📝 تجميع لتمارين المراقبة عدد 3 في الرياضيات 📝

الإجابة الصحيحة هي: أ) 23,651 🎯

الشرح: رقم الآحاد هو 3، ورقم الأجزاء من الأعشار هو 6. 6 = 2 × 3.

الإجابة الصحيحة هي: ب) AB=31 m, AC=57 m, BC=48 m 🎯

الشرح: يجب أن يتحقق شرط المتباينة المثلثية. في الحالة (ب): 31 + 48 = 79 و 79 > 57. وفي الحالة (ج): 31 + 26 = 57، أي AB + BC = AC، فالنقاط على استقامة واحدة ولا تشكل مثلثاً.

الإجابة الصحيحة هي: أ) 2³ × 5² × 7 × 11 🎯

الشرح: م.م.أ (المضاعف المشترك الأصغر) نأخذ فيه جميع العوامل الأولية بأكبر أس.

الحل: 🧠

1. **القسمة على 25:** يجب أن يكون العدد 0Y (الرقمان الأخيران) يساوي 00 أو 25 أو 50 أو 75. إذن Y ∈ {0, 5}.
2. **القسمة على 4:** يجب أن يكون العدد 0Y قابلاً للقسمة على 4. هذا يتحقق فقط إذا كان 0Y = 00. إذن Y = 0. (نستبعد Y=5 لأن 05 ليس قابلاً للقسمة على 4).
3. **القسمة على 3 (و 9):** العدد أصبح 8X100. مجموع أرقامه هو 8 + X + 1 + 0 + 0 = 9 + X. ليكون قابلاً للقسمة على 3، يجب أن يكون 9 + X مضاعفاً للعدد 3.

   القيم الممكنة لـ X هي: 0, 3, 6, 9.

الأعداد الممكنة هي: 80100, 83100, 86100, 89100. ✅

الحل: 💡

هذا مجموع متتالية هندسية حدها الأول 1 وأساسها 2. القاعدة هي S = 2^{n+1} - 1 حيث n هو أكبر أس.

الحل: 🛠️

1. **صياغة المسألة:**
   • N + 37 (العدد الجملي للتلاميذ الذين عبروا عن رغبتهم) هو مضاعف للعدد 72. (حيث 37 هم الذين لم يعبروا عن رغبتهم، والمعنى أن العدد الإجمالي لجميع التلاميذ باستثناء 37 هو مضاعف لـ 72).
   • N + 37 هو مضاعف للعدد 162. (أو قد يعني النص أن N نفسه مضاعف لـ 162، لكن المعطيات تشير إلى أن العدد N + 37 هو الذي يقبل القسمة على 162 و 72).
   • 3000 < N < 3500. إذن 3037 < N + 37 < 3537.
2. **حساب المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) لـ 72 و 162:**
   • 72 = 2³ × 3²
   • 162 = 2¹ × 3⁴
   • م.م.أ (72, 162) = 2³ × 3⁴ = 8 × 81 = 648.
3. **البحث عن N:**

   يجب أن يكون N + 37 مضاعفاً لـ 648 ومحصوراً بين 3037 و 3537.

   648 × 5 = 3240 (هذا هو المضاعف الوحيد في المجال)

   إذن N + 37 = 3240.

   N = 3240 - 37 = 3203

العدد الجملي لتلاميذ السنوات التاسعة هو 3203 تلميذاً. ✅

الإجابة الصحيحة هي: ج) 21 🎯

الشرح: 9³ × 7² = (3²)³ × 7² = 3⁶ × 7². عدد القواسم هو (6+1) × (2+1) = 7 × 3 = 21.

الإجابة الصحيحة هي: ب) 4 و 9 🎯

الشرح: مجموع الأرقام هو 18 (يقبل القسمة على 9). الرقمان الأخيران هما 20 (يقبل القسمة على 4).

الإجابة الصحيحة هي: ب) a² × b 🎯

الشرح: بما أن a و b أوليان فيما بينهما، فإن تفكيك a × b و a² هو نفسه. م.م.أ نأخذ فيه أكبر أس لكل عامل.

الحل: 🧠

1. **القسمة على 4:** يجب أن يكون 3Y قابلاً للقسمة على 4. إذن Y ∈ {2, 6}.
2. **القسمة على 9:** مجموع الأرقام 6 + X + 3 + Y = 9 + X + Y يجب أن يكون مضاعفاً للعدد 9.
   • **الحالة الأولى (Y=2):** 9 + X + 2 = 11 + X. ليكون مضاعفاً لـ 9، X = 7.

     العدد هو: 6732.

   • **الحالة الثانية (Y=6):** 9 + X + 6 = 15 + X. ليكون مضاعفاً لـ 9، X = 3.

     العدد هو: 6336.

الأعداد الممكنة هي: 6732 و 6336. ✅

الحل: 💡

بما أن 43 < 47، فإن هذه الكتابة تمثل القسمة الإقليدية لـ a على 47.

• القاسم: 47
• الخارج: 19
• الباقي: 43

الحل: 💡

لدينا a = 19 × 47 + 43. نقوم بقسمة الباقي 43 على القاسم 19:

نعوض في المساواة الأصلية:

الخارج: 49، الباقي: 5. ✅

الحل: 💡

بما أن (BI) و (AJ) هما **موسطان** (ميديان) للمثلث ABC (يصلان الرأس بمنتصف الضلع المقابل)، فإن نقطة تقاطعهما G هي **مركز ثقل** (مركز الموسطات) المثلث ABC. ✅

الحل: 💡

بما أن O هي نقطة تقاطع **منصفي زاويتين** من المثلث ABC، فإن النقطة O هي **مركز الدائرة المحاطة** بالمثلث ABC (مركز منصفات الزوايا). ✅

الإجابة الصحيحة هي: ج) زوجي 🎯

الشرح: بما أن العدد يحتوي على العامل 2³، فهو يقبل القسمة على 2، إذن هو عدد زوجي. 2³ × 19² = 8 × 361 = 2888.

الحل: 💡

إذا كان عدد الكرات الصفراء هو J، فإن العدد الجملي هو: N = J + 8J + 3J = 12J. يجب أن يكون N مضاعفاً للعدد 12.

ملاحظة: لا يوجد مضاعف للعدد 12 ضمن الخيارات المقترحة (177, 171, 164). أقرب مضاعف هو 12 × 14 = 168.

الإجابة الصحيحة هي: أ) a=6, b=5 🎯

الشرح:

• القسمة على 4: 3a يقبل القسمة على 4. إذن a ∈ {2, 6}.
• القسمة على 3: 4 + b + 3 + a = 7 + a + b يقبل القسمة على 3.
• الاختيار (أ): a=6, b=5. 7 + 6 + 5 = 18 (يقبل القسمة على 3). 36 يقبل القسمة على 4.

الحل: 🛠️

• **أ) التفكيك:**
  a = 34 × 14 = (2 × 17) × (2 × 7) = 2² × 7 × 17
  b = 315 × 2² = (5 × 63) × 4 = (3² × 5 × 7) × 2² = 2² × 3² × 5 × 7
• **ب) ق.م.أ (a, b):** (قاسم مشترك أكبر)
  ق.م.أ (a, b) = 2^{\min(2, 2)} × 7^{\min(1, 1)} = 2² × 7 = 4 × 7 = 28
• **ج) D_a ∩ D_b:** هي مجموعة قواسم ق.م.أ (a, b).
  D_a ∩ D_b = D_{28} = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

الحل: 💡

نحسب قيمة التفكيك المقترح:

الحل: 💡

بما أن جميع أسس العوامل الأولية في تفكيك b - a = 2⁴ × 7² هي أعداد زوجية (4 و 2)، فإن b - a هو مربع كامل.

b - a هو المربع الكامل للعدد 28. ✅

الحل: 🧠

أكبر عدد ممكن من العلب هو القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) لـ 480 و 608.

أكبر عدد ممكن من العلب هو 32 علبة. ✅

الحل: 💡

• عدد القطع الحمراء في كل علبة: 480 ÷ 32 = 15 قطعة.
• عدد القطع الزرقاء في كل علبة: 608 ÷ 32 = 19 قطعة.

الإجابة الصحيحة هي: أ) 1,253 🎯

الشرح: الرقم بعد الفاصلة بثلاثة أرقام هو الأجزاء من الألف.

الإجابة الصحيحة هي: أ) 100 🎯

الشرح: تم إزاحة الفاصلة برقمين نحو اليسار، أي تمت القسمة على 100.

الإجابة الصحيحة هي: ب) AC + BC = AB 🎯

الشرح: هذا هو شرط استقامة النقاط.

الحل: 🛠️

• 513 = 3³ × 19
• 1368 = 2³ × 3² × 19

الحل: 💡

نختزل الكسر:

بما أن المقام بعد الاختزال (8) هو قوة للعدد 2، فإن الكسر يمثل عدداً عشرياً: 3 ÷ 8 = 0.375.

على صورة a/10^n: