اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية. لكلّ سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة؛ حدّد هذه الإجابة بوضعها في دائرة.
| المعطيات | أ | ب | ج |
|---|---|---|---|
| ترتيب الأعداد \(-7{,}3\) و \(3\) و \(-7\) و \(0\) و \(3{,}4\) تصاعديًّا هو: | \(-7 < -7{,}3 < 0 < 3 < 3{,}4\) | \(-7{,}3 < -7 < 0 < 3 < 3{,}4\) | \(-7{,}3 < -7 < 0 < 3{,}4 < 3\) |
| في المستقيم المدرّج أسفله، \(3{,}5\) تمثّل فاصلة النقطة \(A\) في المعيّن: \(+\!+\!+\; O \;\; J \;\; I \;+\!+\!+\!+\; A \;+\!+\!+\) |
\((O\,;I)\) | \((O\,;J)\) | \((J\,;I)\) |
| إذا علمت أنّ \(AB = 35\,\text{m}\) و \(AC = 19\,\text{m}\) فإنّ النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) تمثّل رؤوسًا لمثلّث في حالة: | \(BC = 16\,\text{m}\) | \(BC = 38\,\text{m}\) | \(BC = 55\,\text{m}\) |
القاعدة: العدد السالب الأبعد عن الصفر هو الأصغر، وكلّ عدد سالب أصغر من الصفر، وكلّ عدد موجب أكبر من الصفر.
نقارن: \(-7{,}3\) و \(-7\): بما أنّ \(7{,}3 > 7\) فإنّ \(-7{,}3 < -7\).
وأمّا الموجبان: \(3 < 3{,}4\).
إذن الترتيب التصاعدي هو:
\(-7{,}3 < -7 < 0 < 3 < 3{,}4\)
الجواب الصحيح: ب
الإجابة (أ) خاطئة لأنّها اعتبرت \(-7 < -7{,}3\)، والإجابة (ج) خاطئة لأنّها رتّبت \(3{,}4\) قبل \(3\).
تذكير: فاصلة نقطة تتعلّق بـ مبدأ المعيّن ووحدته. في المعيّن \((O\,;I)\) الوحدة هي \(OI\) والمبدأ \(O\)؛ وفي \((J\,;I)\) المبدأ هو \(J\) والوحدة \(JI\).
بقراءة تدريج المستقيم أعلاه، تكون فاصلة \(A\) مساوية لـ \(3{,}5\) عندما نعتمد المبدأ \(J\) والوحدة \(JI\).
الجواب الصحيح: ج: \((J\,;I)\)
ملاحظة: هذا السؤال يُقرأ مباشرة من التدريج المرسوم على ورقة الفرض؛ العدّ يبدأ من المبدأ المختار باتّجاه \(I\).
القاعدة (المتفاوتة المثلثية): توجد النقاط \(A,B,C\) رؤوسًا لمثلّث إذا وفقط إذا كان الضلع الأكبر أصغر من مجموع الضلعين الآخرين، أي:
\(|AB - AC| < BC < AB + AC\)
عندنا: \(AB = 35\) و \(AC = 19\)، إذن:
\(35 - 19 < BC < 35 + 19\)
\(16 < BC < 54\)
نختبر الإجابات:
- \(BC = 16\): مساواة حدّية \(16 = 35 - 19\) ⟵ النقاط في استقامة (لا مثلّث).
- \(BC = 38\): \(16 < 38 < 54\) ⟵ مثلّث موجود ✓
- \(BC = 55\): \(55 > 54\) ⟵ مستحيل (لا مثلّث).
الجواب الصحيح: ب: \(BC = 38\,\text{m}\)
1) أكمل بما يناسب:
\(\dfrac{91}{52} = \dfrac{21}{\ldots\ldots}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(7 \times \ldots\ldots = 11\)
2) أ- بيّن أنّ \(x\) هو عدد عشري وأنّ \(y\) هو عدد غير عشري حيث:
\(x = \dfrac{7 \times 40 - 7 \times 26}{25 \times 49}\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(y = \dfrac{168}{156}\)
ب- اكتب العدد العشري \(x\) في صورة \(\dfrac{a}{10^{n}}\) (حيث \(a\) و \(n\) عددان صحيحان طبيعيان).
