تصحيح فرض مراقبة عدد 1 - السابعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) 🚀

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة بوضعها في دائرة:

ملاحظة: تم تصحيح الخيارات والأسئلة الغامضة لتتوافق مع المنهجية الرياضية السليمة للسنة السابعة أساسي.

1. $2^{5}\times8^{5}$ يساوي:

( $10^{5}$ / $2^{15}$ / ** $2^{20}$ ** / $16^{10}$ )

2. العدد 51260 يقبل القسمة على:

(17 / **4** / 220 / 3)

3. الكتابة $234=13\times17+13$ هي قسمة إقليدية للعدد 234 على:

(13 / **17** / 234 / 27)

4. المسافة بين النقطة $$D$$ والمستقيم $$(BC)$$ هي قيس طول القطعة:

($DC$ / $AB$ / $AC$ / **$DB$**) (بافتراض $\mathbf{(DB) \perp (BC)}$)

🎪 التمرين رقم 2 (5 نقاط) 🎪

(1) أوجد العدد الصحيح الطبيعي $$x$$ حيث:

$21-(10+x)=6$

(2) ليكن العدد الطبيعي (على الشكل $$3x5y$$ ):

أ. ضع مكان النقاط

$x$

$y$

الأرقام المناسبة لتحصل على عدد قابل للقسمة في آن واحد على 5 و على 9. (أعط كل الحلول الممكنة).

ب. هل 6 قاسم للعدد 3150؟ علل جوابك.

ج. أوجد ستة قواسم للعدد 3150.

(III) أرض مستطيلة الشكل بعداها بالمتر $(2\times9)$ و $(8\times3^{2})$ .

أ. أكتب مساحة المستطيل في صيغة قوة للعدد 6.

ب. أوجد بالمتر طول ضلع أرض مربعة الشكل لها نفس مساحة المستطيل.

التصحيح المفصل للتمرين 2:

(1) حل المعادلة:

$$ 21-(10+x)=6 $$ $$ 10+x = 21 - 6 $$ $$ 10+x = 15 $$ $$ x = 15 - 10 $$ $$ x = 5 $$

(2) قابلية القسمة للعدد $$3x5y$$ :

أ. قابلية القسمة على 5: $y \in \{0, 5\}$ .

قابلية القسمة على 9: مجموع الأرقام $3+x+5+y = 8+x+y$ مضاعف لـ 9.

* الحالة 1:

$y=0$

$8+x$

مضاعف لـ 9.

$8+x=9$

أو

$8+x=18$

$x=1$

(لأن

x \le 9

). العدد: **3150**.

* الحالة 2:

$y=5$

$13+x$

مضاعف لـ 9.

$13+x=18$

$x=5$

. العدد: **3555**.

الحلول الممكنة: 3150 و 3555.

ب. هل 6 قاسم للعدد 3150؟

* العدد 3150 يقبل القسمة على **2** (لأن رقم آحاده 0).

* العدد 3150 يقبل القسمة على **3** (لأن مجموع أرقامه

$3+1+5+0=9$

وهو مضاعف لـ 3).

* بما أنه يقبل القسمة على 2 و 3 في آن واحد، إذن 6 **قاسم** للعدد 3150.

ج. ستة قواسم للعدد 3150:

يمكن اختيار أي ستة أعداد من قواسمه الكثيرة. القواسم البديهية هي: **1، 2، 3، 5، 6، 9**.

(III) مساحة الأرض المستطيلة:

أ. البعدان: $L = 8\times3^{2}$ و $W = 2\times9$ .

$$ \text{المساحة } A = L \times W = (8 \times 3^2) \times (2 \times 9) $$ $$ A = (2^3 \times 3^2) \times (2 \times 3^2) $$ $$ A = 2^{3+1} \times 3^{2+2} = 2^4 \times 3^4 $$ $$ A = (2 \times 3)^4 = 6^4 $$

المساحة هي ** $$6^4$$ متر مربع**.

ب. طول ضلع أرض مربعة $$c$$ لها نفس المساحة $A=c^{2}$ :

$$ c^2 = 6^4 $$ $$ c^2 = (6^2)^2 $$ $$ c = 6^2 = 36 \text{ متر} $$

طول الضلع هو **36 متر**.

🎯 التمرين رقم 3 (5 نقاط) - حساب القوى 🎯

(1) احسب العبارات التالية:

a=3^{2}+(5^{2}-6\times2^{2})^{10}-1

b=3^{2}\times(2^{3}-5\times7^{0})+5

(2) أكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ 1:

c=27^{2}\times25^{4}\times9

d=(5^{5}\times7^{2})^{3}\times7^{9}

e=3^{3}\times999+27

f=(10^{2}+49^{35})-(6^{2}+7^{70})

(3) أكمل الفراغ بما يناسب:

4^{3}\times\mathbf{\dots\dots\dots\dots} = 10^{6}

4^{2}\times23+16\times3^{2}=4^{2}\times(\mathbf{\dots\dots\dots\dots})=2^{\mathbf{\dots}}

التصحيح المفصل للتمرين 3:

(1) حساب العبارات:

$$ a = 3^{2}+(5^{2}-6\times2^{2})^{10}-1 $$

$$ a = 9+(25-6\times4)^{10}-1 $$ $$ a = 9+(25-24)^{10}-1 $$ $$ a = 9+1^{10}-1 $$ $$ a = 9+1-1 = 9 $$

$$ b = 3^{2}\times(2^{3}-5\times7^{0})+5 $$

$$ b = 9\times(8-5\times1)+5 $$ $$ b = 9\times(8-5)+5 $$ $$ b = 9\times3+5 $$ $$ b = 27+5 = 32 $$

(2) الكتابة في صيغة قوة:

$$ c=27^{2}\times25^{4}\times9 = (3^3)^2 \times (5^2)^4 \times 3^2 $$

$$ c = 3^6 \times 5^8 \times 3^2 = 3^{6+2} \times 5^8 $$ $$ c = 3^8 \times 5^8 = (3 \times 5)^8 = 15^8 $$

$$ d=(5^{5}\times7^{2})^{3}\times7^{9} = 5^{15} \times 7^{6} \times 7^{9} $$

$$ d = 5^{15} \times 7^{15} = (5 \times 7)^{15} = 35^{15} $$

$$ e=3^{3}\times999+27 = 27\times999 + 27\times1 $$

$$ e = 27\times(999+1) = 27\times1000 $$ $$ e = 3^3 \times 10^3 = (3\times10)^3 = 30^3 $$

$$ f=(10^{2}+49^{35})-(6^{2}+7^{70}) $$

$$ f = (100+(7^2)^{35}) - (36+7^{70}) $$ $$ f = 100 + 7^{70} - 36 - 7^{70} $$ $$ f = 100 - 36 = 64 = 2^6 $$

(3) إكمال الفراغات:

$$ 4^{3} \times \mathbf{5^6} = 10^{6} \quad \text{ لأن } 10^6 = (2\times5)^6 = 2^6 \times 5^6 \text{ و } 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 $$

$$ 4^{2}\times23+16\times3^{2}=4^{2}\times(23+3^{2}) = 4^{2}\times(23+9) = 4^{2}\times\mathbf{32} $$ $$ 4^{2}\times32 = (2^2)^2 \times 2^5 = 2^4 \times 2^5 = 2^9 $$

الجواب: $4^{2}\times23+16\times3^{2}=4^{2}\times(\mathbf{32})=2^{\mathbf{9}}$

📐 التمرين رقم 4 (5 نقاط) - الزوايا والدائرة 📐

أرسم زاوية $\widehat{xOy}$ قيسها $\mathbf{60^{\circ}}$، ثم أرسم الدائرة $\mathcal{C}$ التي مركزها $O$ وشعاعها $4cm$. تقطع $$[Ox)$$ في $A$. ابن المماس $\Delta$ للدائرة $\mathcal{C}$ في $A$. ابن المنصف $\mathbf{[Oz)}$ للزاوية $\widehat{xOy}$. يقطع $\Delta$ في $\mathbf{C}$.

(1) أ. بين أن المثلث $OAC$ قائم الزاوية في $\mathbf{A}$.

ب. أحسب $\widehat{OCA}$ مع تعليل الجواب.

(2) أ. ابن النقطة $\mathbf{B}$ المسقط العمودي لـ $C$ على $$[Oy)$$ . قارن بين $$CA$$ و $$CB$$ مع التعليل.

ب. بين أن $$(CO)$$ هو منصف الزاوية $\widehat{ACB}$ .

التصحيح المفصل للتمرين 4:

(1) أ. تبيان أن المثلث $$OAC$$ قائم الزاوية في $$A$$ :

* بما أن $\Delta$ هو مماس للدائرة $\mathcal{C}(O, r)$ في النقطة $A$، فإن $\Delta$ عمودي على الشعاع

$[OA]$

في

$A$

* أي

(AC) \perp (OA)

في

$A$

* إذن، المثلث

$OAC$

قائم الزاوية في $\mathbf{A}$.

ب. حساب قيس الزاوية $\widehat{OCA}$ :

$[Oz)$

هو منصف الزاوية $\widehat{xOy}$، إذن: $$\widehat{AOC} = \widehat{xOz} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$$ * في المثلث القائم $OAC$ (القائم في $A$)، مجموع زوايا المثلث هو $\mathbf{180^{\circ}}$:

$$ \widehat{OCA} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \widehat{AOC} $$ $$ \widehat{OCA} = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} $$

قيس الزاوية $\widehat{OCA}$ هو $\mathbf{60^{\circ}}$.

(2) أ. المقارنة بين $$CA$$ و $$CB$$ :

* بما أن النقطة $C$ تنتمي إلى

$[Oz)$

(منصف الزاوية $\widehat{xOy}$)، فإنها متساوية البعد عن ضلعيها

$[Ox)$

$[Oy)$

* المسافة بين $C$ و

$(Ox)$

هي

$CA$

(لأن $\mathbf{(CA) \perp (Ox)}$ في $A$).

* المسافة بين $C$ و

$(Oy)$

هي

$CB$

(لأن $B$ هو المسقط العمودي لـ $C$ على

$[Oy)$

* إذن: $\mathbf{CA = CB}$ (خاصية منصف الزاوية).

ب. تبيان أن $$(CO)$$ هو منصف الزاوية $\widehat{ACB}$ :

* لدينا $\triangle OAC$ قائم في $A$ و $\triangle OBC$ قائم في $B$ (بما أن $B$ مسقط عمودي). * لدينا $\mathbf{OA = OB}$ (لأن $O$ هو مركز الدائرة $\mathcal{C}$ ويمر منها $A$ و $B$ افتراضاً، أو يجب أن يكونا متساويين ليكون $\triangle OAC \equiv \triangle OBC$). * بما أن $CA=CB$ (من 2.أ) و $OC$ ضلع مشترك، فإن $\triangle OAC$ و $\triangle OBC$ متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة $\mathbf{(وتر-ضلع)}$ (الوتر $OC$ مشترك، الضلع القائم $CA=CB$).

* من التقايس نستنتج تقايس الزوايا: $$\widehat{ACO} = \widehat{BCO}$$ * إذن، $\mathbf{(CO)}$ هو منصف الزاوية $\widehat{ACB}$.

🔭 التمرين رقم 5 (6 نقاط) - الزوايا والتوازي 🔭

تأمل الشكل المرافق حيث $\widehat{xOy} = 80^{\circ}$ و $\mathbf{[Ot)}$ منصف الزاوية $\widehat{xOy}$.

افتراض: $$[OM)$$ نصف مستقيم داخل $\widehat{xOy}$ حيث $\mathbf{\widehat{xOM} = 50^{\circ}}$ و $H$ مسقط $$M$$ على $$[Ox)$$ و $K$ مسقط $$M$$ على $$[Oy)$$ .

(1) أ. أحسب $\mathbf{\widehat{yOM}}$.

ب. بين أن $$[MO)$$ ليس منصف الزاوية $\widehat{xOy}$ .

(2) أ. أحسب قيس الزاوية $\widehat{MOT}$ .

ب. استنتج أن $$(Ot)$$ و $$(OM)$$ غير متعامدين.

(3) المستقيم العمودي على $$(MK)$$ والمار من $M$ يقطع $$[Ot)$$ في $A$.

أ. بين أن $$(AM)//(Ox)$$ .

التصحيح المفصل للتمرين 5:

(1) أ. حساب $\widehat{yOM}$ (بناء على افتراض أن $M$ داخل $\widehat{xOy}$):

* بما أن

$[OM)$

داخل

\widehat{xOy}

، فإن: $$\widehat{yOM} = \widehat{xOy} - \widehat{xOM}$$ $$ \widehat{yOM} = 80^{\circ} - 50^{\circ} = 30^{\circ} $$

قيس الزاوية $\widehat{yOM}$ هو $\mathbf{30^{\circ}}$.

ب. تبيان أن $$[MO)$$ ليس منصف الزاوية $\widehat{xOy}$ :

* منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متقايستين.

* لدينا: $\widehat{xOM} = 50^{\circ}$ و $\widehat{yOM} = 30^{\circ}$.

* بما أن $\widehat{xOM} \ne \widehat{yOM}$، فإن

$[MO)$

**ليس** منصف الزاوية $\widehat{xOy}$.

(2) أ. حساب $\widehat{MOT}$ (حيث $$[Ot)$$ هو المنصف):

* بما أن

$[Ot)$

هو منصف $\widehat{xOy}$، فإن: $$\widehat{xOt} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}$$ * بما أن

$[Ot)$

داخل

\widehat{xOM}

(لأن $40^{\circ} < 50^{\circ}$)، فإن: $$\widehat{MOT} = \widehat{xOM} - \widehat{xOt}$$ $$ \widehat{MOT} = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} $$

قيس الزاوية $\widehat{MOT}$ هو $\mathbf{10^{\circ}}$.

ب. استنتاج أن $$(Ot)$$ و $$(OM)$$ غير متعامدين:

* لكي يكون

(Ot) \perp (OM)

، يجب أن يكون قيس الزاوية $\widehat{MOT}$ يساوي $90^{\circ}$.

* بما أن $\widehat{MOT} = 10^{\circ}$، فإن

$(Ot)$

$(OM)$

**غير متعامدين**.

(3) أ. تبيان أن $$(AM)//(Ox)$$ :

* $M$ مسقط $K$ على

$[Oy)$

(MK) \perp (Oy)

* المستقيم

$(AM)$

عمودي على

$(MK)$

(معطى).

* لدينا:

(AM) \perp (MK)

(MK) \perp (Oy)

* بما أن

$(AM)$

$(Oy)$

عموديان على نفس المستقيم

$(MK)$

، فإنهما **متوازيان**: $$(AM) // (Oy)$$ * **تصحيح الافتراض:** السؤال الأصلي يطلب إثبات أن $\mathbf{(AM) // (Ox)}$. هذا ممكن فقط إذا كان $\mathbf{(MK) // (Ox)}$، وهذا يتحقق إذا كان $\mathbf{\widehat{xOy}=90^{\circ}}$ (أي قائم). بما أن $\mathbf{\widehat{xOy}=80^{\circ}}$، فالسؤال فيه خطأ (أو $K$ هي نقطة مختلفة). بالنظر إلى المعطيات، فإن $\mathbf{(AM) // (Oy)}$ هو النتيجة الصحيحة.

* **الحل بناءً على النتيجة الصحيحة:** بما أن $\mathbf{(AM) // (Oy)}$ و

$(Ox)$

قاطع، فإن $\mathbf{\widehat{OAM} = \widehat{xOy}}$ (زوايا متناظرة) وهذا لا يجوز. * **نتبع التسلسل المنطقي للسؤال الأصلي:** بما أن $K$ هي مسقط $M$ على

$[Oy)$

، فإن

(MK) \perp (Oy)

. المستقيم

$(AM)$

عمودي على

$(MK)$

. نستنتج أن

$(AM) // (Oy)$

* بما أن

\widehat{xOy} = 80^{\circ} \ne 90^{\circ}

، فإن

$(Ox)$

$(Oy)$

غير متوازيين. لا يمكن أن يكون

$(AM) // (Ox)$

إلا إذا كان $\mathbf{A=O}$ وهو غير ممكن. * **الجواب الأصح والمحتمل (بتصحيح المعطيات):** لنفترض أن السؤال هو $\mathbf{(AM) // (Oy)}$، كما تم إثباته: $\mathbf{(AM) // (Oy)}$ لأن كلاهما عمودي على

$(MK)$

📝 تصحيح فرض مراقبة عدد 1 في الرياضيات 📝

التصحيح المفصل للتمرين 1:

التصحيح المفصل للتمرين 2:

التصحيح المفصل للتمرين 3:

التصحيح المفصل للتمرين 4:

التصحيح المفصل للتمرين 5: