📝 فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات 📝

الحل: 🧠

⚠️ بما أن -300 ليس ضمن الخيارات، نفترض خطأ طباعي وأن المقابل المطلوب هو -30، مما يعني أن العبارة المقصودة كانت ( 0,3 × 10² ) = 30 أو ( 0,03 × 10³ ) = 30.

الحل: 🧠

1. حساب نصف المحيط: نصف المحيط = 100 / 2 = 50 cm.
2. حساب البعد الأول: البعد الأول = 0,1 × 172,8 = 17,28 cm.
3. حساب البعد الثاني: البعد الثاني = نصف المحيط - البعد الأول = 50 - 17,28 = 32,72 cm.

الحل: 🧠

م.م.أ (المضاعف المشترك الأصغر) لجذاء عاملين، يساوي جذاء العوامل المشتركة وغير المشتركة بأكبر أُس.

1. بما أن a و b أوليان فيما بينهما، فإن تفكيك a × b يتضمن جميع العوامل الأولية لـ a و b بأس 1.
2. تفكيك a² يتضمن عوامل a بأس 2.
3. م.م.أ ( a × b, a² ) يساوي العامل a بأكبر أس وهو a²، والعامل b بأكبر أس وهو b¹.

الحل: 🧠

نعتبر العدد N = 72xy40. الرقم الناقص هو x مكان النقطة الثالثة والرقم y مكان النقطة الرابعة.

1. قابلية القسمة على 2: بما أن رقم الآحاد هو 0، فالعدد قابل للقسمة على 2 دائماً.
2. قابلية القسمة على 4: يجب أن يقبل العدد المكوّن من رقمي العشرات والآحاد (40) القسمة على 4. بما أن 40 ÷ 4 = 10، فالعدد قابل للقسمة على 4 دائماً.
3. قابلية القسمة على 9 (وتستلزم 3): يجب أن يكون مجموع الأرقام مضاعفاً لـ 9.
   مجموع الأرقام = 7 + 2 + x + y + 4 + 0 = 13 + x + y
   يجب أن يكون 13 + x + y ∈ { 18, 27 }. (لأن 0 ≤ x+y ≤ 18).
4. الإمكانيات:
   • **الحالة 1: ** 13 + x + y = 18 ⇐ x + y = 5. (مجموعة الحلول: (5, 0), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (0, 5))

     بما أن y يمثل رقم الألوف و x يمثل رقم المئات، فكلها ممكنة.

   • **الحالة 2: ** 13 + x + y = 27 ⇐ x + y = 14. (مجموعة الحلول: (9, 5), (8, 6), (7, 7), (6, 8), (5, 9))

الإمكانيات الممكنة (حيث x, y يحققان x+y=5 أو x+y=14):

725040، 724140، 723240، 722340، 721440، 720540

729540، 728640، 727740، 726840، 725940

الحل: 🧠

لإجراء القسمة الإقليدية لـ 488 على 13، نجد 488 = 13 × q + r حيث 0 ≤ r < 13.

إذن، 488 = 13 × 37 + 7.

الخارج: q = 37.

الباقي: r = 7.

الحل: 🧠

تفكيك 392:

تفكيك 162:

الحل: 🧠

الحل: 🧠

بما أن جميع أُسس العوامل الأولية (4، 4، 2) هي أعداد زوجية، فإن العدد 162 × 392 هو مربع كامل.

يمكن كتابته بالشكل: ( 2² × 3² × 7¹ )² = ( 252 )².

الحل: 🧠

حساب A:

حساب B:

الحل: 🧠

طريقة المقارنة بالعدد 1:

• العدد الكسري 41 / 29: بما أن البسط (41) أكبر من المقام (29)، فإن 41 / 29 > 1.
• العدد الكسري 31 / 53: بما أن البسط (31) أصغر من المقام (53)، فإن 31 / 53 < 1.

إذن: 41 / 29 > 31 / 53.

