4. إذا كانت $\Delta$ هي **الموسط العمودي** لقطعة المستقيم [A B]، فإن:
أ) A و B نقطتان من $\Delta$
ب) مناظر [A B] بالنسبة لـ $\Delta$ هو [B A] ✨
ج) $\Delta$ يوازي (A B)
الإجابة الصحيحة هي: ب) مناظر [A B] بالنسبة لـ $\Delta$ هو [B A] 🎯
الشرح: بما أن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ [A B]، فإن مناظرة A بالنسبة لـ $\Delta$ هي B، ومناظرة B هي A. إذن مناظر [A B] هو [B A].
🎪 التمرين رقم 2 (5 نقاط): نظرية الأعداد 🎪
ليكن العددان الصحيحان الطبيعيان m = 441 و n = 135.
1. (أ) فكك m و n إلى جذاء عوامل أولية.
الحل: 🧠
تفكيك m:
441 = 3 × 147 = 3² × 49 = 3² × 7²
تفكيك n:
135 = 5 × 27 = 5 × 3³ = 3³ × 5¹
1. (ب) استنتج أن m مربع كامل لعدد صحيح طبيعي.
الحل: 🧠
لدينا m = 3² × 7².
m = (3 × 7)² = 21²
بما أن أسس جميع العوامل الأولية في تفكيك m هي أعداد زوجية (2 و 2)، فإن **m هو مربع كامل** للعدد الصحيح الطبيعي 21. ✅
1. (ج) استنتج تفكيكاً إلى جذاء عوامل أولية للعدد m × n.
الحل: 🧠
m × n = (3² × 7²) × (3³ × 5¹) m × n = 3^(2+3) × 5¹ × 7² m × n = 3⁵ × 5¹ × 7²
2. (أ) أوجد ق.م.أ (m, n).
الحل: 🧠
نأخذ القواسم المشتركة بأصغر أس:
m = 3² × 7² n = 3³ × 5¹ ق.م.أ (m, n) = 3² = 9
2. (ب) استنتج عناصر المجموعة D_n ∩ D_m (مجموعة القواسم المشتركة).
الحل: 🧠
مجموعة القواسم المشتركة للعددين m و n هي مجموعة قواسم ق.م.أ (m, n) = 9.
قواسم 9 هي: 1, 3, 9.
D_n ∩ D_m = {1, 3, 9}
3. (أ) أوجد D_441 (مجموعة قواسم 441).
الحل: 🧠
لدينا 441 = 3² × 7². عدد القواسم هو (2+1) × (2+1) = 9 قواسم.
القواسم هي: 3^a × 7^b حيث a ∈ {0, 1, 2} و b ∈ {0, 1, 2}.
D_441 = {1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441}
3. (ب) إذا اعتبرنا أن 441 هو عدد السياح الذين سيتم نقلهم إلى مدينة أثرية بسيارات حيث يكون بكل سيارة نفس العدد من السياح. استنتج عدد السيارات إذا علمت أنه يتكون من رقمين رقم آحاده أولي وقاسم لعشراته.
الحل: 🧠
عدد السيارات هو قاسم من قواسم 441 وينتمي إلى D_441.
عدد السيارات يتكون من رقمين، إذن يجب أن يكون من القواسم التالية: 21, 49, 63, 147, 441. (نستبعد 147 و 441 لأنهما يحتويان على 3 أرقام). القواسم ذات الرقمين هي: 21, 49, 63.
شرط الرقمين: رقم الآحاد أولي و قاسم لرقم العشرات.
العدد (X)
رقم الآحاد (U)
رقم العشرات (T)
الشرط: U أولي؟
الشرط: U قاسم لـ T؟
النتيجة
21
1
2
لا (1 ليس أولياً)
نعم (1 قاسم لـ 2)
❌
49
9
4
لا (9 ليس أولياً)
لا (9 ليس قاسم لـ 4)
❌
63
3
6
نعم (3 أولي)
نعم (3 قاسم لـ 6)
✅
إذن، **عدد السيارات هو 63**.
📐 التمرين رقم 3 (5 نقاط): الهندسة 📐
تأمل الشكل: ABCD شبه منحرف قائم الزاوية في A و D حيث A B = A D = 4cm و D C = 6cm و قيس الزاوية B C D = 65°. لتكن I منتصف [B D] و J نقطة من [B C].
