساوي: | \(0{,}1 \times 13 \times 56\) | \(0{,}13 \times 5{,}6\) | \(1{,}3 \times 5{,}6\) |
| \(\text{م.م.أ}\,(75\,;15\,;20)\) يساوي: | \(75 \times 15 \times 20\) | \(5^{2} \times 2^{2} \times 3\) | \(2 \times 3 \times 5\) |
| تمثّل النقاط \(K\) و \(L\) و \(M\) رؤوسًا لمثلّث إذا كان: | \(KL = 13{,}4\,\text{cm}\) \(LM = 10{,}6\,\text{cm}\) \(KM = 8{,}1\,\text{cm}\) |
\(\widehat{KLM} = 60^\circ\) \(LM = 7\,\text{cm}\) \(\widehat{KML} = 120^\circ\) |
\(KL = 9{,}6\,\text{cm}\) \(LM = 1{,}3\,\text{cm}\) \(KM = 7{,}3\,\text{cm}\) |
| تتقاطع منصّفات زوايا المثلّث في: | مركزه القائم | مركز الدّائرة المحاطة به | مركز الدّائرة المحيطة به |
| أنا عدد عشري جزئي العشري متكوّن من ثلاثة أرقام، عدد أجزائي من الأعشار هو \(6813\)، ورقم أجزائي من المائة يساوي نصف رقم عشراتي، ورقم أجزائي من الألف عدد أوّلي زوجي. فمن أكون؟ | \(6{,}813\) | \(681{,}342\) | \(68{,}134\) |
ننطلق من \(56 \times 13 = 728\). نختبر الإجابة (ج):
\(1{,}3 \times 5{,}6 = 13 \times 56 \times 0{,}01 = 728 \times 0{,}01 = 7{,}28\)
الجواب الصحيح: ج: \(1{,}3 \times 5{,}6\)
(أ) \(0{,}1 \times 13 \times 56 = 0{,}1 \times 728 = 72{,}8\) خاطئة، و(ب) \(0{,}13 \times 5{,}6 = 0{,}728\) خاطئة.
\(75 = 3 \times 5^{2}\)، \(15 = 3 \times 5\)، \(20 = 2^{2} \times 5\).
نأخذ كلّ عامل أوّلي بأكبر أُسّ: العامل \(2\) بأُسّ \(2\)، والعامل \(3\) بأُسّ \(1\)، والعامل \(5\) بأُسّ \(2\):
\(\text{م.م.أ} = 2^{2} \times 3 \times 5^{2} = 5^{2} \times 2^{2} \times 3 = 300\)
الجواب الصحيح: ب: \(5^{2} \times 2^{2} \times 3\)
المتفاوتة المثلثية: توجد المثلّث إذا وفقط إذا كان أكبر ضلع أصغر تمامًا من مجموع الضلعين الآخرين.
- (أ) \(13{,}4\) و \(10{,}6\) و \(8{,}1\): الضلع الأكبر \(13{,}4\)، و \(10{,}6 + 8{,}1 = 18{,}7\)؛ بما أنّ \(13{,}4 < 18{,}7\) ⟵ مثلّث موجود ✓
- (ج) \(9{,}6\) و \(1{,}3\) و \(7{,}3\): الضلع الأكبر \(9{,}6\)، و \(1{,}3 + 7{,}3 = 8{,}6\)؛ بما أنّ \(9{,}6 > 8{,}6\) ⟵ لا مثلّث.
- (ب) تعطي زاويتين \(60^\circ\) و \(120^\circ\) ومجموعهما \(180^\circ\) ⟵ مستحيل (مجموع زوايا المثلّث \(180^\circ\) فلا تبقى زاوية ثالثة).
الجواب الصحيح: أ: \(KL = 13{,}4\,;\ LM = 10{,}6\,;\ KM = 8{,}1\)
منصّفات زوايا المثلّث الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة على البعد نفسه من أضلاع المثلّث، وهي مركز الدّائرة المحاطة بالمثلّث (الدّائرة الداخلية المماسّة للأضلاع).
الجواب الصحيح: ب: مركز الدّائرة المحاطة به
مركز الدّائرة المحيطة هو تقاطع المواسط العمودية، لا المنصّفات.