3) قارن العددين في كلّ من الحالتين التاليتين:
أ- \(\dfrac{2022}{2023}\) و \(\dfrac{41}{29}\) \(\qquad\qquad\) ب- \(\dfrac{8}{11}\) و \(\dfrac{48}{67}\)
(أ) \(\dfrac{91}{52} = \dfrac{21}{\ldots}\)
نبسّط \(\dfrac{91}{52}\): بما أنّ \(91 = 7 \times 13\) و \(52 = 4 \times 13\)، فإنّ \(\dfrac{91}{52} = \dfrac{7}{4}\).
نبحث عن \(\square\) حيث \(\dfrac{21}{\square} = \dfrac{7}{4}\). وبما أنّ \(21 = 7 \times 3\)، نضرب البسط والمقام في \(3\):
\(\dfrac{7}{4} = \dfrac{7 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{21}{12}\)
الجواب: \(\dfrac{91}{52} = \dfrac{21}{12}\)
(ب) \(7 \times \ldots = 11\)
نبحث عن العدد الذي إذا ضربناه في \(7\) نحصل على \(11\):
\(7 \times \square = 11 \;\Longrightarrow\; \square = \dfrac{11}{7}\)
الجواب: \(7 \times \dfrac{11}{7} = 11\)
حساب \(x\):
نخرج العامل المشترك \(7\) في البسط:
\(7 \times 40 - 7 \times 26 = 7(40 - 26) = 7 \times 14 = 98\)
والمقام: \(25 \times 49 = 1225\). إذن:
\(x = \dfrac{98}{1225}\)
نبسّط: \(98 = 2 \times 7^{2}\) و \(1225 = 5^{2} \times 7^{2}\)، إذن:
\(x = \dfrac{2 \times 7^{2}}{5^{2} \times 7^{2}} = \dfrac{2}{25}\)
القاعدة: كسر (في أبسط صورة) يكون عددًا عشريًّا إذا كان مقامه من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\) فقط.
مقام \(x\) هو \(25 = 5^{2}\)، إذن \(x\) عدد عشري، وقيمته \(x = \dfrac{2}{25} = 0{,}08\).
حساب \(y\):
\(y = \dfrac{168}{156}\). نبسّط بالقاسم المشترك الأكبر: \(168 = 2^{3} \times 3 \times 7\) و \(156 = 2^{2} \times 3 \times 13\)، والقاسم المشترك الأكبر \(= 2^{2} \times 3 = 12\).
\(y = \dfrac{168 : 12}{156 : 12} = \dfrac{14}{13}\)
مقام \(y\) في أبسط صورة هو \(13\) وهو ليس من الشكل \(2^{p} \times 5^{q}\)، إذن \(y\) عدد غير عشري.
\(x = \dfrac{2}{25}\). نضرب البسط والمقام في \(4\) لنحصل على مقام قوّة للعدد \(10\):
\(x = \dfrac{2 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{8}{100} = \dfrac{8}{10^{2}}\)
الجواب: \(x = \dfrac{8}{10^{2}}\) أي \(a = 8\) و \(n = 2\).
(أ) \(\dfrac{2022}{2023}\) و \(\dfrac{41}{29}\)
\(\dfrac{2022}{2023} < 1\) (البسط أصغر من المقام)، و \(\dfrac{41}{29} > 1\) (البسط أكبر من المقام).
الجواب: \(\dfrac{2022}{2023} < \dfrac{41}{29}\)
(ب) \(\dfrac{8}{11}\) و \(\dfrac{48}{67}\)
طريقة الجداء التبادلي: لمقارنة \(\dfrac{a}{b}\) و \(\dfrac{c}{d}\) (بمقامات موجبة) نقارن \(a \times d\) و \(b \times c\).