1. بين أن B مناظرة D بالنسبة إلى (A I).
الحل: 💡
نعتبر المثلث **A D B**. لدينا A D = A B = 4cm (معطى). إذن المثلث A D B هو **مثلث متساوي الساقين** في A.
لدينا I منتصف [B D] (معطى).
في مثلث متساوي الساقين، الموسط (A I) المتعلق بالقاعدة [B D] هو أيضاً الموسط العمودي للقاعدة [B D].
بما أن (A I) هو **الموسط العمودي** لـ [B D]، فإن D و B متناظرتان بالنسبة للمستقيم (A I). ✅
2. (أ) إبن النقطة E مناظرة C بالنسبة الى (A I). (ب) احسب قيس الزاوية A D E.
الحل: 💡
حساب قيس الزاوية A D E:
A و D تنتميان إلى محور التناظر (A I) لأن D مناظرة B بالنسبة لـ (A I) و A هي مركز I (خطأ في المعطيات: A و I هما النقطتان المعروفتان، **(AI)** هو محور التناظر). **نعتبر أن A هي النقطة الثابتة الوحيدة على المحور**.
مناظرة C بالنسبة لـ (A I) هي E.
مناظرة B بالنسبة لـ (A I) هي D (من السؤال 1).
التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا. إذن، مناظرة الزاوية A B C هي الزاوية A D E.
في شبه المنحرف القائم A B C D، لدينا A B يوازي D C (خطأ: شبه المنحرف هو A B C D حيث $\hat{A} = \hat{D} = 90^\circ$). إذن (A B) // (D C) إذا كان شبه منحرف مستطيل. A D // B C. **المعطى هو شبه منحرف قائم الزاوية في A و D. إذن (A D) // (B C) أو (A B) // (D C). نعتمد (A B) // (D C)**.
نحسب قيس الزاوية A B C: لدينا $\hat{A}=90^{\circ}$ و $\hat{D}=90^{\circ}$. مجموع زوايا رباعي هو $360^{\circ}$.
قيس(A B C) = 360° - (قيس(B C D) + قيس(A D C) + قيس(B A D)) قيس(A B C) = 360° - (65° + 90° + 90°) = 360° - 245° = 115°.
بما أن مناظرة A B C بالنسبة لـ (A I) هي A D E، فإن **قيس(A D E) = قيس(A B C) = 115°**. (ملاحظة: هذا الحل يفترض أن A و D هما مناظرتان لـ A و B وهو ما تم إثباته في السؤال 1). ✅
2. (ج) بين أن E B = 6cm.
الحل: 💡
E هي مناظرة C بالنسبة لـ (A I) (معطى). إذن A I هو الموسط العمودي لـ [C E].
B هي مناظرة D بالنسبة لـ (A I) (من السؤال 1).
التناظر المحوري يحافظ على المسافات. إذن: E B هو مناظر C D.
E B = C D بما أن C D = 6cm (معطى)، فإن E B = 6cm.
3. ما هو مناظر نصف المستقيم [B J ) بالنسبة إلى (A I) ؟ علل جوابك.
الحل: 💡
التناظر المحوري يحافظ على الاستقامة وطبيعة الأشكال (نصف مستقيم).
مناظرة النقطة B بالنسبة لـ (A I) هي النقطة D (من السؤال 1).
مناظرة النقطة J بالنسبة لـ (A I) هي النقطة K (من السؤال 4.أ).
إذن، مناظر نصف المستقيم [B J ) بالنسبة إلى (A I) هو **نصف المستقيم [D K )**.
4. (أ) إبن النقطة K مناظرة J بالنسبة إلى (A I). (ب) بين أن النقاط D و K و E على استقامة واحدة.
الحل: 💡
التبيان:
لدينا النقاط B, J, C على استقامة واحدة (لأن J نقطة من [B C]).
التناظر المحوري بالنسبة للمستقيم (A I) يحافظ على الاستقامة.
مناظرة النقطة B بالنسبة لـ (A I) هي النقطة D (من السؤال 1).
مناظرة النقطة J بالنسبة لـ (A I) هي النقطة K (معطى في السؤال 4.أ).
مناظرة النقطة C بالنسبة لـ (A I) هي النقطة E (من السؤال 2.أ).
بما أن النقاط B, J, C على استقامة واحدة، فإن مناظراتها D, K, E هي أيضاً على استقامة واحدة. ✅