📝 فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات 📝

🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة
📚 السابعة أساسي - إعداد الأستاذ : فوزي الغربي
🚀 التمرين رقم 1: اختر الإجابة الصحيحة (4 نقاط) 🚀
🎯 اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية:
1. عدد قواسم الجذاء 9^{3}\times7^{2} هو:
أ) 6
ب) 12
ج) 21 ✨

الإجابة الصحيحة هي: ج) 21 🎯

الشرح: أولاً، نفكك العدد إلى جذاء عوامل أولية: 🧠

9^{3}\times7^{2} = (3^{2})^{3}\times7^{2} = 3^{6}\times7^{2}

عدد القواسم يساوي جذاء (الأس+1) لكل عامل أولي:

عدد القواسم = (6+1) \times (2+1) = 7 \times 3 = 21 ✅
2. العدد 635220 يقبل القسمة على :
أ) 6
ب) 12 ✨
ج) 21

الإجابة الصحيحة هي: ب) 12 🎯

الشرح: العدد 635220 يقبل القسمة على 12 لأنه يقبل القسمة على 3 وعلى 4 في نفس الوقت. 🕵️‍♂️

  • قابلية القسمة على 4: العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات هو 20، و $20 \div 4 = 5$. إذن، يقبل القسمة على 4. ✅
  • قابلية القسمة على 3: مجموع الأرقام هو $6+3+5+2+2+0 = 18$. بما أن 18 مضاعف لـ 3، إذن يقبل القسمة على 3. ✅

بما أنه يقبل القسمة على 3 و 4، فإنه يقبل القسمة على $3 \times 4 = 12$. (كما أنه يقبل القسمة على 6، لكن 12 هي الخيار الأقوى من بين الخيارات المتوفرة).

3. a و b عددان صحيحان طبيعيان مخالفان للصفر، حيث $a$ عدد أولي و $b$ عدد أولي مختلف عن $a$. إذن م.م.أ (a,b) يساوي :
أ) a
ب) b
ج) a \times b ✨

الإجابة الصحيحة هي: ج) a \times b 🎯

الشرح: بما أن a و b عددان أوليان مختلفان، فهما أوليان فيما بينهما. المضاعف المشترك الأصغر لعددين أوليين فيما بينهما هو جذاؤهما. 🧠

م.م.أ (a,b) = a \times b ✅
4. نعتبر الرسم التالي نصف مستقيم مخالف لـ [BD) هو:
أ) [BD)
ب) [DB) ✨
ج) $\text{(DB}]$ ومخالف لـ [BD)

الإجابة الصحيحة هي: ب) [DB) 🎯

الشرح: نصف المستقيم [BD) هو مجموعة النقاط التي تبدأ من B وتمر بـ D. نصف المستقيم [DB) هو مجموعة النقاط التي تبدأ من D وتمر بـ B. هذان نصفا مستقيم مختلفان. 🧠

🎪 التمرين رقم 2 (تطبيقات قابلية القسمة والقسمة الإقليدية) 🎪
1. ضع الرقم المناسب مكان النقاط ليصبح العدد \overline{6 \bullet \bullet 3} قابلاً للقسمة على 4 و 9. قدم جميع الحلول الممكنة.

ملاحظة هامة: العدد الذي ينتهي بالرقم 3 ($\overline{\dots 3}$) هو عدد فردي. أي عدد فردي لا يقبل القسمة على 4 (لأن قابلية القسمة على 4 تتطلب أن يكون العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابلاً للقسمة على 4، وتلك الأعداد تكون زوجية). ❌

النتيجة: لا يوجد رقم يمكن وضعه مكان النقاط ليصبح العدد \overline{6 \bullet \bullet 3} قابلاً للقسمة على 4. (نفترض وجود خطأ مطبعي في نص التمرين الأصلي).

2. نعتبر المساواة التالية a=19\times47+43.
(أ) إذا علمت أن الكتابة السابقة تمثل قسمة إقليدية، حدّد معللاً جوابك القاسم.

الحل: 🧠

شكل القسمة الإقليدية هو: المقسوم = القاسم \times الخارج + الباقي، حيث الباقي أصغر قطعاً من القاسم (r < b).

في المساواة a=19\times47+43، لدينا: الباقي هو 43، والقاسم يمكن أن يكون 19 أو 47.

  • إذا كان القاسم هو 19، فالباقي هو 43. لكن $43 \not< 19$. ❌
  • إذا كان القاسم هو 47، فالباقي هو 43. وبما أن $43 < 47$. ✅

إذن، **القاسم هو 47**، والخارج هو 19، والباقي هو 43. ✅

(ب) حدد دون حساب قيمة a الباقي والخارج للقسمة الإقليدية للعدد a على 19. علل جوابك.

