2. (ب) استنتج مجموعة القواسم المشتركة للعددين 88 و 220.
الحل: 🧠
مجموعة القواسم المشتركة للعددين 88 و 220 هي مجموعة قواسم ق.م.أ (220, 88) = 44.
قواسم 44 = 2² × 11 هي:
D_88 ∩ D_220 = {1, 2, 4, 11, 22, 44}
2. (ج) باستعمال جدول بيتاغور للضرب أوجد مجموعة قواسم العدد 88.
الحل: 🧠
لدينا 88 = 2³ × 11¹. القواسم هي ناتج ضرب عوامل أولية مرفوعة لأسس أقل أو تساوي أسسها في تفكيك 88:
1 × 88 = 88 2 × 44 = 88 4 × 22 = 88 8 × 11 = 88
مجموعة قواسم 88 هي: {1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88}.
3. (أ) أرض مستطيلة الشكل بعداها بالمتر 2200 و 880. نريد تقسيمها إلى أصغر عدد ممكن من القطع المربعة. ما هو قيس طول ضلع القطعة الواحدة؟
الحل: 💡
لتقسيم المستطيل إلى أصغر عدد ممكن من المربعات المتطابقة دون ترك فراغات، يجب أن يكون طول ضلع المربع هو القاسم المشترك الأكبر لبعدي المستطيل (2200 و 880).
طول الضلع = ق.م.أ (2200, 880) = 440m
إذن، قيس طول ضلع القطعة الواحدة هو **440 متراً**.
3. (ب) ما هو عدد هذه القطع ؟
الحل: 💡
عدد القطع هو ناتج قسمة كل بعد من أبعاد المستطيل على طول ضلع المربع:
عدد القطع = (2200 ÷ 440) × (880 ÷ 440) عدد القطع = 5 × 2 = 10
إذن، عدد هذه القطع هو **10 قطع**.
📐 التمرين رقم 2 (الهندسة) 📐
في الرسم المرافق، (A B) و (A C) مستقيمان متعامدان و I منتصف [A B] حيث A B = 4cm.
1. (أ) ابن المستقيم $\Delta$ إذا علمت أن B و C متناظرتان بالنسبة إلى $\Delta$.
الحل: 💡
بما أن B و C متناظرتان بالنسبة للمستقيم $\Delta$، فإن $\Delta$ هو **الموسط العمودي** لقطعة المستقيم [B C].
الإنجاز: يتم بناء المستقيم $\Delta$ بحيث يكون عمودياً على [B C] ويمر من منتصفها.
1. (ب) عين نقطة F من نصف المستقيم [B A) حيث B F = 6cm. بين أن I و F متناظرتان بالنسبة إلى (A C).
الحل: 💡
التعيين:F تنتمي إلى [B A) (نصف المستقيم الذي مبدؤه B و يمر من A) و B F = 6cm و A B = 4cm. بما أن 6 > 4، فإن النقطة A تقع بين B و F، وعليه: A F = B F - A B = 6cm - 4cm = 2cm.
التبيان: يجب أن نثبت أن (A C) هو الموسط العمودي لـ [I F].
شرط التعامد: نعلم أن (A C) عمودي على (A B) (معطى). وبما أن I و F تنتميان إلى (A B)، فإن (A C) عمودي على (I F).
شرط التوسط: يجب أن يمر (A C) من منتصف [I F].
I منتصف [A B]، إذن A I = 4 ÷ 2 = 2cm.
A F = 2cm (مُحسب سابقاً).
بما أن A I = A F = 2cm و A هي نقطة من (I F)، فإن **A هي منتصف [I F]**.
بما أن (A C) عمودي على (I F) في منتصفها A، فإن (A C) هو الموسط العمودي لـ [I F]. إذن، I و F متناظرتان بالنسبة إلى (A C). ✅
2. (أ) ابن النقطة A' مناظرة A بالنسبة إلى C.
الحل: 💡
بما أن A' مناظرة A بالنسبة إلى النقطة C (تناظر مركزي)، فإن C هي منتصف قطعة المستقيم [A A'].
الإنجاز: يتم بناء النقطة A' على استقامة A و C بحيث تكون A C = C A'.
2. (ب) بين أن A' C = A C.
الحل: 💡
بما أن A' هي مناظرة A بالنسبة إلى النقطة C، فإن C هي منتصف [A A'].
خاصية المنتصف تقتضي أن تكون المسافة بين الأطراف والمنتصف متساوية:
A' C = A C
ملاحظة: السؤال الوارد في النص الأصلي هو "بين أن A' C = 4cm"، وهذا غير ممكن إثباته إلا بوجود معطى آخر مثل A C = 4cm. الإثبات الصحيح الذي يمكن استنتاجه مباشرة من التعريف هو A' C = A C. ✅
3. (أ) حدد مناظر المستقيم (B F) بالنسبة إلى A.
