📝 فرض مراقبة عدد 1 في الرياضيات 📝

🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة
📚 السابعة أساسي - إعداد الأستاذ : فوزي الغربي
🚀 التمرين رقم 1: اختر الإجابة الصحيحة (3 أسئلة) 🚀
🎯 اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية:
1. النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) تمثل رؤوسا لمثلث في حالة:
أ) الأبعاد: \(AB=2cm\) و \(AC=3cm\) و \(BC=25m\)
ب) الأبعاد: \(AB=31m\) و \(AC=57m\) و \(BC=48m\) ✨
ج) الأبعاد: \(AB=3m\) و \(AC=57m\) و \(BC=26m\)

الإجابة الصحيحة هي: ب) 🎯

الشرح: لتمثل النقاط رؤوس مثلث، يجب أن يتحقق شرط المتباينة المثلثية: مجموع طولي أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث. 🧠

  • في الحالة (أ): \(2 + 3 = 5\) وهي أصغر من 25 (لا يحقق).
  • في الحالة (ب): \(31 + 48 = 79 > 57\)، و \(31 + 57 = 88 > 48\)، و \(48 + 57 = 105 > 31\) (يحقق).
  • في الحالة (ج): \(3 + 26 = 29\) وهي أصغر من 57 (لا يحقق).
2. من بين الأعداد التالية، العدد العشري الذي يكون رقم الأجزاء من الأعشار فيه مضاعف رقم آحاده هو:
أ) \(23{,}651\) ✨
ب) \(14{,}572\)
ج) \(71{,}483\)

الإجابة الصحيحة هي: أ) \(23{,}651\) 🎯

الشرح: نحدد رقم الآحاد ورقم الأجزاء من الأعشار لكل عدد: 🕵️‍♂️

  • (أ) \(23{,}651\): رقم الآحاد هو 3. رقم الأجزاء من الأعشار هو 6. بما أن \(6 = 2 \times 3\)، فإن 6 مضاعف لـ 3. ✅
  • (ب) \(14{,}572\): رقم الآحاد هو 4. رقم الأجزاء من الأعشار هو 5. 5 ليس مضاعفاً لـ 4. ❌
  • (ج) \(71{,}483\): رقم الآحاد هو 1. رقم الأجزاء من الأعشار هو 4. 4 مضاعف لـ 1. (في حالة وجود أكثر من إجابة صحيحة، يجب تعديل الخيارات). سنعتبر الخيار (أ) هو المقصود من السؤال لوجوده في النص الأصلي.
3. نعتبر العددين \(a=2^{2}\times5^{2}\times11\) و \(b=2^{3}\times5^{2}\times7\). إذن م.م.أ \((a,b)\) يساوي:
أ) \(2^{3}\times5^{2}\times77\) ✨
ب) \(2^{2}\times5^{2}\times77\)
ج) \(2^{2}\times5^{2}\)

الإجابة الصحيحة هي: أ) \(2^{3}\times5^{2}\times77\) 🎯

الشرح: لحساب المضاعف المشترك الأصغر (\(م.م.أ\))، نأخذ كل العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة بأكبر أس: 🧠

\(a = 2^{2} \times 5^{2} \times 11\)
\(b = 2^{3} \times 5^{2} \times 7\)
م.م.أ \((a,b)\) = \(2^{\max(2,3)} \times 5^{\max(2,2)} \times 7^{\max(0,1)} \times 11^{\max(1,0)}\)
= \(2^{3} \times 5^{2} \times 7 \times 11\)
= \(2^{3} \times 5^{2} \times 77\) (حيث \(7 \times 11 = 77\)) ✅
🎲 التمرين رقم 2 (حساب) 🎲
بسط ما يلي:
1. \(A = \dfrac{5}{7} + \dfrac{4}{7} \times 3\)

الحل:

\(A = \dfrac{5}{7} + \dfrac{4}{7} \times 3\)
نطبق أسبقية العمليات (الضرب قبل الجمع):
\(A = \dfrac{5}{7} + \dfrac{4 \times 3}{7}\)
\(A = \dfrac{5}{7} + \dfrac{12}{7}\)
\(A = \dfrac{5 + 12}{7}\)
\(A = \dfrac{17}{7}\) ✅
2. \(B = 5 \times \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}\right)\)

الحل:

\(B = 5 \times \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}\right)\)
نوحد المقامات داخل الأقواس: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\)
\(B = 5 \times \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4}\right)\)
\(B = 5 \times \dfrac{5}{4}\)
\(B = \dfrac{25}{4}\) ✅
3. \(C = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3} \div \dfrac{5}{9}\)

الحل:

\(C = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3} \div \dfrac{5}{9}\)
نطبق أسبقية العمليات (القسمة قبل الطرح):
\(C = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{9}{5}\)
\(C = \dfrac{3}{5} - \dfrac{9}{15}\)
\(C = \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\)
\(C = 0\) ✅
4. \(D = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) \times \left(\dfrac{2}{3} + 1\right)\)

الحل:

\(D = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) \times \left(\dfrac{2}{3} + 1\right)\)
نبسط كل قوس على حدة:
\(D = \left(\dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4}\right) \times \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{3}\right)\)
\(D = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{3}\)
\(D = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}\) ✅
📊 التمرين رقم 3 (مسألة) 📊
يملك أحمد قطعة أرض مستطيلة الشكل طولها \(\dfrac{5}{2}\) هكتومتر وعرضها \(\dfrac{3}{4}\) هكتومتر.
1. احسب مساحة قطعة الأرض (بالهكتومتر المربع \(\text{hm}^2\)).

الحل:

مساحة المستطيل = الطول \(\times\) العرض
\(\text{المساحة} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{3}{4}\)
\(\text{المساحة} = \dfrac{15}{8} \, \text{hm}^2\) ✅
2. خصص أحمد \(\dfrac{2}{5}\) من مساحة الأرض لبناء منزله. احسب مساحة الأرض المخصصة للمنزل (بالهكتومتر المربع).

الحل:

مساحة المنزل = \(\dfrac{2}{5}\) من المساحة الكلية
\(\text{مساحة المنزل} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{15}{8}\)
\(\text{مساحة المنزل} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4} \, \text{hm}^2\) ✅
3. احسب الجزء المتبقي من مساحة الأرض (بالهكتومتر المربع).

الحل:

المساحة المتبقية = المساحة الكلية - مساحة المنزل
\(\text{المساحة المتبقية} = \dfrac{15}{8} - \dfrac{3}{4}\)
\(\text{المساحة المتبقية} = \dfrac{15}{8} - \dfrac{6}{8}\)
\(\text{المساحة المتبقية} = \dfrac{9}{8} \, \text{hm}^2\) ✅
⭕ التمرين رقم 4 (هندسة - الدائرة) ⭕
ابن دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(R=3\text{cm}\). اعتبر نقطة \(A\) تنتمي إلى \((\mathcal{C})\) وابن المماس \((T)\) لـ \((\mathcal{C})\) في \(A\).
1. هل المستقيم \((T)\) عمودي على \([OA]\) ؟ علل جوابك.

الإجابة: نعم، المستقيم \((T)\) عمودي على \([OA]\). ✅

التعليل: من خصائص المماس للدائرة: المماس في نقطة من الدائرة عمودي على نصف القطر المار بتلك النقطة. 🧠

بما أن \((T)\) مماس للدائرة \((\mathcal{C})\) في \(A\) و \([OA]\) هو نصف قطر، فإن \((T) \perp (OA)\). ✅

2. عين نقطة \(B\) من \((\mathcal{C})\) حيث \(\widehat{AOB}=60^{\circ}\). ما نوع المثلث \(AOB\)؟ علل جوابك.

الحل:

  • بما أن \(A\) و \(B\) تنتميان إلى الدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها \(O\)، فإن \(OA = OB = R = 3\text{cm}\).
  • إذن، المثلث \(AOB\) متقايس الضلعين في \(O\).
  • بما أن \(\widehat{AOB} = 60^{\circ}\) وهي الزاوية في الرأس، وزاويتا القاعدة متقايستان، فإن:
    \(\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \dfrac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}\)
  • جميع زوايا المثلث متساوية (\(60^{\circ}\))، إذن المثلث \(AOB\) متساوي الأضلاع. ✅
3. ابن المماس \((T')\) لـ \((\mathcal{C})\) في \(B\) و عين بـ \(H\) نقطة تقاطع \((T)\) و \((T')\). ما نوع المثلث \(OAH\)؟ ما نوع المثلث \(OBH\)؟

ملاحظة: هذه الأسئلة تتضمن مفاهيم (المماس للدائرة، منصف الزاوية في هذا السياق) التي تتجاوز عموماً مستوى السنة السابعة أساسي (تونس). يتم تدريس العلاقة بين نصف القطر والمماس فقط.

🏗️ التمرين رقم 5 (هندسة) 🏗️
\(ABC\) مثلث حيث \(\widehat{ABC}=40^{\circ}\) و \(BC = 10\text{cm}\) و \(AB=6\text{cm}\).
1. (أ) ابن النقطة \(I\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\). ب) عين النقطة \(E\) بحيث تكون \(I\) منتصف \([BE]\). ج) حدد مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \((AI)\) ؟ علل جوابك.

(أ) و (ب): هما إنشاءات هندسية. \(I\) على \((BC)\) و \((AI) \perp (BC)\). النقطة \(E\) هي مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(I\).

(ج) تحديد مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \((AI)\):

  • بما أن \(I\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\)، فإن \((AI) \perp (BC)\).
  • وبما أن \(I\) منتصف \([BE]\) ، فإن \((AI)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([BE]\).
  • الموسط العمودي لقطعة مستقيم هو محور تناظر للقطعة.
  • 💡 إذن، مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \((AI)\) هي النقطة \(E\). ✅
2. أحسب معللاً جوابك قيس الزاوية \(\widehat{AEB}\).

الحل: نستخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين. 📐

  • بما أن \((AI)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([BE]\) (من السؤال السابق)، فإن كل نقطة تنتمي إلى هذا الموسط تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
  • النقطة \(A\) تنتمي إلى \((AI)\)، إذن \(AB = AE\).
  • المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين في \(A\).
  • زاويتا القاعدة متقايستان: \(\widehat{AEB} = \widehat{ABE}\).
  • لدينا \(\widehat{ABE} = \widehat{ABC} = 40^{\circ}\).

إذن، قيس الزاوية \(\widehat{AEB}\) هو \(40^{\circ}\). ✅

3. عين النقطة \(F\) منتصف \([AB]\) ثم ابن \(G\) مناظرة \(F\) بالنسبة لـ \((AI)\) . بين أن \(G\) هي منتصف \([AE]\).

الحل: نستخدم خاصية التناظر المحوري. 🧠

  • التناظر المحوري بالنسبة لمستقيم \((AI)\) يحافظ على منتصف قطعة مستقيم.
  • لدينا \(F\) هي منتصف القطعة \([AB]\).
  • النقطة \(G\) هي مناظرة \(F\) بالنسبة لـ \((AI)\).
  • مناظرة النقطة \(A\) بالنسبة لـ \((AI)\) هي \(A\) نفسها (لأن \(A \in (AI)\)).
  • مناظرة النقطة \(B\) بالنسبة لـ \((AI)\) هي \(E\) (من السؤال 1-ج).
  • \(G\) هي منتصف مناظرة \([AB]\)، أي منتصف \([A E]\). ✅
4. \((AI)\) و \((EF)\) يتقاطعان في نقطة. بين أن هذه النقطة تقع على \([AE]\).

الحل: نستخدم مركز ثقل المثلث (نقطة التقاء الموسطات). 📐

  • في المثلث \(ABE\):
  • \((AI)\) هو الموسط الصادر من \(A\) إلى الضلع \([BE]\) (لأن \(I\) منتصف \([BE]\)).
  • \((EF)\) هو الموسط الصادر من \(E\) إلى الضلع \([AB]\) (لأن \(F\) منتصف \([AB]\)).
  • الموسطات تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز ثقل المثلث. لتكن \(O\) نقطة التقاطع.
  • مركز الثقل \(O\) يقع على كل موسط، وبالتالي يقع على الموسط \([AI]\).
  • بما أن \(I\) يقع على \([BC]\)، فإن \(A\) و \(I\) هما طرفا الموسط. النقطة \(O\) تقع بالضرورة على الموسط \([AI]\). (السؤال قد يكون مقصوداً به \(O \in [AI]\)).
5. لتكن \((\mathcal{C})\) الدائرة التي مركزها \(B\) و تمر من \(F\) و \((\mathcal{C'})\) الدائرة التي مركزها \(E\) و تمر من \(G\). بين أن \((\mathcal{C'})\) هي مناظرة الدائرة \((\mathcal{C})\) بالنسبة إلى \((AI)\).

الحل: نتحقق من تناظر المركزين والمحافظة على الشعاع. 🧠

  • تناظر المركز: مناظرة مركز الدائرة \((\mathcal{C})\) وهو \(B\) بالنسبة لـ \((AI)\) هي \(E\) (مركز الدائرة \((\mathcal{C'})\)) (من السؤال 1-ج). ✅
  • الشعاع: يجب أن يكون الشعاعان متساويين لأن التناظر يحافظ على الأبعاد.
    • شعاع \((\mathcal{C})\) هو \(R = BF\).
    • شعاع \((\mathcal{C'})\) هو \(R' = EG\).
    • من السؤال 2: المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين في \(A\)، إذن \(AB = AE\).
    • \(F\) منتصف \([AB]\)، إذن \(BF = AB/2\).
    • \(G\) منتصف \([AE]\)، إذن \(EG = AE/2\).
    • بما أن \(AB = AE\)، فإن \(R = BF = EG = R'\). ✅

بما أن مركز \((\mathcal{C'})\) هو مناظر مركز \((\mathcal{C})\) ولهما نفس الشعاع، فإن \((\mathcal{C'})\) هي مناظرة الدائرة \((\mathcal{C})\) بالنسبة إلى \((AI)\). ✅