الحل: 🛠️

لدينا a = 19 \times 47 + 43. نقوم بقسمة الباقي 43 على 19:

43 = 2 \times 19 + 5

نعوض في المساواة الأصلية:

a = 19 \times 47 + (2 \times 19 + 5)
a = 19 \times (47 + 2) + 5
a = 19 \times 49 + 5

بما أن $5 < 19$، فإن:

  • **القاسم:** 19
  • **الخارج:** 49
  • **الباقي:** 5 ✅
3. بين أن المجموع 6516^{3}+2^{10} يقبل القسمة على 5.

الحل: يقبل عدد القسمة على 5 إذا كان رقم آحاده 0 أو 5. 💡

  1. نحدد رقم آحاد 6516^{3}:
    • رقم آحاده هو رقم آحاد 6^{3}.
    • $6^1 = 6, 6^2 = 36, 6^3 = 216$. رقم الآحاد هو 6.
  2. نحدد رقم آحاد 2^{10}:
    • قوى العدد 2 تنتهي بـ: 2، 4، 8، 6، (تتكرر كل 4).
    • $10 = 4 \times 2 + 2$. إذن رقم آحاده هو الرقم الثاني في الدورة، وهو 4.
  3. نحدد رقم آحاد المجموع:
    • رقم آحاد المجموع هو رقم آحاد $6 + 4 = 10$.
    • رقم آحاد المجموع هو 0.

بما أن رقم آحاد المجموع 6516^{3}+2^{10} هو 0، فإنه يقبل القسمة على 5. ✅

🔬 التمرين رقم 3 (جذاء العوامل الأولية والقواسم والمضاعفات) 🔬
نعتبر العددين a=2^{3}\times9 و b=162.
1. أ- فكك العددين a و b إلى جذاء عوامل أولية.
a = 2^{3} \times 9 = 2^{3} \times 3^{2} ✅
b = 162 = 2 \times 81 = 2 \times 3^{4} = 2^{1} \times 3^{4} ✅
ب- بين أن الجذاء a \times b هو مربع كامل.

الحل: نحسب جذاء a \times b وننظر إلى أسس العوامل الأولية. 🛠️

a \times b = (2^{3} \times 3^{2}) \times (2^{1} \times 3^{4})
= 2^{3+1} \times 3^{2+4}
= 2^{4} \times 3^{6}

بما أن جميع أسس العوامل الأولية (4 و 6) زوجية، فإن الجذاء a \times b هو مربع كامل. ✅

ج - أحسب ق.م.أ (a,b).

حساب ق.م.أ (a,b) (القاسم المشترك الأكبر): نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس. 🧠

ق.م.أ (a,b) = 2^{\min(3,1)} \times 3^{\min(2,4)}
= 2^{1} \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18 ✅
2. لتلميذ ورقة مقوّاة بعداها a و b بحساب الصنتمتر. أراد تقسيمها إلى قطع مربعة الشكل ومتطابقة دون إتلاف أي جزء من الورقة. أوجد معللاً جوابك طول ضلع المربع إذا علمت أنه محصور بين 8 و 12 صنتمتراً.

الحل: يجب أن يكون طول ضلع المربع قاسماً مشتركاً للبعدين a=72 و b=162. 📐

  • القواسم المشتركة للعددين a و b هي قواسم ق.م.أ (a,b) = 18.
  • قواسم العدد 18 هي: 1، 2، 3، 6، 9، 18.
  • بما أن طول الضلع محصور بين 8 و 12 سنتمتراً، فإن القاسم الوحيد الذي يحقق هذا الشرط هو 9.

طول ضلع المربع هو 9 سنتمترات. ✅

3. لتكن الأعداد x=9\times51^{2} ؛ y=12^{2}\times5+12^{2}\times7 ؛ z=400^{3}.
(أ) أكتب الأعداد السابقة في صيغة جذاء عوامل أولية.

الحل: نقوم بتفكيك كل عدد: 🛠️

  • x:
    x = 9 \times 51^{2} = 3^{2} \times (3 \times 17)^{2} = 3^{2} \times 3^{2} \times 17^{2} = 3^{4} \times 17^{2}
  • y:
    y = 12^{2} \times (5+7) = 12^{2} \times 12 = 12^{3}
    y = (2^{2} \times 3)^{3} = 2^{6} \times 3^{3}
  • z:
    z = 400^{3} = (4 \times 100)^{3} = (2^{2} \times 10^{2})^{3}
    z = (2^{2} \times (2 \times 5)^{2})^{3} = (2^{2} \times 2^{2} \times 5^{2})^{3} = (2^{4} \times 5^{2})^{3} = 2^{12} \times 5^{6}
ب) استنتج تفكيكاً إلى جداء عوامل أولية للأعداد x^{2}y و \sqrt{x}.

الحل: نستخدم تفكيك الأعداد في السؤال (أ). 🧠

  • تفكيك x^{2}y:
    x^{2}y = (3^{4} \times 17^{2})^{2} \times (2^{6} \times 3^{3})
    x^{2}y = (3^{8} \times 17^{4}) \times (2^{6} \times 3^{3})
    x^{2}y = 2^{6} \times 3^{8+3} \times 17^{4} = 2^{6} \times 3^{11} \times 17^{4} ✅
  • تفكيك \sqrt{x}:
    \sqrt{x} = \sqrt{3^{4} \times 17^{2}} = 3^{4 \div 2} \times 17^{2 \div 2} = 3^{2} \times 17^{1}
    \sqrt{x} = 9 \times 17 = 153 ✅
ج) دون إجراء عملية بين أن y يقبل القسمة على 6.

الحل: 💡

  • يقبل عدد القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على 2 و 3 في آن واحد.
  • تفكيك y هو: y = 2^{6} \times 3^{3}.
  • بما أن 2^{6} عامل في y، فإن y يقبل القسمة على 2. ✅
  • بما أن 3^{3} عامل في y، فإن y يقبل القسمة على 3. ✅
  • إذن، y يقبل القسمة على 6. ✅

    • ملاحظة: لقد قمنا بتصحيح السؤال الأصلي الذي كان غير مكتمل أو غير منطقي ($y-z$ ليس مضاعفاً لـ 642) وافترضنا السؤال المنطقي الذي يتناسب مع تفكيك y.

📐 التمرين رقم 4 (هندسة) 📐
في الرسم المرافق ABC مثلثاً حيث I منتصف [AC] و J منتصف [BC].
1. (أ) (BI) و (AJ) يتقاطعان في نقطة G. ماذا تمثل النقطة G بالنسبة إلى المثلث ABC ؟ علل جوابك.

الحل: 🧠

  • بما أن I منتصف [AC]، فإن [BI] هو **موسط** (ميديان) في المثلث ABC.
  • بما أن J منتصف [BC]، فإن [AJ] هو **موسط** في المثلث ABC.
  • النقطة G هي نقطة تقاطع الموسطين [BI] و [AJ].

إذن، النقطة G تمثل **مركز ثقل** المثلث ABC. ✅

ب - استنتج أنّ المستقيم (CG) يقطع [AB] في منتصفها.

الحل: 💡

  • لدينا G هو مركز ثقل المثلث ABC.
  • مركز ثقل المثلث هو نقطة تقاطع الموسطات الثلاثة.
  • المستقيم (CG) يمر بالرأس C وبمركز الثقل G، إذن هو **الموسط الثالث** للمثلث.

وبالتالي، المستقيم (CG) يقطع الضلع المقابل [AB] في منتصفها. ✅

2. ابن [Ax) منصف الزاوية \widehat{BAC} و [Cz) منصف الزاوية \widehat{ACB} ثم عين O نقطة تقاطع (Ax) و (Cz). ماذا تمثل النقطة O بالنسبة إلى المثلث ABC ؟ علل جوابك.

الحل: 🧠

  • [Ax) هو منصف الزاوية \widehat{BAC}.
  • [Cz) هو منصف الزاوية \widehat{ACB}.
  • النقطة O هي نقطة تقاطع منصفين لزاويتين داخليتين في المثلث ABC.

إذن، النقطة O تمثل **مركز الدائرة المحاطة** بالمثلث ABC (نقطة تلاقي المنصفات). ✅

3. ابن [Jy) منصف الزاوية \widehat{AJB}. (Jy) و (OB) يتقاطعان في نقطة E. بين أنّ النقطة E تمثل مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABJ.

الحل: نطبق قاعدة مركز الدائرة المحاطة على المثلث ABJ. 💡

  • في المثلث ABJ:
    • [Jy) هو منصف الزاوية \widehat{AJB} (معطى).
    • المستقيم (OB) يمر بمركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC (O)، إذن (OB) هو منصف الزاوية \widehat{ABC}.
    • الزاوية \widehat{ABC} هي نفسها \widehat{ABJ}. إذن، (OB) هو منصف الزاوية \widehat{ABJ} في المثلث ABJ.
  • النقطة E هي نقطة تقاطع منصفين لزاويتين داخليتين في المثلث ABJ ((Jy) و (OB)).

إذن، النقطة E تمثل مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABJ. ✅

🏗️ التمرين رقم 5 (هندسة: دائرة وتناظر محوري) 🏗️
(\mathcal{C}) دائرة مركزها O وشعاعها 4cm و (D) مستقيم يقطع (\mathcal{C}) في A و B. (OE) هو المستقيم المار من O والعمودي على (AB)، و E نقطة على هذا المستقيم بحيث OE=5cm و O و E من نفس الجهة بالنسبة لـ (AB). (لتكن H نقطة تقاطع (OE) و (AB))
1. بين أن A و B متناظرتان بالنسبة لـ (OE).

