فرض مراقبة عدد 4

بما أنّ \(91 = 7 \times 13\)، فإنّ:

\(a = 2^{2} \times 91 = 2^{2} \times 7 \times 13\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(b = 2^{3} \times 7\)

نأخذ كلّ عامل أوّلي بأكبر أُسّ: العامل \(2\) بأُسّ \(3\) (من \(b\))، والعامل \(7\) بأُسّ \(1\)، والعامل \(13\) بأُسّ \(1\):

\(\text{م.م.أ}(a\,;b) = 2^{3} \times 7 \times 13\)

الجواب الصحيح: ج: \(2^{3} \times 7 \times 13\)

\(x = 3{,}07\) عُشره \(= 0\)، و \(y = 3{,}007\) عُشره \(= 0\)، و \(z = 3{,}1\) عُشره \(= 1\).

إذن \(z\) هو الأكبر. ونقارن \(x\) و \(y\): بكتابة \(x = 3{,}070\) و \(y = 3{,}007\)، وبما أنّ \(070 > 007\) فإنّ \(y < x\).

الترتيب التصاعدي: \(y < x < z\).

الجواب الصحيح: ب: \(y < x < z\)

نقدّر رتبة الناتج: \(2{,}35 \times 3{,}1234 \approx 2{,}3 \times 3{,}1 \approx 7{,}3\)، فالجزء الصحيح قريب من \(7\).

الإجابة التي جزؤها الصحيح \(7\) وتحمل \(6\) أرقام بعد الفاصلة هي \(7{,}339999\).

الجواب الصحيح: ج: \(7{,}339999\)

للمثلّث المتقايس الأضلاع ثلاثة محاور تناظر، كلّ محور منها هو الموسط العمودي لضلع (وهو أيضًا منصّف الزاوية المقابلة له).

الجواب الصحيح: أ: له 3 محاور تناظر

في المثلّث \(ABC\): مجموع الزوايا \(= 180^\circ\)، إذن \(\widehat{A} = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ\).

فالمثلّث \(ABC\) قائم في \(A\)، ومركز دائرته المحيطة \(I\) هو منتصف الوتر \([BC]\). المثلّث \(IAC\) متساوي الساقين (\(IA = IC\))، فزاويتاه عند القاعدة متساويتان: \(\widehat{IAC} = \widehat{ICA} = \widehat{C} = 30^\circ\).

الجواب الصحيح: ب: \(\widehat{IAC} = 30^\circ\)

(أ) \(\dfrac{21}{6} = \dfrac{49}{\ldots}\):

نبسّط أوّلًا \(\dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}\) (بالقسمة على \(3\)). ونبحث عن المقام \(\square\) حيث \(\dfrac{49}{\square} = \dfrac{7}{2}\). وبما أنّ \(49 = 7 \times 7\)، نضرب البسط والمقام في \(7\):

\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{7 \times 7}{2 \times 7} = \dfrac{49}{14}\)

الجواب: \(\dfrac{21}{6} = \dfrac{49}{14}\)

---

(ب) \(88{,}88 - (\square - 11{,}12) = 88\):

يجب أن يكون \(\square - 11{,}12 = 88{,}88 - 88 = 0{,}88\).

إذن \(\square = 0{,}88 + 11{,}12 = 12\).

الجواب: \(88{,}88 - (12 - 11{,}12) = 88\)

---

(ج) \(3500700 = 35{,}0070 \times 10^{\ldots}\):

ننقل الفاصلة في \(35{,}0070\) نحو اليمين حتّى نحصل على \(3500700\)؛ عدد المراتب المُزاحة هو \(5\).

\(3500700 = 35{,}0070 \times 10^{5}\)

الجواب: \(3500700 = 35{,}0070 \times 10^{5}\)

(أ) \(\dfrac{36}{21}\) و \(\dfrac{62}{35}\) — بالجداء التبادلي (المقامان موجبان):

\(36 \times 35 = 1260\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(21 \times 62 = 1302\)

بما أنّ \(1260 < 1302\)، فإنّ \(\dfrac{36}{21} < \dfrac{62}{35}\).

---

(ب) \(\dfrac{13}{17}\) و \(\dfrac{39}{50}\) — نوحّد البسط: \(\dfrac{13}{17} = \dfrac{13 \times 3}{17 \times 3} = \dfrac{39}{51}\).

نقارن \(\dfrac{39}{51}\) و \(\dfrac{39}{50}\): البسطان متساويان، والكسر ذو المقام الأصغر أكبر. وبما أنّ \(50 < 51\) فإنّ \(\dfrac{39}{50} > \dfrac{39}{51}\)، أي \(\dfrac{13}{17} < \dfrac{39}{50}\).

---

(ج) \(\dfrac{69}{79}\) و \(\dfrac{379}{369}\) — نقارن كلّ كسر بالواحد:

\(\dfrac{69}{79} < 1\) (البسط أصغر من المقام)، و \(\dfrac{379}{369} > 1\) (البسط أكبر من المقام).

الجواب: \(\dfrac{69}{79} < \dfrac{379}{369}\)

حساب \(x\): نخرج العامل المشترك \(17\) في البسط والمقام:

\(17 \times 51 - 17 \times 11 = 17(51 - 11) = 17 \times 40\)

\(17 \times 66 + 17 \times 9 = 17(66 + 9) = 17 \times 75\)

\(x = \dfrac{17 \times 40}{17 \times 75} = \dfrac{40}{75}\)

نختزل بالقسمة على \(5\): \(\dfrac{40}{75} = \dfrac{8}{15}\).