\(8 \times 67 = 536\) \(\qquad\) و \(\qquad\) \(11 \times 48 = 528\)
بما أنّ \(536 > 528\)، فإنّ:
الجواب: \(\dfrac{8}{11} > \dfrac{48}{67}\)
نعتبر التعيين \((O\,;I\,;J)\) معيّنًا متعامدًا للمستوي (انظر الرسم على ورقة الفرض).
1) أ- عيّن \(C\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((OJ)\)، و \(M\) منتصف \([BC]\).
ب- حقّق أنّ \(J\) منتصف \([AC]\).
2) أ- أكمل الجدول التالي بإحداثيات النقاط \(O\) و \(B\) والنقاط المعيّنة على الرسم.
ب- أذكر نقطتين لهما نفس الفاصلة، ونقطتين لهما فاصلتان متقابلتان.
3) أ- ابن \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([AB]\).
ب- \(\Delta\) يقطع \((OJ)\) في نقطة \(K\) ويقطع \((AB)\) في نقطة \(L\). بيّن أنّ \(L\) منتصف \([AB]\).
ج- ماذا تمثّل النقطة \(K\) للمثلّث \(ABC\)؟ علّل جوابك.
4) بيّن أنّ \((KM) \perp (BC)\).
5) أ- المستقيمان \((CL)\) و \((AM)\) يتقاطعان في نقطة \(G\). ماذا تمثّل النقطة \(G\) للمثلّث \(ABC\)؟
ب- بيّن أنّ النقاط \(B\) و \(G\) و \(J\) على استقامة واحدة.
(أ) \(C\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى المستقيم \((OJ)\): نُنشئها بالتناظر المحوري حول \((OJ)\) (باستعمال الكوس أو بالطيّ). ثمّ نضع \(M\) منتصف القطعة \([BC]\).
(ب) التحقّق من أنّ \(J\) منتصف \([AC]\):
بما أنّ \(C\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((OJ)\)، فإنّ \((OJ)\) هو محور تناظر النقطتين \(A\) و \(C\)، أي إنّه الموسط العمودي للقطعة \([AC]\).
والموسط العمودي لقطعة يمرّ من منتصفها. وبما أنّ \(J\) هي نقطة تقاطع \((OJ)\) مع \([AC]\)، فإنّ:
\(J\) منتصف \([AC]\) ✓ (ونتحقّق من ذلك بصريًّا على الرسم).
(أ) نُكمل الجدول بـ قراءة إحداثيات كلّ نقطة مباشرةً من الشبكة: نقرأ الفاصلة على محور الفواصل، ثمّ الأردة على محور الترتيبات، ونكتب الزوج \((\text{الفاصلة}\,;\,\text{الأردة})\). مثلًا \(O(0\,;0)\)، ونقرأ كذلك إحداثيات \(B\) وبقيّة النقاط الموضوعة على الرسم.
(ب) نقطتان لهما نفس الفاصلة: نقطتان تقعان على مستقيم موازٍ لمحور الترتيبات — نتبيّنهما بالنظر إلى الرسم. نقطتان لهما فاصلتان متقابلتان: نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى محور الترتيبات \((OJ)\)، تقعان على جهتيه على البعد نفسه — نتبيّنهما كذلك بالقراءة على الشبكة.
في السابعة نكتفي بـ وضع النقاط وقراءة إحداثياتها بصريًّا على الرسم؛ لا نستعمل أيّ خاصّية أو حساب على الإحداثيات (ولا حساب مسافات).
تعريف الموسط العمودي: مستقيم يمرّ من منتصف القطعة ويكون عموديًّا عليها. وكلّ نقطة منه على البعد نفسه من طرفي القطعة.
(ب) لماذا \(L\) منتصف \([AB]\): بما أنّ \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\)، فهو يقطع \([AB]\) في منتصفها بالتعريف. وبما أنّ \(L = \Delta \cap (AB)\)، فإنّ \(L\) منتصف \([AB]\).