نختبر الشروط على العدد \(681{,}342\):
- ثلاثة أرقام عشرية: \(342\) ⟵ ثلاثة أرقام ✓
- عدد أجزائه من الأعشار \(= 6813\): عدد الأعشار في \(681{,}342\) هو \(6813\) (لأنّ \(681{,}342 = 6813{,}42\) عُشرًا) ✓
- رقم المائة \(=\) نصف رقم العشرات: رقم العشرات هو \(8\) ونصفه \(4\)، ورقم أجزاء المائة (المرتبة الثانية بعد الفاصلة) هو \(4\) ✓
- رقم الألف عدد أوّلي زوجي: العدد الأوّلي الزوجي الوحيد هو \(2\)، ورقم أجزاء الألف هو \(2\) ✓
الجواب الصحيح: ب: \(681{,}342\)
1) أكمل النقاط بالعدد الصحيح الطبيعي المناسب:
\(\dfrac{27}{36} = \dfrac{21}{\ldots\ldots}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(\dfrac{2}{25} = \dfrac{\ldots\ldots}{10^{3}}\)
2) لتكن الأعداد الكسرية \(x\) و \(y\) و \(z\) حيث:
\(x = \dfrac{84}{225}\) \(\qquad\) \(y = \dfrac{35 \times 15 - 2 \times 35}{5 \times 52}\) \(\qquad\) \(z = \dfrac{18}{150}\)
أ- اختزل إلى أقصى حدّ الأعداد \(x\) و \(y\) و \(z\) مع ذكر مراحل الاختزال.
ب- من بين الأعداد \(x\) و \(y\) و \(z\) يوجد عددان كسريان عشريان. اذكرهما مع تعليل الجواب، ثمّ اكتب كلًّا منهما في صيغة \(\dfrac{a}{10^{n}}\) حيث \(a\) و \(n\) عددان صحيحان طبيعيان.
3) رتّب تصاعديًّا الأعداد الكسرية \(x\) و \(y\) و \(z\).
(أ) \(\dfrac{27}{36} = \dfrac{21}{\ldots}\):
نبسّط \(\dfrac{27}{36}\): بما أنّ \(27 = 9 \times 3\) و \(36 = 9 \times 4\)، فإنّ \(\dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4}\).
نبحث عن \(\square\) حيث \(\dfrac{21}{\square} = \dfrac{3}{4}\). وبما أنّ \(21 = 3 \times 7\)، نضرب البسط والمقام في \(7\): \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 7}{4 \times 7} = \dfrac{21}{28}\).
الجواب: \(\dfrac{27}{36} = \dfrac{21}{28}\)
(ب) \(\dfrac{2}{25} = \dfrac{\ldots}{10^{3}}\):
\(10^{3} = 1000\)، و \(1000 = 25 \times 40\)، إذن نضرب البسط والمقام في \(40\):
\(\dfrac{2}{25} = \dfrac{2 \times 40}{25 \times 40} = \dfrac{80}{1000} = \dfrac{80}{10^{3}}\)
الجواب: \(\dfrac{2}{25} = \dfrac{80}{10^{3}}\)
اختزال \(x = \dfrac{84}{225}\):
\(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\) و \(225 = 3^{2} \times 5^{2}\)، العامل المشترك \(3\):
\(x = \dfrac{84 : 3}{225 : 3} = \dfrac{28}{75}\)
اختزال \(y = \dfrac{35 \times 15 - 2 \times 35}{5 \times 52}\):
البسط: نُخرج العامل المشترك \(35\): \(35 \times 15 - 2 \times 35 = 35(15 - 2) = 35 \times 13 = 455\).
المقام: \(5 \times 52 = 260\). إذن \(y = \dfrac{455}{260}\).
\(455 = 5 \times 7 \times 13\) و \(260 = 2^{2} \times 5 \times 13\)، العامل المشترك \(5 \times 13 = 65\):
\(y = \dfrac{455 : 65}{260 : 65} = \dfrac{7}{4}\)
اختزال \(z = \dfrac{18}{150}\):
\(18 = 2 \times 3^{2}\) و \(150 = 2 \times 3 \times 5^{2}\)، العامل المشترك \(2 \times 3 = 6\):
\(z = \dfrac{18 : 6}{150 : 6} = \dfrac{3}{25}\)
القاعدة: كسر في أبسط صورة يكون عددًا عشريًّا إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) فقط.
- \(x = \dfrac{28}{75}\)، والمقام \(75 = 3 \times 5^{2}\) يحتوي على العامل \(3\) ⟵ \(x\) عدد غير عشري.
- \(y = \dfrac{7}{4}\)، والمقام \(4 = 2^{2}\) من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) ⟵ \(y\) عدد عشري.
- \(z = \dfrac{3}{25}\)، والمقام \(25 = 5^{2}\) من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) ⟵ \(z\) عدد عشري.
العددان العشريان هما \(y\) و \(z\).
كتابة \(y\) في صيغة \(\dfrac{a}{10^{n}}\): نضرب البسط والمقام في \(25\) لنجعل المقام \(100\):
\(y = \dfrac{7 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{175}{100} = \dfrac{175}{10^{2}}\) \(\quad\) (أي \(a = 175\) و \(n = 2\)).