الجواب: \(x = \dfrac{8}{15}\)

---

حساب \(y\): \(y = \dfrac{91}{175}\). نفكّك: \(91 = 7 \times 13\) و \(175 = 5^{2} \times 7\)، والعامل المشترك \(7\):

\(y = \dfrac{7 \times 13}{5^{2} \times 7} = \dfrac{13}{25}\)

الجواب: \(y = \dfrac{13}{25}\)

مقام \(x = \dfrac{8}{15}\) هو \(15 = 3 \times 5\)، وفيه العامل \(3\)، فهو ليس من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\)؛ إذن \(x\) ليس عددًا عشريًّا.

مقام \(y = \dfrac{13}{25}\) هو \(25 = 5^{2}\)، وهو من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\)؛ إذن \(y\) عدد كسري عشري.

نكتب \(y\) بمقام قوّة للعدد \(10\): نضرب البسط والمقام في \(4\):

\(y = \dfrac{13 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{52}{100} = \dfrac{52}{10^{2}}\)

كتابته العشرية: \(y = 0{,}52\).

نضع \(I\) على \([AB]\) حيث \(AI = 3\,\text{cm}\)، ثمّ نبني \((\Delta)\) المارّ من \(I\) والعمودي على \((AB)\) (بالكوس). نرسم نصف المستقيم الصادر من \(A\) الذي يصنع زاوية \(60^\circ\) مع \([AB]\)، فيقطع \((\Delta)\) في النقطة \(C\).

المثلّث \(AIC\) قائم في \(I\) (لأنّ \((\Delta) \perp (AB)\))، وزاويته عند \(A\) هي \(\widehat{IAC} = \widehat{BAC} = 60^\circ\).

إذن: \(\widehat{ACI} = 90^\circ - \widehat{IAC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

الجواب: \(\widehat{ACI} = 30^\circ\)

• \((AJ) \perp (BC)\) (لأنّ \(J\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\)) ⟵ إذن \((AJ)\) ارتفاع المثلّث \(ABC\) الصادر من \(A\).
• \((CI) \perp (AB)\) (لأنّ \((\Delta) = (CI)\) عمودي على \((AB)\) ويمرّ من \(C\)) ⟵ إذن \((CI)\) ارتفاع المثلّث \(ABC\) الصادر من \(C\).
• \(H\) هي نقطة تقاطع هذين الارتفاعين.

الاستنتاج: \(H\) هي المركز القائم للمثلّث \(ABC\) (نقطة تلاقي الارتفاعات).

بما أنّ \(H\) هو المركز القائم للمثلّث \(ABC\)، فإنّ المستقيم \((BH)\) يحمل الارتفاع الثالث الصادر من الرأس \(B\).

والارتفاع الصادر من \(B\) عموديّ على الضلع المقابل \([AC]\)، إذن:

الاستنتاج: \((BH) \perp (AC)\) ✓

نبحث عن ارتفاعات المثلّث \(ACH\):

• \((HB) \perp (AC)\) (من السؤال السابق)، والمستقيم \((HB)\) يمرّ من الرأس \(H\) ⟵ إذن \((HB)\) ارتفاع المثلّث \(ACH\) الصادر من \(H\).
• \((CH) \perp (AB)\) (لأنّ \(H\) على \((CI)\) و \((CI) \perp (AB)\))، فالضلع \([CH]\) عموديّ على \((AB)\)؛ إذن المستقيم \((AB)\) هو ارتفاع المثلّث \(ACH\) الصادر من الرأس \(A\).
• \((AH) \perp (BC)\) (لأنّ \(H\) على \((AJ)\) و \((AJ) \perp (BC)\))، فالضلع \([AH]\) عموديّ على \((BC)\)؛ إذن المستقيم \((BC)\) هو ارتفاع المثلّث \(ACH\) الصادر من الرأس \(C\).

ارتفاعات المثلّث \(ACH\) الثلاثة \((HB)\) و \((AB)\) و \((BC)\) تتلاقى كلّها في النقطة \(B\).

الاستنتاج: المركز القائم للمثلّث \(ACH\) هو النقطة \(B\).

• \(O\) مركز الدائرة المحيطة ⟵ \(OM = ON = OP\) (أشعّة الدائرة المحيطة)، و \(O\) على المواسط العمودية للأضلاع.
• \(G\) مركز الثقل ⟵ يقع على المتوسّطات الثلاثة، وكلّ متوسّط يصل رأسًا بمنتصف الضلع المقابل.

• 1) نرسم الدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها \(O\) وتمرّ من \(M\) (نصف قطرها \(OM\))؛ بما أنّ \(OM = ON\) فهي تمرّ كذلك من \(N\)، ويقع عليها الرأس المجهول \(P\).
• 2) نرسم المستقيم \((MG)\)؛ فهو يحمل المتوسّط الصادر من \(M\) (لأنّ \(G\) على المتوسّطات)، وهو يمرّ من منتصف \([NP]\).
• 3) نعيّن على \((MG)\) منتصف \([NP]\) — نسمّه \(A'\) — باستعمال خاصّية مركز الثقل: \(MG = \dfrac{2}{3}\,MA'\)، أي \(A'\) بحيث \(MA' = \dfrac{3}{2}\,MG\).
• 4) النقطة \(P\) هي مناظرة \(N\) بالنسبة إلى النقطة \(A'\) (لأنّ \(A'\) منتصف \([NP]\))؛ نصل \(N\) بـ \(A'\) ونمدّ بنفس الطول \(NA' = A'P\)، مع التحقّق من وقوع \(P\) على الدائرة \((\mathcal{C})\).
• 5) نصل \(M\) و \(N\) و \(P\) فنحصل على المثلّث \(MNP\) المطلوب.