يمثل الرسم المرافق دائرة C مركزها O و [A B] قطر لها، حيث A B = 8cm. لتكن M نقطة منها.
1. أ- ابن المستقيم $\Delta$ المار من O و العمودي على (A B).
الحل: 💡
بما أن O هي منتصف [A B] (مركز الدائرة)، والمستقيم $\Delta$ عمودي على (A B) ويمر من O، فإن $\Delta$ هو **الموسط العمودي** لقطعة المستقيم [A B].
1. ب- بين أن النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم $\Delta$.
الحل: 💡
بما أن O هي منتصف [A B] و $\Delta$ عمودي على (A B) في O، فإن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ [A B]. حسب تعريف التناظر المحوري، فإن A و B متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم $\Delta$. ✅
1. ج- ابن النقطة N مناظرة M بالنسبة إلى المستقيم $\Delta$.
الحل: 💡
يتم بناء النقطة N بحيث يكون $\Delta$ هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [M N].
1. د- بين أنّ النقطة N تنتمي إلى الدائرة C.
الحل: 💡
نعلم أن التناظر المحوري يحافظ على المسافات. N هي مناظرة M بالنسبة لـ $\Delta$.
بما أن O نقطة تنتمي إلى محور التناظر $\Delta$، فإن مناظرة O هي O نفسها.
O N = O M
وبما أن M تنتمي إلى الدائرة C التي مركزها O، فإن O M يساوي شعاع الدائرة C (R = A B / 2 = 4cm). إذن O N = R، وبالتالي فإن N تنتمي إلى الدائرة C. ✅
2. بين أن الرباعي A M N B شبه منحرف متقايس الضلعين.
الحل: 💡
تبيان أنه شبه منحرف:
$\Delta$ عمودي على (A B) في O.
N مناظرة M بالنسبة لـ $\Delta$، إذن $\Delta$ عمودي على (M N) في منتصفها.
بما أن (A B) ⊥ $\Delta$ و (M N) ⊥ $\Delta$، فإن (M N) يوازي (A B).
وبما أن له ضلعان متوازيان ([M N] و [A B])، فإن الرباعي A M N B هو **شبه منحرف** قاعدتاه [A B] و [M N].
تبيان أنه متقايس الضلعين:
A و B متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta$.
M و N متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta$.
الضلع [B N] هو مناظر الضلع [A M] بالنسبة لـ $\Delta$.
بما أن التناظر المحوري يحافظ على المسافات، فإن A M = B N (وهما الضلعان غير المتوازيين).
إذن، الرباعي A M N B هو **شبه منحرف متقايس الضلعين**. ✅
3. أ- المستقيم (A M) يقطع المستقيم $\Delta$ في النقطة E. بين أنّ النقاط B و N و E على استقامة واحدة.
الحل: 💡
A مناظرة B بالنسبة إلى $\Delta$.
M مناظرة N بالنسبة إلى $\Delta$.
المستقيم (B N) هو مناظر المستقيم (A M) بالنسبة إلى $\Delta$.
E نقطة تنتمي إلى $\Delta$ (محور التناظر)، إذن E هي مناظرة نفسها.
بما أن E تنتمي إلى (A M)، فإن مناظرتها E يجب أن تنتمي إلى مناظر (A M)، أي (B N).
إذن، E تنتمي إلى (B N)، والنقاط B و N و E على استقامة واحدة. ✅
3. ب- بين أن نصف المستقيم [E O) هو منصف الزاوية $\widehat{A E B}$.
الحل: 💡
في المثلث A E B:
A و B متناظرتان بالنسبة لـ $\Delta$.
E نقطة تنتمي إلى $\Delta$.
بما أن E تقع على محور التناظر لـ [A B]، فإن E متساوية البعد عن طرفي القطعة، أي أن E A = E B. إذن المثلث A E B هو مثلث **متقايس الضلعين** قمته الأساسية E.
[E O) هو الجزء من المستقيم $\Delta$ الذي يمر بالرأس E و منتصف القاعدة O. في المثلث متقايس الضلعين، الارتفاع النازل من الرأس الأساسي على القاعدة هو أيضاً المنصف العمودي والموسط و**منصف الزاوية** في الرأس.
إذن، [E O) هو منصف الزاوية $\widehat{A E B}$. ✅
4. المستقيم $\Delta$ يقطع المستقيم (M N) في النقطة ...
الحل: 💡
بما أن N مناظرة M بالنسبة للمستقيم $\Delta$، فإن $\Delta$ هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [M N]. بالتالي، فإن $\Delta$ يقطع (M N) في منتصفها. لنسمِّ نقطة التقاطع I.
إذن، يقطع المستقيم $\Delta$ المستقيم (M N) في **منتصف قطعة المستقيم [M N] (النقطة I)**.
5. لتكن C₁ الدائرة التي مركزها M وتمر من النقطة I، و C₂ الدائرة التي مركزها N وتمر من النقطة I. بين أن الدائرتين C₁ و C₂ متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم $\Delta$.
الحل: 💡
لإثبات أن دائرتين متناظرتان بالنسبة لمستقيم، يجب إثبات ما يلي:
مناظرة المركز: مركز الدائرة C₂ (N) هو مناظر مركز الدائرة C₁ (M) بالنسبة لـ $\Delta$. (وهذا صحيح بالتعريف).
تقايس الشعاع: شعاع الدائرة C₁ يساوي شعاع الدائرة C₂.
شعاع C₁ هو R₁ = M I.
شعاع C₂ هو R₂ = N I.
بما أن النقطة I تنتمي إلى محور التناظر $\Delta$ (حيث I هي نقطة تقاطع (M N) و $\Delta$)، فإن I متساوية البعد عن M و N، أي M I = N I.
إذن R₁ = R₂.
بما أن C₂ مركزها N (مناظرة M) ولها نفس شعاع C₁، فإن الدائرتين C₁ و C₂ متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم $\Delta$. ✅