كتابة \(z\) في صيغة \(\dfrac{a}{10^{n}}\): نضرب البسط والمقام في \(4\):
\(z = \dfrac{3 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{12}{100} = \dfrac{12}{10^{2}}\) \(\quad\) (أي \(a = 12\) و \(n = 2\)).
نستعمل الصور المختزلة وقيمها العشرية:
- \(x = \dfrac{28}{75} \approx 0{,}37\)
- \(y = \dfrac{7}{4} = 1{,}75\)
- \(z = \dfrac{3}{25} = 0{,}12\)
نلاحظ أنّ \(z\) و \(x\) أصغر من الواحد بينما \(y\) أكبر من الواحد، و \(z < x\) لأنّ \(0{,}12 < 0{,}37\). إذن الترتيب التصاعدي:
الجواب: \(z < x < y\) \(\quad\) أي \(\dfrac{3}{25} < \dfrac{28}{75} < \dfrac{7}{4}\).
نعتبر التّمثيل التّالي حيث \((OI)\) محور الفواصل و \((OJ)\) محور الترتيبات وحيث \((OJ) \perp (OI)\) (انظر الرسم على ورقة الفرض).
1) حدّد إحداثيات النّقطة \(A\): \(\quad A(\ldots\,;\ldots)\).
2) لتكن النّقطة \(E\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((OI)\). حدّد إحداثيات النّقطة \(E\): \(\quad E(\ldots\,;\ldots)\).
3) ابن النّقطة \(B\) مناظرة \(A\) بالنّسبة إلى المستقيم \((OJ)\).
أ- حدّد إحداثيات النّقطة \(B\): \(\quad B(\ldots\,;\ldots)\).
ب- ما هي طبيعة المثلّث \(JAB\)؟ علّل جوابك.
نقرأ من الرسم موضع \(A\) على الشبكة: الفاصلة على محور الفواصل ثمّ الأردة على محور الترتيبات.
حسب الرسم: \(A(-4\,;3)\).
القراءة تُؤخذ مباشرةً من الشبكة على ورقة الفرض؛ نتحقّق دائمًا من الموضع بصريًّا.
\(E\) هي قدم العمود النازل من \(A\) على محور الفواصل \((OI)\)؛ فهي واقعة على \((OI)\).
نقرأ موضعها من الرسم على الشبكة: \(E(-4\,;0)\) (كلّ نقطة من محور الفواصل أردتها \(0\)).
نقرأ فاصلة \(E\) من الرسم على العمود المارّ من \(A\).
\(B\) مناظرة \(A\) بالنّسبة إلى المستقيم \((OJ)\): نُنشئها بالتناظر المحوري حول \((OJ)\) (بالكوس أو بالطيّ).
ثمّ نقرأ إحداثياتها من الشبكة على الرسم: \(B(4\,;3)\).
هذه القراءة بصرية من الرسم بعد الإنشاء؛ لا نجري أيّ حساب على الإحداثيات.
النّقطة \(J\) واقعة على المستقيم \((OJ)\) وهو محور التناظر الذي يحوّل \(A\) إلى \(B\).
خاصّية: التناظر المحوري بالنّسبة إلى \((OJ)\) يحفظ الأطوال، وكلّ نقطة من المحور تبقى ثابتة بهذا التناظر. وبما أنّ \(J\) على المحور \((OJ)\)، فإنّ التناظر يحوّل \(A \mapsto B\) و \(J \mapsto J\)، ومنه \(JA = JB\).
إذن المثلّث \(JAB\) له ضلعان متقايسان \(JA = JB\)، ومنه:
الاستنتاج: المثلّث \(JAB\) متساوي الساقين رأسه \(J\) ✓
لاحظ الشكل المقابل حيث \(ABC\) مثلّث متقايس الضلعين قمّته الرئيسية \(A\)، وحيث \(\widehat{BAC} = 70^\circ\) و \(AB = 8\,\text{cm}\) (انظر الرسم على ورقة الفرض).
1) احسب \(\widehat{ABC}\).
2) أ- ابن \(I\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\).
ب- بيّن أنّ \(I\) منتصف \([BC]\).
3) لتكن \(M\) منتصف \([AB]\). احسب \(MI\) ثمّ استنتج طبيعة المثلّث \(MAI\)، معلّلًا جوابك.
4) نعيّن \(O\) منتصف \([AI]\). بيّن أنّ \((OM)\) هو الموسط العمودي لـ \([AI]\).
5) أ- ابن \(IK\) ارتفاع المثلّث \(IMB\) الصادر من \(I\) والموافق للضلع \([MB]\).
ب- \((IK)\) و \((OM)\) يتقاطعان في \(H\). ماذا تمثّل النّقطة \(H\) بالنّسبة إلى المثلّث \(IAM\)؟ علّل جوابك.