الحل: نستخدم خاصية المثلث متقايس الضلعين. 🧠

  • لدينا OA = OB = 4cm (شعاع الدائرة (\mathcal{C})). إذن، المثلث OAB متقايس الضلعين في O.
  • لدينا (OE) \perp (AB) (معطى). أي (OE) هو ارتفاع صادر من O على الضلع [AB].
  • في مثلث متقايس الضلعين، الارتفاع الصادر من الرأس الأساسي هو أيضاً الموسط العمودي للضلع المقابل.
  • إذن، (OE) هو الموسط العمودي للقطعة [AB].

وبالتالي، النقطتان A و B متناظرتان بالنسبة للمستقيم (OE). ✅

2. حدد مناظرة O و E بالنسبة لـ (OE).

الحل: 💡

  • التناظر المحوري بالنسبة لمستقيم (محور التناظر) يترك النقاط الواقعة عليه ثابتة (صامدة).
  • بما أن النقطتين O و E تنتميان إلى محور التناظر (OE)، فإن مناظرتهما بالنسبة لـ (OE) هما النقطتان نفسهما.

مناظرة O هي O. مناظرة E هي E. ✅

3. حدد معللاً جوابك مناظر المستقيم (OE) بالنسبة لـ (AB).

الحل: 🧠

  • محور التناظر هو (AB).
  • المستقيم (OE) عمودي على محور التناظر (AB).
  • مناظر مستقيم عمودي على محور التناظر هو المستقيم نفسه.

إذن، مناظر المستقيم (OE) بالنسبة لـ (AB) هو المستقيم (OE) نفسه. ✅

4. لتكن F مناظرة E بالنسبة لـ (AB). بين أن AE = BF.

الحل: نستخدم خاصية التناظر المحوري. 📐

  • التناظر المحوري بالنسبة لمستقيم (AB) يحافظ على الأبعاد.
  • القطعة [AE] مناظرتها بالنسبة لـ (AB) هي القطعة [AF] (لأن مناظرة A هي A، ومناظرة E هي F). إذن AE = AF.
  • القطعة [BF] مناظرتها بالنسبة لـ (AB) هي القطعة [BE] (لأن مناظرة B هي B، ومناظرة F هي E). إذن BF = BE.
  • نلاحظ أن المثلثين القائمين AHE و BHE (حيث H تقاطع (OE) و (AB)) متطابقان (لأن AH=BH و HE ضلع مشترك).
  • وبالتالي، AE = BE.

بما أن $AE = BE$ و $BF = BE$، إذن **AE = BF**. ✅

5. (أ) المستقيم (AE) يقطع الدائرة (\mathcal{C}) في نقطة ثانية P. ابن مناظرة P بالنسبة لـ (AB) (لتكن Q هي المناظرة).

الحل: إنشاء هندسي. ✏️

النقطة Q هي مناظرة النقطة P بالنسبة للمستقيم (AB). للإنشاء، نرسم مستقيماً ماراً بـ P وعمودياً على (AB) في نقطة ولتكن K. النقطة Q تقع على هذا العمودي بحيث تكون K منتصف [PQ].

ب) بين ان A F Q على استقامة واحدة (باستبدال السؤال الأصلي لجعله منطقياً).

الحل: نستخدم خاصية التناظر المحوري. 🧠

  • التناظر المحوري بالنسبة لـ (AB) يحافظ على استقامية النقط.
  • نعلم أن النقاط A و P و E على استقامة واحدة.
  • مناظرة النقطة A بالنسبة لـ (AB) هي A.
  • مناظرة النقطة P بالنسبة لـ (AB) هي Q.
  • مناظرة النقطة E بالنسبة لـ (AB) هي F.
  • 💡 إذن، مناظراتها A و Q و F على استقامة واحدة. ✅
ج) بين أن \widehat{OBE} = \widehat{OAE}.

الحل: نستخدم تطابق المثلثات. 📐

  • لدينا H هي نقطة تقاطع (OE) و (AB). (OE) \perp (AB).
  • في المثلثين القائمين OHA و OHB:
    • الوتر OA = OB (شعاع).
    • الضلع المشترك OH.
    • إذن، \triangle OHA \cong \triangle OHB (حالة وتر وضلع).
    • وبالتالي، \widehat{OAH} = \widehat{OBH}.
  • بما أن H \in (AB) و H \in (OE)، فإن \widehat{OAE} = \widehat{OAH} و \widehat{OBE} = \widehat{OBH}.

إذن، \widehat{OAE} = \widehat{OBE}. ✅