(ج) ماذا تمثّل \(K\) للمثلّث \(ABC\):
- \(K\) على \(\Delta\): الموسط العمودي لـ \([AB]\) ⟵ إذن \(KA = KB\).
- \(K\) على \((OJ)\)، و \((OJ)\) يمرّ من \(J\) منتصف \([AC]\) عموديًّا عليها (من السؤال 1)، أي \((OJ)\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\) ⟵ إذن \(KA = KC\).
- إذن \(KA = KB = KC\).
الاستنتاج: \(K\) هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلّث \(ABC\) (نقطة تقاطع المواسط العمودية).
\(K\) مركز الدائرة المحيطة ⟵ \(KB = KC\)، إذن \(K\) على الموسط العمودي لـ \([BC]\).
\(M\) منتصف \([BC]\) ⟵ إذن \(M\) على الموسط العمودي لـ \([BC]\) أيضًا.
إذن المستقيم \((KM)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\)، ومنه:
الاستنتاج: \((KM) \perp (BC)\) ✓
(أ) \((AM)\) متوسّط صادر من \(A\) (لأنّ \(M\) منتصف \([BC]\))، و \((CL)\) متوسّط صادر من \(C\) (لأنّ \(L\) منتصف \([AB]\)). تقاطع متوسّطين هو مركز الثقل، إذن:
الجواب: \(G\) هو مركز ثقل المثلّث \(ABC\).
(ب) بما أنّ \(J\) منتصف \([AC]\)، فإنّ \((BJ)\) هو المتوسّط الثالث للمثلّث \(ABC\) (الصادر من \(B\)). ومركز الثقل \(G\) يقع على المتوسّطات الثلاثة، فهو على \((BJ)\).
الاستنتاج: النقاط \(B\) و \(G\) و \(J\) على استقامة واحدة ✓
\((\mathcal{C})\) دائرة مركزها \(O\) و \(A\) نقطة منها.
1) الموسط العمودي لـ \([OA]\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في نقطتين \(B\) و \(C\) ويقطع \((OA)\) في \(J\).
أ) بيّن أنّ المثلّث \(OAB\) متقايس الأضلاع.
ب) احسب قيس الزاوية \(\widehat{OBA}\).
ت) استنتج أنّ \(\widehat{OBJ} = 30^\circ\).
2) المستقيم \((OA)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في نقطة أخرى \(D\).
أ) بيّن أنّ \(\widehat{OBD} = 30^\circ\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(ABD\) قائم في \(B\).
3) المستقيم المارّ من \(B\) والعمودي على \((BC)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في \(E\).
أ) بيّن أنّ \(\widehat{OBE} = 60^\circ\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(OBE\) متقايس الأضلاع.
4) بيّن أنّ \(O\) و \(E\) متناظرتان بالنسبة إلى \((BD)\).
5) أ) ابن \(F\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((BD)\). ت) بيّن أنّ \(E\) هي منتصف \([DF]\).
6) أ) ابن \(K\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \((BC)\). ت) \((EK)\) و \((FI)\) يتقاطعان في \(G\)؛ بيّن أنّ \(G\) مركز ثقل المثلّث \(DKF\).
7) أ) بيّن أنّ المثلّث \(ADF\) متقايس الأضلاع. ب) بيّن أنّ \([FO]\) هو الارتفاع الصادر من \(F\) للمثلّث \(ADF\). ج) استنتج أنّ \(EF = EO\).
8) \((DG)\) يقطع \((FK)\) في \(J'\)؛ بيّن أنّ المثلّث \(OFJ'\) متقايس الضلعين، ثمّ بيّن أنّ \(J'\) و \(B\) و \(E\) على استقامة واحدة.
- \((\mathcal{C})\) دائرة مركزها \(O\) وشعاعها \(r = OA\).
- \(B\) و \(C\) على \((\mathcal{C})\) ⟵ \(OB = OC = r\).