الحل: 🧠

اختزال a:

اختزال b:

التفكيك: 168 = 2³ × 3 × 7. 156 = 2² × 3 × 13.

الحل: 🧠

• العدد a = 2 / 25 = 2 / 5². تفكيك مقامه (5²) يحتوي على العامل الأولي 5 فقط. **إذن، a هو عدد كسري عشري.**
• العدد b = 14 / 13. تفكيك مقامه (13) يحتوي على العامل الأولي 13. إذن، b ليس عدداً كسرياً عشرياً.

كتابة a في صورة A / 10ⁿ:

الحل: 💡

1. في المثلث ADB: لدينا الزاوية DAB = 90° (ABCD قائم في A) و AD = AB = 4 cm. إذن ADB مثلث قائم ومتساوي الساقين في A.
2. خاصية **الموسط** العمودي: في المثلث المتساوي الساقين ADB، المتوسط الصادر من الرأس الأساسي A (وهو (AI) لأن I منتصف [BD]) يمثل أيضاً **الموسط** العمودي للضلع المقابل [BD].
3. الاستنتاج: بما أن (AI) هو **الموسط** العمودي لـ [BD]، فإن النقطتين D و B متناظرتان بالنسبة للمستقيم (AI). أي أن B مناظرة D بالنسبة إلى (AI). ✅

الحل: 💡

تُبنى النقطة E بحيث يكون المستقيم (AI) هو **الموسط** العمودي لقطعة المستقيم [CE]. أي نرسم مستقيماً يمر من C وعمودياً على (AI)، ثم نعيّن E على هذا المستقيم بحيث تكون C و E متساوية البعد عن (AI).

الحل: 💡

نستخدم خاصية التناظر المحوري. بما أن B مناظرة D و E مناظرة C بالنسبة لـ (AI)، فإن قطعة المستقيم [BE] مناظرة لـ [DC]، و الزاوية ABE مناظرة للزاوية ADC.

بما أن شبه المنحرف ABCD قائم في D و A، فإن الزاوية ADC = 90°.

في المثلث القائم ومتساوي الساقين ADB، الزاوية ADB = 45°.

⚠️ سنعتمد على أن الزاوية المقصودة هي الزاوية ADB = 45° (من خصائص المثلث ADB). نلتزم بالحساب الهندسي الأكثر ترجيحاً، وبما أن ADE تتطلب دوال مثلثية، نفترض أن السؤال يهدف لتعيين زاوية بسيطة:

الزاوية ADE = الزاوية ADC - الزاوية EDC = 90° - الزاوية EDC.

الحل: 💡

1. E مناظرة C بالنسبة لـ (AI).
2. B مناظرة D بالنسبة لـ (AI).
3. التناظر يحافظ على المسافة: إذن، مناظر قطعة المستقيم [CD] بالنسبة لـ (AI) هي قطعة المستقيم [EB].

إذن، EB = CD. وبما أن CD = 6 cm، فإن EB = 6 cm. ✅

الحل: 💡

مناظر نصف المستقيم هو نصف المستقيم الذي تصل بين مناظرتي طرفيه (نستخدم النقطة K من السؤال 4).

• مناظر النقطة B هو D.
• مناظر النقطة J هو K.

إذن، مناظر نصف المستقيم [BJ) بالنسبة لـ (AI) هو نصف المستقيم **[DK)**.

التعليل: التناظر المحوري يحول نصف مستقيم إلى نصف مستقيم.

الحل: 💡

تُبنى النقطة K بحيث يكون المستقيم (AI) هو **الموسط** العمودي لقطعة المستقيم [JK].

الحل: 💡

بما أن J نقطة تنتمي إلى القطعة [BC]، فهي بالضرورة تنتمي إلى المستقيم (BC).

نعلم أن التناظر المحوري يحول مستقيماً إلى مستقيم.

• مناظر B هو D.
• مناظر C هو E.
• مناظر J هو K.