ج- استنتج أنّ \((AH) \perp (IM)\).
في المثلّث \(ABC\) المتساوي الساقين رأسه \(A\): زاويتا القاعدة متقايستان، أي \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\)، ومجموع الزوايا \(180^\circ\).
\(\widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180^\circ\)
\(2 \times \widehat{ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)
\(\widehat{ABC} = \dfrac{110^\circ}{2} = 55^\circ\)
الجواب: \(\widehat{ABC} = 55^\circ\)
(أ) \(I\) هي قدم العمود النازل من \(A\) على \((BC)\)، أي \(I \in (BC)\) و \((AI) \perp (BC)\).
(ب) لماذا \(I\) منتصف \([BC]\):
في المثلّث المتساوي الساقين، الارتفاع الصادر من القمّة الرئيسية \(A\) هو نفسه المتوسّط النازل إلى القاعدة \([BC]\).
وبما أنّ \([AI]\) هو الارتفاع الصادر من \(A\) نحو \((BC)\)، فهو المتوسّط، ومنه يمرّ من منتصف \([BC]\).
الاستنتاج: \(I\) منتصف \([BC]\) ✓
بما أنّ \((AI) \perp (BC)\)، فإنّ المثلّث \(AIB\) قائم في \(I\)، ووتره هو \([AB]\).
خاصّية: في مثلّث قائم، المسافة من منتصف الوتر إلى كلّ من الرؤوس الثلاثة متساوية وتساوي نصف الوتر.
\(M\) منتصف الوتر \([AB]\)، إذن \(MI = MA = MB = \dfrac{AB}{2}\).
\(MI = \dfrac{8}{2} = 4\,\text{cm}\)
طبيعة المثلّث \(MAI\): بما أنّ \(MA = MI = 4\,\text{cm}\)، فإنّ:
الاستنتاج: المثلّث \(MAI\) متساوي الساقين رأسه \(M\) ✓
خاصّية الموسط العمودي: إذا كانت نقطة على البعد نفسه من طرفي قطعة فهي تنتمي إلى موسطها العمودي؛ والموسط العمودي يمرّ من منتصف القطعة عموديًّا عليها.
- \(M\) على البعد نفسه من \(A\) و \(I\) لأنّ \(MA = MI\) (السؤال 3) ⟵ إذن \(M\) على الموسط العمودي لـ \([AI]\).
- \(O\) منتصف \([AI]\) ⟵ إذن \(O\) على الموسط العمودي لـ \([AI]\).
المستقيم المارّ من النّقطتين \(O\) و \(M\) هو إذن الموسط العمودي لـ \([AI]\).
الاستنتاج: \((OM)\) هو الموسط العمودي لـ \([AI]\) ✓، وبالخصوص \((OM) \perp (AI)\).
(أ) \(IK\) ارتفاع المثلّث \(IMB\) الصادر من \(I\) والموافق للضلع \([MB]\): نُنشئه فيكون \((IK) \perp (MB)\).
(ب) ماذا تمثّل \(H\) للمثلّث \(IAM\): النّقاط \(A\) و \(M\) و \(B\) على استقامة واحدة (لأنّ \(M\) منتصف \([AB]\))، إذن المستقيم \((MB)\) هو نفسه المستقيم \((AM)\).
- \((IK) \perp (MB)\)، أي \((IK) \perp (AM)\)، والمستقيم \((IK)\) يمرّ من الرأس \(I\) ⟵ فـ \((IK)\) هو الارتفاع الصادر من \(I\) في المثلّث \(IAM\) (العمودي على الضلع \([AM]\)).
- \((OM) \perp (AI)\) (السؤال 4)، والمستقيم \((OM)\) يمرّ من الرأس \(M\) ⟵ فـ \((OM)\) هو الارتفاع الصادر من \(M\) في المثلّث \(IAM\) (العمودي على الضلع \([AI]\)).
إذن \(H = (IK) \cap (OM)\) هو تقاطع ارتفاعين للمثلّث \(IAM\).
الاستنتاج: \(H\) هو مركز تعامد المثلّث \(IAM\) (نقطة تقاطع الارتفاعات).
مركز التعامد هو النّقطة التي تلتقي فيها الارتفاعات الثلاثة للمثلّث.
(ج) استنتاج أنّ \((AH) \perp (IM)\):
بما أنّ \(H\) مركز تعامد المثلّث \(IAM\)، فإنّ الارتفاع الثالث للمثلّث الصادر من الرأس \(A\) يمرّ كذلك من \(H\)، أي \((AH)\) هو الارتفاع الصادر من \(A\).
والارتفاع الصادر من \(A\) عموديّ على الضلع المقابل \([IM]\)، ومنه:
الاستنتاج: \((AH) \perp (IM)\) ✓