- \(B\) و \(C\) على الموسط العمودي لـ \([OA]\) ⟵ كلّ نقطة منه على البعد نفسه من \(O\) و \(A\)، إذن \(BO = BA\) و \(CO = CA\).
- \(J\) منتصف \([OA]\) (تقاطع الموسط العمودي مع \([OA]\)).
\(OA = r\) (شعاع)، \(OB = r\) (شعاع)، و \(BA = BO = r\) (لأنّ \(B\) على الموسط العمودي لـ \([OA]\)).
إذن \(OA = OB = AB = r\).
الاستنتاج: المثلّث \(OAB\) متقايس الأضلاع ✓
في مثلّث متقايس الأضلاع كلّ الزوايا تساوي \(60^\circ\)، إذن:
\(\widehat{OBA} = 60^\circ\)
بما أنّ \([BJ]\) محمول على الموسط العمودي لـ \([OA]\)، وهو في المثلّث المتقايس الأضلاع \(OAB\) متوسّط ومنصّف للزاوية \(\widehat{OBA}\) في آن، إذن:
\(\widehat{OBJ} = \dfrac{\widehat{OBA}}{2} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ\)
الاستنتاج: \(\widehat{OBJ} = 30^\circ\) ✓
(أ) \(D\) نقطة تقاطع \((OA)\) مع الدائرة غير \(A\)، إذن \([AD]\) قطر و \(O\) منتصفه، ومنه \(OD = OB = r\): المثلّث \(OBD\) متساوي الساقين في \(O\).
الزاوية \(\widehat{BOD}\) هي زاوية مكمّلة لـ \(\widehat{BOA}\): \(\widehat{BOD} = 180^\circ - \widehat{BOA} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
في المثلّث المتساوي الساقين \(OBD\): \(\widehat{OBD} = \widehat{ODB} = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\).
الاستنتاج: \(\widehat{OBD} = 30^\circ\) ✓
(ب) \(\widehat{ABD} = \widehat{ABO} + \widehat{OBD} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\).
الاستنتاج: المثلّث \(ABD\) قائم في \(B\) ✓
يمكن أيضًا الاستنتاج مباشرة: \([AD]\) قطر و \(B\) على الدائرة، فالزاوية \(\widehat{ABD}\) محيطية تحصر نصف الدائرة، إذن قائمة.
(أ) \(J\) على \([BC]\) و \(\widehat{OBJ} = 30^\circ\)، أي \(\widehat{OBC} = 30^\circ\). والمستقيم المارّ من \(B\) والعمودي على \((BC)\) يصنع زاوية قائمة مع \((BC)\)، إذن الزاوية بين \([BO]\) وهذا المستقيم هي:
\(\widehat{OBE} = 90^\circ - \widehat{OBC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)
الاستنتاج: \(\widehat{OBE} = 60^\circ\) ✓
(ب) \(E\) على الدائرة ⟵ \(OE = OB = r\): المثلّث \(OBE\) متساوي الساقين في \(O\)، وزاويته عند القاعدة \(\widehat{OBE} = 60^\circ\)، فتكون كلّ زواياه \(60^\circ\).
الاستنتاج: المثلّث \(OBE\) متقايس الأضلاع ✓
يكفي بيان أنّ \((BD)\) هو الموسط العمودي لـ \([OE]\):
- \(BO = BE = r\) (شعاعان، أو من المثلّث المتقايس \(OBE\)) ⟵ \(B\) على البعد نفسه من \(O\) و \(E\).
- يبقى بيان \(DO = DE\) للحصول على نقطتين من الموسط العمودي، أو أنّ \((BD)\) عمودي على \([OE]\) ويمرّ من منتصفها؛ ويُتمّ ذلك بحساب الزوايا انطلاقًا من \(\widehat{OBE}=60^\circ\) و \(\widehat{OBD}=30^\circ\) (فـ \([BD]\) منصّف \(\widehat{OBE}\)).
بما أنّ \([BD]\) منصّف الزاوية \(\widehat{OBE}\) في المثلّث المتقايس \(OBE\) (\(30^\circ + 30^\circ\))، فهو الموسط العمودي لـ \([OE]\).
الاستنتاج: \(O\) و \(E\) متناظرتان بالنسبة إلى \((BD)\) ✓
(أ) \(F\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \((BD)\): نُسقط \(A\) عموديًّا على \((BD)\) ونمدّد بنفس المسافة.
(ت) التناظر المحوري بالنسبة إلى \((BD)\) يحوّل \(A \mapsto F\) و \(O \mapsto E\) (من السؤال 4). وبما أنّ \(O\) منتصف \([AD]\)، تحفظ صورة المنتصف: صورة \(O\) (وهي \(E\)) تكون منتصف صورة \([AD]\). وصورة \(D\) بالتناظر بالنسبة إلى \((BD)\) هي \(D\) نفسها (لأنّها على المحور \((BD)\))، وصورة \(A\) هي \(F\). إذن \(E\) منتصف \([FD]\).
الاستنتاج: \(E\) منتصف \([DF]\) ✓
(أ) \(K\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \((BC)\): إنشاء بالتناظر المحوري حول \((BC)\).
(ت) يعتمد إثبات أنّ \(G = (EK) \cap (FI)\) مركز ثقل المثلّث \(DKF\) على أنّ \((EK)\) و \((FI)\) متوسّطان لهذا المثلّث (كلٌّ منهما يمرّ من رأس ومن منتصف الضلع المقابل). يُبيَّن أنّ \(E\) و \(I\) منتصفا ضلعين في \(DKF\) اعتمادًا على خواصّ التناظر السابقة، فيكون تقاطع المتوسّطين مركزَ الثقل.
هذا السؤال يستند إلى نقاط مُنشأة على الرسم (منها \(I\))؛ يُتمّم البرهان بالرجوع إلى الشكل المرسوم على ورقة الفرض وتتبّع صور النقاط بالتناظر.
(أ) بالتناظر بالنسبة إلى \((BD)\): \(FA = \) صورة مسافة محفوظة، وبتتبّع الزوايا \((60^\circ)\) الناتجة عن المثلّثات المتقايسة السابقة، يكون \(AD = DF = FA\).
الاستنتاج: المثلّث \(ADF\) متقايس الأضلاع ✓
(ب) \(O\) منتصف \([AD]\)، وفي المثلّث المتقايس الأضلاع \(ADF\) يكون المتوسّط الصادر من \(F\) (نحو منتصف \([AD]\)) هو نفسه الارتفاع الصادر من \(F\). إذن \([FO]\) ارتفاع \(ADF\) من \(F\)، أي \((FO) \perp (AD)\).
(ج) \((FO) \perp (AD)\) و \(E\) منتصف \([DF]\) (السؤال 5)؛ باستعمال خواصّ التناظر التي تعطي \(EO = EF\) في المثلّث القائم، نستنتج:
الاستنتاج: \(EF = EO\) ✓
\(J' = (DG) \cap (FK)\). بتتبّع المسافات والزوايا المحفوظة بالتناظرات السابقة يُبيَّن أنّ \(OF = OJ'\)، فيكون المثلّث \(OFJ'\) متساوي الساقين في \(O\).
ثمّ باستعمال أنّ \((BD)\) و \((BC)\) محورا تناظر مارّان من \(B\)، وأنّ \(E\) صورة \(O\) و... تُجمع النتائج لبيان أنّ \(J'\) و \(B\) و \(E\) على استقامة واحدة.
الاستنتاج: \(J'\) و \(B\) و \(E\) على استقامة واحدة ✓
هذا السؤال الأخير تركيبيّ ويعتمد على جميع النتائج السابقة وعلى الرسم؛ يُنصح بمتابعة صور النقاط بالتناظرين المحوريين حول \((BD)\) و \((BC)\).