بما أن النقاط B و J و C على استقامة واحدة، فإن مناظراتها D و K و E تكون أيضاً على استقامة واحدة. ✅

الحل: 💡

1. D مناظرة C بالنسبة للمستقيم (AB).
2. التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا.
3. A و B نقطتان ثابتتان على محور التناظر (AB).
4. إذن، الزاوية ADB هي مناظرة الزاوية ACB.

بما أن الزاوية ACB = 90° (المثلث قائم في C)، فإن الزاوية ADB = 90°.

الحل: 💡

تُبنى [AM) كمنصف للزاوية CAB (60°)، أي الزاوية CAM = الزاوية MAB = 30°.

تُبنى E بحيث يكون (AB) هو **الموسط** العمودي لـ [ME]. النقطة E تنتمي إلى القطعة [DB].

الحل: 💡

1. M نقطة تنتمي إلى القطعة [CB]، إذن M ∈ (CB).
2. E هي مناظرة M بالنسبة للمستقيم (AB).
3. D هي مناظرة C بالنسبة للمستقيم (AB).

بما أن M ∈ (CB)، فإن مناظرة النقطة M (وهي E) تنتمي إلى مناظر المستقيم (CB) (وهو (DB)).

إذن، E ∈ (DB). ✅

الحل: 💡

1. تحديد طبيعة الشكل:
   • D مناظرة C، إذن [CD] عمودي على (AB).
   • E مناظرة M، إذن [ME] عمودي على (AB).
   • بما أن كلاً من [CD] و [ME] عموديان على نفس المستقيم (AB)، فإنهما متوازيان: (CD) // (ME).
   • الشكل الرباعي الذي فيه ضلعان متقابلان متوازيان هو **شبه منحرف**.
2. تحديد نوع شبه المنحرف:
   • ساقا شبه المنحرف هما [CM] و [DE].
   • E مناظرة M و D مناظرة C بالنسبة لـ (AB).
   • التناظر يحافظ على المسافة، إذن مناظر القطعة [CM] هو القطعة [DE].
   • بالتالي CM = DE.

إذن، CMDE هو **شبه منحرف متساوي الساقين** (تساوت فيه الساقان). ✅

الحل: 💡

1. F هي نقطة تقاطع [ME] مع محور التناظر (AB). وبما أن E مناظرة M بالنسبة لـ (AB)، فإن F هي المسقط العمودي لـ M على (AB). إذن المثلث AMF قائم الزاوية في F (الزاوية AFM = 90°).
2. [AM) هو **منصف** الزاوية CAB. بما أن الزاوية CAB = 60°، فإن الزاوية MAF = الزاوية MAB = 60° / 2 = 30°.
3. في المثلث القائم AMF، مجموع الزوايا يساوي 180°.
   الزاوية AMF = 180° - ( 90° + 30° ) = 60°

الحل: 💡

نستخدم خاصية منصف الزاوية [AM) في المثلث القائم ABC، وخاصية التناظر.

1. حساب CM: حسب مبرهنة منصف الزاوية في المثلث ABC، لدينا MC / MB = AC / AB = cos(60°) = 1 / 2.

   إذن MB = 2 MC. وبما أن MC + MB = CB، فإن MC + 2 MC = CB ⇐ 3 MC = CB.

   CM = ( 1 / 3 ) CB
2. حساب EF:
   • F هو منتصف [ME]، إذن EF = MF.
   • MF هو ارتفاع المثلث القائم BFM (الزاوية FBM = الزاوية CBA = 30°).
   • في المثلث BFM: sin( الزاوية FBM ) = MF / MB ⇐ sin( 30° ) = MF / MB.
   • 1 / 2 = MF / MB ⇐ MF = ( 1 / 2 ) MB.
   • إذن EF = ( 1 / 2 ) MB.
3. المقارنة: نعوض قيمة MB من الخطوة (1) في الخطوة (2):
   EF = ( 1 / 2 ) MB = ( 1 / 2 ) × ( 2 MC ) = MC

إذن، CM = EF. ✅