🎯 اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية:
1. مقابل (0,3 × 10²) هو:
أ) (+30)
ب) (-30) ✨
ج) (-3)
الإجابة الصحيحة هي: ب) (-30) 🎯
الشرح: 0,3 × 10² = 0,3 × 100 = 30. مقابل 30 هو -30.
2. محيط مستطيل هو 100cm و 0,1 × 172,8 أحد أبعاده. إذن البعد الثاني يساوي:
أ) 32,72 ✨
ب) 82,72
ج) 48,272
الإجابة الصحيحة هي: أ) 32,72 🎯
الشرح:
نصف المحيط يساوي 100 / 2 = 50cm.
البعد الأول يساوي 0,1 × 172,8 = 17,28cm.
البعد الثاني يساوي 50 - 17,28 = 32,72cm.
3. a و b عددان أوليان فيما بينهما. إذن م.م.أ (a × b, a²) هو:
أ) a × b
ب) a² × b ✨
ج) a²
الإجابة الصحيحة هي: ب) a² × b 🎯
الشرح: بما أن a و b أوليان فيما بينهما، فإن تفكيك a × b هو a¹ × b¹ وتفكيك a² هو a². لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ)، نأخذ العوامل المشتركة وغير المشتركة بأكبر أس:
م.م.أ (a × b, a²) = a^(max(1, 2)) × b^(max(1, 0)) = a² × b
🎪 التمرين رقم 2: (10 نقاط) 🎪
(1) أحسب التعابير التالية:
أ) A = (12,7 - 8,94) - 1,06
الحل: 🛠️
A = 12,7 - (8,94 + 1,06) A = 12,7 - 10 A = 2,7 ✅
ب) B = (9,15 + 2,978) + (9 - 2,978)
الحل: (باستخدام خاصية التجميع) 🧠
B = 9,15 + 2,978 + 9 - 2,978 B = 9,15 + 9 + (2,978 - 2,978) B = 18,15 + 0 B = 18,15 ✅
ج) C = 72,15 × 8,19 + 72,15 × 1,23 + 94,2 × 2,785
الحل: (باستخدام خاصية التوزيع)
C = 72,15 × (8,19 + 1,23) + 94,2 × 2,785 C = 72,15 × 9,42 + 94,2 × 2,785 C = 72,15 × 9,42 + (9,42 × 10) × 2,785 C = 9,42 × (72,15 + 10 × 2,785) C = 9,42 × (72,15 + 27,85) C = 9,42 × 100 C = 942 ✅
(2) القواسم والمضاعفات
نعتبر العددين a = 2³ × 3 × 5 و b = 2² × 3².
أ- أحسب القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) والمضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للعددين a و b.
الحل: 💡
تفكيك العوامل الأولية: a = 2³ × 3¹ × 5¹ و b = 2² × 3² × 5⁰.
ق.م.أ (القاسم المشترك الأكبر): نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس.
ق.م.أ (a, b) = 2² × 3¹ × 5⁰ = 4 × 3 × 1 = 12
م.م.أ (المضاعف المشترك الأصغر): نأخذ العوامل المشتركة وغير المشتركة بأكبر أس.
م.م.أ (a, b) = 2³ × 3² × 5¹ = 8 × 9 × 5 = 360
ب - استنتج عناصر المجموعتين التاليتين: D_a ∩ D_b و M_a ∩ M_b.
الحل: 🛠️
1. مجموعة القواسم المشتركة (D_a ∩ D_b):
هي مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر (12).
D_a ∩ D_b = D_12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2. مجموعة المضاعفات المشتركة (M_a ∩ M_b):
هي مجموعة مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر (360).
M_a ∩ M_b = M_360 = {0, 360, 720, 1080, ...} = {360 × k / k عدد صحيح طبيعي}
(3) مسألة تطبيقية
عدد تلاميذ مدرسة إعدادية محصور بين 1400 و 1500. إذا ما أضفنا لهم 14 تلميذا من المدرسة الابتدائية المجاورة يمكن تقسيمهم كليا إلى مجموعات متكونة من a تلميذا أو إلى مجموعات متكونة من b تلميذا. حدد معللا جوابك عدد تلاميذ المدرسة الإعدادية.
الحل: 🧠
ليكن N عدد تلاميذ المدرسة الإعدادية. لدينا 1400 < N < 1500.
