📝 فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات 📝

الحل: 🧠

عدد قواسم عدد مكتوب في صيغة تفكيك عوامل أولية $p₁^a p₂^b$ هو $(a+1)(b+1)$.

الحل: 🧠

• 5132 يقبل القسمة على 2 (رقم آحاده زوجي).
• 7101 يقبل القسمة على 3 (مجموع أرقامه 9).
• 1181 لا يقبل القسمة على 2 أو 3 أو 5. عند اختبار القسمة على الأعداد الأولية الأصغر من $\sqrt{1181} \approx 34$، نجد أنه عدد أولي.

الحل: 🧠

بما أن $C$ هي الدائرة التي مركزها $B$ ونصف قطرها $R$ (المسافة $BC$ أو $BA$ إذا كانت $A$ نقطة على الدائرة)، ومناظرها هو $C'$ بالنسبة لـ $A$:

1. نحدد $B'$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $A$ (بحيث يكون $A$ منتصف $[BB']$).
2. $C'$ هي الدائرة التي مركزها $B'$ ولها نفس نصف القطر $R$.

الحل: 🧠

تفكيك 513:

تفكيك 1368:

الحل: 🧠

بما أن العدد الكسري بعد اختزاله إلى أقصى حد $\frac{1}{2³}$، فإن تفكيك مقامه (2³) يحتوي على العامل الأولي 2 فقط (أو 5 فقط، أو كلاهما). إذن، $\frac{513}{1368}$ هو **عدد كسري عشري**. ✅

الحل: 🧠

الحل: 🧠

حساب A:

حساب B:

حساب C:

الحل: 🧠

نعتبر $x$ هو العدد الناقص. نحول المعادلة إلى:

الحل: 🧠

بافتراض A ( 3 ; 2 ) و B ( 1 ; -1 ):

الحل: 🧠

بافتراض A ( 3 ; 2 ) و B ( 1 ; -1 ).

• تحديد النقاط:
  • (OI) هو محور الفاصلات (محور السينات).
  • $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(OI)$: $H$ ( 3 ; 0 ).
  • $F$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $(OI)$: $F$ ( 1 ; 1 ).
• طبيعة الرباعي AHFB:
  • $(AH) \perp (OI)$ و $(HF)$ تنتمي إلى $(OI)$. إذن $(AH)$ عمودي على $(HF)$.
  • $(FB)$ عمودي على $(OI)$ و $(HF)$ تنتمي إلى $(OI)$. إذن $(FB)$ عمودي على $(HF)$.
  • بما أن $(AH)$ و $(FB)$ عموديان على نفس المستقيم $(OI)$، فإنهما متوازيان: $(AH) // (FB)$.

إذن، AHFB هو **شبه منحرف** (فيه ضلعان متقابلان متوازيان).

الحل: 💡

نقوم برسم منصف الزاوية $\widehat{BAC}$ (قياسها $120^\circ$)، حيث $\widehat{OAB} = \widehat{OAC} = 60^\circ$.

الحل: 💡

في المثلث AOB، لدينا:

• $\widehat{OAB} = 60^\circ$ (لأن $[AO)$ منصف الزاوية $\widehat{BAC}$).
• $\widehat{ABO} = 30^\circ$ (معطى).

إذن $\widehat{AOB} = 90^\circ$.

الحل: 💡

1. [AL] هو **متوسط** المثلث AOB الصادر من A (لأن L منتصف [BO]).
2. [BJ] هو **متوسط** المثلث AOB الصادر من B (لأن J منتصف [AO]).
3. $G$ هي نقطة تقاطع متوسطين في المثلث AOB.

إذن، $G$ تمثل **مركز ثقل** المثلث AOB (نقطة تلاقي المتوسطات). ✅

الحل: 💡

1. $G$ هو مركز ثقل المثلث AOB.
2. (OG) هو المستقيم المار من رأس O ومركز الثقل G. إذن، (OG) هو **المتوسط** الثالث الصادر من O.
3. المتوسط الصادر من O يقطع الضلع المقابل [AB] في منتصفه I. إذن I هي منتصف [AB].
4. بما أن $AB = 6 \text{cm}$ (معطى)، فإن $AI = AB / 2 = 6 / 2 = 3 \text{cm}$. ✅

الحل: 💡

1. (CH) هو ارتفاع: H المسقط العمودي لـ C على (AB)، إذن (CH) هو الارتفاع الصادر من C في المثلث ABC.
2. (AO) هو ارتفاع: بما أن المثلث ABC متساوي الساقين في A، فإن منصف الزاوية $\widehat{BAC}$ (وهو $[AO)$) هو أيضاً الارتفاع الصادر من A. إذن $(AO) \perp (BC)$.
3. $D$ هي نقطة تقاطع (CH) (الارتفاع من C) و (AO) (الارتفاع من A).

إذن، D هي **المركز القائم** للمثلث ABC (نقطة تلاقي الارتفاعات). ✅

الحل: 💡

1. $D$ هي المركز القائم للمثلث ABC.
2. الخط المستقيم المار من رأس (B) والمركز القائم (D) هو حامل الارتفاع الصادر من B.

إذن، (BD) هو الارتفاع الصادر من B، وبالتالي $(BD)$ عمودي على الضلع المقابل (CA): $(BD) \perp (CA)$. ✅

الحل: 💡

مساحة المثلث AIC هي: $\text{S}_{AIC} = (\text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}) / 2$.

• نعتبر $[AI]$ هي القاعدة.
• I نقطة تنتمي إلى $(AB)$. الارتفاع الموافق للقاعدة $[AI]$ هو المسافة بين C والمستقيم $(AB)$، أي $CH$.
• لدينا $AI = 3 \text{cm}$ (من السؤال 3) و $CH = 5 \text{cm}$ (معطى).