الحل: 💡
مناظر مستقيم بالنسبة لنقطة هو مستقيم يمر من مناظرات نقطتين من المستقيم الأصلي:
مناظرة A (التي تنتمي لـ (B F)) بالنسبة لـ A هي A.
مناظرة B بالنسبة لـ A هي نقطة A'' بحيث A منتصف [B A''].
بما أن F تقع على (A B)، فإن (B F) هو نفسه المستقيم (A B).
مناظر المستقيم (A B) بالنسبة إلى A هو المستقيم (A B) نفسه (لأن التناظر المركزي يحول مستقيم إلى مستقيم مواز له ويمر من مركز التناظر إذا لم يكن المركز ينتمي إليه، وإلى نفسه إذا كان المركز ينتمي إليه).
إذن، مناظر المستقيم (B F) بالنسبة إلى A هو **المستقيم (A B)**.
3. (ب) حدد مناظر المستقيم (B F) بالنسبة إلى (A C).
الحل: 💡
بما أن (B F) هو نفسه المستقيم (A B) و (A B) عمودي على محور التناظر (A C) في النقطة A، فإن مناظر المستقيم (A B) بالنسبة لـ (A C) هو **المستقيم (A B) نفسه**.
التعليل: بما أن (A B) ⊥ (A C)، فإن مناظرة كل نقطة M من (A B) تقع على (A B).
4. بين أنّ النقاط A' و E و C على استقامة واحدة.
الحل: 💡
تذكير بالمعطيات والنقاط:
A' مناظرة A بالنسبة إلى C (أي C منتصف [A A']).
E هي نقطة تقاطع (A B) مع $\Delta$ (الموسط العمودي لـ [B C]).
A B C مثلث قائم الزاوية في A.
التبيان:
بما أن C منتصف [A A']، فإن A C = C A'.
في المثلث A B C، A E C مثلثات قائمة الزاوية.
بما أن E تقع على الموسط العمودي لـ [B C]، فإن E B = E C.
المستقيم (A' C) هو نفسه (A C) لأن A' و A و C على استقامة واحدة.
إذن، النقاط المطلوبة هي A و E و C على استقامة واحدة. **هذا الشرط لا يتحقق إلا إذا كانت E تقع على (A C)، وهذا غير ممكن إلا إذا كان B=A (أي A B = 0) أو C=A.**
التصحيح المحتمل للخطأ الوارد في نص التمرين: يُحتمل أن المقصود هو تبيان أن A' و C و E ليست على استقامة واحدة في الحالة العامة، أو أن المطلوب هو تبيان استقامة نقاط أخرى.
لنفترض أن السؤال قصد تبيان أن A' و B و $\mathbf{E}$ على استقامة واحدة (وهو غير صحيح)، أو $\mathbf{A'}$ و $\mathbf{A}$ و $\mathbf{C}$ على استقامة واحدة (وهو صحيح من تعريف A').
نعتبر الحل الوحيد الممكن: **النقاط A, C, A' على استقامة واحدة بحكم التناظر المركزي.**
بالنسبة للنقاط A', E, C في الحالة المعطاة: **ليست على استقامة واحدة في الحالة العامة** (إلا إذا كانت C=A). هذا السؤال يحتوي على خطأ في المعطيات الهندسية. سنلتزم بأن السؤال يتطلب إثبات شيء غير صحيح في الحالة العامة ونؤكد الخطأ.
5. لتكن $\mathcal{C}$ دائرة مركزها B و شعاعها [B I]. ابن الدائرة $\mathcal{C}'$: مناظرة $\mathcal{C}$ بالنسبة إلى A.
الحل: 💡
مناظرة دائرة بالنسبة إلى نقطة (تناظر مركزي) هي دائرة لها نفس الشعاع ومركزها هو مناظر مركز الدائرة الأصلية.
شعاع $\mathcal{C}$: R = B I. بما أن I منتصف [A B] و A B = 4cm، فإن R = 4 ÷ 2 = 2cm.
مركز $\mathcal{C}'$: هو مناظر B بالنسبة إلى A.
ليكن المركز الجديد O'. O' هو مناظر B بالنسبة إلى A، أي أن A هي منتصف [B O'].
O' يقع على المستقيم (A B) و A O' = 4cm.
إذن، الدائرة $\mathcal{C}'$ هي **الدائرة التي مركزها النقطة O' (مناظرة B بالنسبة لـ A) و شعاعها 2cm**.