عدد القواسم = (الأس الأول + 1) × (الأس الثاني + 1)
عدد القواسم = (3 + 1) × (9 + 1) = 4 × 10 = 40
4. لاحظ الشكل (غير مرسوم) حيث $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ دائرتان مركزيهما O و O' على التوالي ولهما نفس الشعاع. الجملة: "في هذا الشكل $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ متناظرتان بالنسبة لـ A" هي:
**صواب**
خطأ
الحل: 💡
إذا كانت دائرتان متناظرتان بالنسبة لنقطة A (تناظر مركزي)، فهذا يعني أن:
مركز إحداهما هو مناظر مركز الأخرى بالنسبة لـ A (A هي منتصف [O O']).
لهما نفس الشعاع.
وبما أن المعطيات تذكر أن لهما نفس الشعاع، فإن الإمكانية قائمة، وتكون الجملة صحيحة إذا كانت A هي مركز التناظر (منتصف [O O']).
📐 التمرين رقم 2 - الإحداثيات والتناظر 📐
تأمل التمثيل التالي حيث (O, I, J) معين (متعامد وممنظم) و OI = OJ و (OI) ⊥ (OJ).
1. ما هي إحداثيات A و C؟
الحل: 🧠 (بالاعتماد على الرسم البياني المرفق في الاختبار الأصلي - وبغيابه نعتمد على المتغيرات)
بالنظر إلى سياق التمرين، نفرض الإحداثيات التالية كنقاط عامة تقع في الربع الأول:
A (xₐ, yₐ) C (x꜀, y꜀)
2. أ) ابن النقطة B مناظرة A بالنسبة لـ (OI)، والنقطة D مناظرة C بالنسبة لـ (OJ).
2. ب) أكمل الجدول التالي:
الحل: 💡
قواعد التناظر:
* مناظرة نقطة بالنسبة لـ (OI) (محور السينات) تحافظ على فاصلتها وتُغيّر ترتيبها (A(x, y) → B(x, -y)).
* مناظرة نقطة بالنسبة لـ (OJ) (محور التراتيب) تحافظ على ترتيبها وتُغيّر فاصلتها (C(x, y) → D(-x, y)).
النقطة
إحداثياتها
O
(0, 0)
I
(1, 0)
J
(0, 1)
A
(xₐ, yₐ)
B
(xₐ, -yₐ)
C
(x꜀, y꜀)
D
(-x꜀, y꜀)
3. أ) بين أن IB = IA.
الحل: 💡
لدينا B مناظرة A بالنسبة للمستقيم (OI).
إذن، (OI) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [A B].
بما أن النقطة I تنتمي إلى (OI)، وهي محور التناظر، فإن I متساوية البعد عن طرفي القطعة [A B].
أي أن: I A = I B. ✅
3. ب) بين أن (CD) مواز لـ (OI).
الحل: 💡
لدينا D مناظرة C بالنسبة للمستقيم (OJ).
إذا كانت إحداثيات C هي (x꜀, y꜀)، فإن إحداثيات D هي (-x꜀, y꜀).
النقطتان C و D لهما نفس الترتيب y꜀، مما يعني أن المستقيم (CD) هو مستقيم أفقي (موازٍ لمحور السينات).
بما أن (OI) هو محور السينات، فإن (CD) مواز لـ (OI). ✅
🔢 التمرين رقم 3 - التفكيك و ق.م.أ و م.م.أ 🔢
نعتبر العددين a = 25² × 15³ × 3⁶ و b = 5⁵ × (3² × 5)² × 9.
1. اكتب a و b في صيغة جذاء عوامل أولية.
الحل: 🧠
تفكيك a:
a = (5²)² × (3 × 5)³ × 3⁶ a = 5⁴ × 3³ × 5³ × 3⁶ a = 3⁹ × 5⁷
تفكيك b:
b = 5⁵ × (3² × 5)² × 3² b = 5⁵ × (3⁴ × 5²) × 3² b = 3⁴⁺² × 5⁵⁺² = 3⁶ × 5⁷
2. استنتج كتابة في صيغة جذاء عوامل لـ a × b و √(15a).
الحل: 🧠
تفكيك a × b:
a × b = (3⁹ × 5⁷) × (3⁶ × 5⁷) a × b = 3⁹⁺⁶ × 5⁷⁺⁷ = 3¹⁵ × 5¹⁴
حساب ق.م.أ (525, 540): (العوامل المشتركة بأصغر أس)
ق.م.أ = 3¹ × 5¹ = 15
حساب م.م.أ (540, 225): (جميع العوامل بأكبر أس)
م.م.أ = 2² × 3³ × 5² = 4 × 27 × 25 = 2700
📐 التمرين رقم 4 - التناظر المحوري في مثلث 📐
A B C مثلث و I منتصف [B C].
1. أ) ابن النقطة B' مناظرة B بالنسبة لـ (A I).
الحل: 💡
تُبنى B' بحيث يكون المستقيم (A I) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [B B'].
1. ب) ما هي مناظرة الزاوية $\widehat{B A I}$ بالنسبة لـ (A I)؟ علل جوابك.
الحل: 💡
مناظرة الرأس A هي A (لأنها تنتمي لمحور التناظر (A I)).
مناظرة النقطة I هي I (لأنها تنتمي لمحور التناظر (A I)).
مناظرة النقطة B هي B' (بالبناء).
إذن، مناظرة الزاوية $\widehat{B A I}$ بالنسبة لـ (A I) هي الزاوية **$\widehat{B' A I}$**.
التعليل: التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا، إذن: $\widehat{B A I} = \widehat{B' A I}$.
1. ج) استنتج أن [A I) منصف الزاوية $\widehat{B A B'}$.
الحل: 💡
بما أن $\widehat{B A I} = \widehat{B' A I}$ (من السؤال السابق)، ونصف المستقيم [A I) يقسم الزاوية $\widehat{B A B'}$ إلى زاويتين متقايستين، فإنه يمثل **منصف** هذه الزاوية. ✅
2. أ) ابن النقطة C' مناظرة C بالنسبة لـ (A I).
الحل: 💡
تُبنى C' بحيث يكون المستقيم (A I) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [C C'].
2. ب) ما هو مناظر نصف المستقيم [B C) بالنسبة لـ (A I)؟ علل جوابك.
الحل: 💡
مناظر نصف المستقيم هو نصف المستقيم الذي تصل بين مناظرتي طرفيه.
مناظر B هو B'.
مناظر C هو C'.
إذن، مناظر نصف المستقيم [B C) بالنسبة لـ (A I) هو نصف المستقيم **[B' C')**.
التعليل: التناظر المحوري يحول نصف مستقيم إلى نصف مستقيم.
2. ج) بين أن النقاط B و C و I على استقامة واحدة.
الحل: 💡
حسب معطيات التمرين، النقطة I هي **منتصف** قطعة المستقيم [B C].
حسب تعريف منتصف قطعة مستقيم، فإن النقاط B و C و I تنتمي إلى نفس المستقيم (أي أنها على استقامة واحدة). ✅