العدد N + 14 هو مضاعف مشترك لكل من a و b. إذن N + 14 هو مضاعف للمضاعف المشترك الأصغر م.م.أ(a, b) = 360.
نبحث عن مضاعفات 360 التي تقع في المجال (1400 + 14, 1500 + 14) = (1414, 1514).
M_360 = {360, 720, 1080, 1440, 1800, ...}
المضاعف الوحيد في المجال (1414, 1514) هو 1440.
إذن N + 14 = 1440.
عدد تلاميذ المدرسة الإعدادية هو N = 1440 - 14 = 1426.
عدد تلاميذ المدرسة الإعدادية هو 1426. ✅
📐 التمرين رقم 3 (هندسة: دائرتان متقاطعتان) 📐
في الرسم المرافق، C و C' دائرتان متقاطعتان في نقطتين A و B مركزيهما على التوالي O و O1.
1. بين أن النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة إلى (OO1).
الحل: 🧠
المستقيم الذي يربط مركزي دائرتين متقاطعتين (OO1) هو **الموسط** العمودي للوتر المشترك [AB].
بما أن (OO1) هو الموسط العمودي لـ [AB]، فإن النقطتين A و B متناظرتان بالنسبة للمستقيم (OO1). ✅
2. نصف المستقيم [O1A) يقطع الدائرة C في نقطة ثانية E. حدد معللا جوابك مناظر نصف المستقيم [O1E) بالنسبة إلى (OO1).
الحل: 💡
بما أن التناظر المحوري بالنسبة للمستقيم (OO1) يحافظ على الاستقامة والمسافة:
مناظرة النقطة O1 هي O1 نفسها لأنها تقع على محور التناظر (OO1).
مناظرة النقطة A هي B (من السؤال السابق).
مناظرة النقطة E (التي تقع على الدائرة C) هي نقطة F (نفترضها حسب باقي التمرين) وتقع على الدائرة C' (مناظرة C).
نصف المستقيم [O1E) يقع على المستقيم (O1A). مناظرة المستقيم (O1A) هي المستقيم (O1B).
إذن، مناظر نصف المستقيم [O1E) هو نصف المستقيم [O1F)، حيث F هي مناظرة E بالنسبة لـ (OO1)، وهي النقطة الثانية لتقاطع المستقيم (O1B) مع الدائرة C'. (ملاحظة: F مذكورة في السؤال التالي).
3. المستقيم المار من E والعمودي على (OO1) يقطع الدائرة C في نقطة ثانية F.
أ- حدد معللا جوابك مناظر المستقيم (EF) بالنسبة إلى (OO1).
الحل: 🛠️
بما أن المستقيم (EF) عمودي على محور التناظر (OO1)، فإنه مستقيم ثابت (invariante).
إذن، مناظر المستقيم (EF) بالنسبة إلى (OO1) هو المستقيم (EF) نفسه. ✅
ب - بين أن النقطتين E و F متناظرتان بالنسبة إلى (OO1).
الحل: 🧠
حسب معطيات السؤال، المستقيم (EF) يمر من E وعمودي على (OO1). وبما أن F هي النقطة الثانية لتقاطع هذا المستقيم مع الدائرة C، فإن (OO1) هو الموسط العمودي للقطعة [EF]. (هذا هو تعريف النقطة F).
إذن، النقطتان E و F متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم (OO1). ✅
ج - بين أن BE = AF.
الحل: 💡
نعلم أن التناظر المحوري يحافظ على الأبعاد (المسافات).
مناظر B بالنسبة لـ (OO1) هو A (من السؤال 1).
مناظر E بالنسبة لـ (OO1) هو F (من السؤال 3-ب).
بما أن القطعة [BE] مناظرة للقطعة [AF] بالنسبة لـ (OO1)، فإن لهما نفس الطول. إذن BE = AF. ✅
د - بين أن النقاط O1 و B و F على استقامة واحدة.
الحل: 🧠
لدينا O1 تقع على محور التناظر (OO1)، وE و A و O1 على استقامة واحدة (من السؤال 2). بما أن التناظر يحافظ على الاستقامة:
مناظر المستقيم (O1A) هو المستقيم (O1B).
F هي مناظرة E، إذن F تقع على مناظر المستقيم (O1A).
بما أن F تقع على (O1B)، فإن النقاط O1 و B و F على استقامة واحدة. ✅