تصحيح فرض مراقبة عدد 1 - السابعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) 🚀

(1) اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة بوضعها في دائرة:

أ. نعتبر العدد $a=3\times10^{5}+4\times10^{3}+2\times10^{2}+10^{0}$ . الكتابة وفقاً للنظام العشري هي:

( $$a=304021$$ / ** $$a=304201$$ ** / $$a=3420100$$ )

ب. المجموع $2^{3}+2^{3}$ يساوي:

(** $4^{2}$ ** / $4^{3}$ / 26)

ج. القيمة التقريبية بالآلاف للعدد 4498 هي:

(3000 / 5000 / **4000**)

د. ضعف العدد $2^{21}$ يساوي: (تم تصحيح العدد من 221 إلى $2^{21}$ بما يتناسب مع الخيارات)

( $2^{42}$ / $4^{21}$ / ** $2^{22}$ **)

ه. العبارة $D=1^{2016}+2016^{1}\times0^{2016}$ تساوي:

(**1** / $4^{2}$ / 26)

(2) أكمل الفراغات بما يناسب:

أ. $2^{\mathbf{27}}=8^{9}$

ب. $2^{5}\times2^{7}\times2=2^{\mathbf{13}}$

ج. $1000^{\mathbf{3}}=10^{9}$

🎪 التمرين رقم 2 (7 نقاط) - قوى وحساب عبارات 🎪

(1) أحسب العبارات التالية:

أ.

B=10^{2}-5^{2}\times3

ب.

C=(3^{4}+25^{907})-(3^{3}+25^{907})

ج.

A=(\sqrt{81}-2^{3})^{5}-5^{0}

د.

E=(3^{2}-2^{3})^{2021}\times(3^{3}-17)^{3}

ه.

F=2^{2}+3^{2}\times2-1^{2021}+3

(2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

أ.

H=49\times7^{3}

ب.

G=125^{2}\times2^{8}\times5^{2}

ج.

J=9\times7^{34}+39\times7^{34}+7^{34}

د.

K=4^{26}+4^{26}+4^{26}+4^{26}

ه.

L=7^{5}\times10000^{3}\times7^{7}

و.

M=169^{4}\times2^{8}\times26^{3}

ز.

P=10^{2}\times5^{27}\times8^{9}

ح.

N=(5\times2^{3})^{5}\times5^{11}\times2

ط.

Q=(4^{45}+25^{9})+(4^{45}-25^{9})

📐 التمرين رقم 3 - المستطيل والموسط العمودي 📐

في الرسم المرافق ، $$ABCD$$ مستطيل و $$I$$ منتصف $$[AB]$$ حيث $AB=6\text{cm}$ و $BC=3\text{cm}$ و $(IC) \perp (ID)$ .

(1) أ. أحسب $$IB$$ . علل جوابك.

ب. عين النقطة $$E$$ بحيث يكون المثلث $$IEC$$ متقايس الأضلاع.

(2) أ. بين أن $$(EB)$$ هو **الموسط العمودي** لـ $$[IC]$$ .

ب. بين أن $$(ID) // (EB)$$ .

(3) ابن المستقيم $\Delta$ المار من النقطة $$A$$ والعمودي على $$(ID)$$ . يتقاطع $\Delta$ و $$(EB)$$ في نقطة $$M$$ .

أ. بين أن $\Delta$ هو **الموسط العمودي** للقطعة $$[ID]$$ .

ب. استنتج أنّ $$MD=MC$$ .

ج. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $\Delta$ و $$(EB)$$ ؟ علل جوابك.

التصحيح المفصل للتمرين 3:

(1) أ. حساب $$IB$$ :

$I$

منتصف

$[AB]$

. * $$ IB = \frac{AB}{2} = \frac{6\text{cm}}{2} = 3\text{cm} $$

(2) أ. تبيان أن $$(EB)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[IC]$$ :

* **بالنسبة للنقطة

$E$

:** المثلث

$IEC$

متقايس الأضلاع، إذن

$EI = EC$

. كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة مستقيم تنتمي إلى **الموسط العمودي** لهذه القطعة. إذن

$E$

تنتمي إلى الموسط العمودي لـ

$[IC]$

. * **بالنسبة للنقطة

$B$

:** لدينا

IB = 3\text{cm}

BC = 3\text{cm}

(ضلع المستطيل). إذن

$IB = BC$

. بما أن

$B$

متساوية البعد عن طرفي القطعة

$[IC]$

، فإنها تنتمي إلى **الموسط العمودي** لـ

$[IC]$

. * بما أن

$E$

$B$

تنتميان إلى الموسط العمودي لـ

$[IC]$

، فإن المستقيم

$(EB)$

هو الموسط العمودي لـ

$[IC]$

(2) ب. تبيان أن $$(ID) // (EB)$$ :

* لدينا

(IC) \perp (ID)

(معطى). * لدينا

$(EB)$

هو الموسط العمودي لـ

$[IC]$

(من السؤال 2.أ)، إذن

(EB) \perp (IC)

. * بما أن المستقيمين

$(ID)$

$(EB)$

كلاهما عموديان على نفس المستقيم

$(IC)$

، فإنهما **متوازيان**: $$ (ID) // (EB) $$

(3) أ. تبيان أن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $$[ID]$$ :

* لدينا

$ABCD$

مستطيل، إذن

\widehat{DAI} = 90^{\circ}

. * في المثلث القائم

$DAI$

، لدينا

DA = 3\text{cm}

AI = 3\text{cm}

. إذن المثلث

$DAI$

متقايس الضلعين في

$A$

. * بما أن

$AD = AI$

، فإن النقطة

$A$

متساوية البعد عن طرفي القطعة

$[ID]$

. إذن

$A$

تنتمي إلى **الموسط العمودي** لـ

$[ID]$

. * $\Delta$ هو المستقيم الذي يمر من

$A$

ويكون عمودياً على

$(ID)$

(حسب البناء). * بما أن $\Delta$ يمر من نقطة

$A$

تنتمي إلى الموسط العمودي لـ

$[ID]$

وعمودي على

$(ID)$

، فإن $\Delta$ هو **الموسط العمودي** لـ

$[ID]$

(3) ب. استنتاج أنّ $$MD=MC$$ :

$M$

هي نقطة تقاطع $\Delta$ و

$(EB)$

. *

M \in \Delta

. بما أن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ

$[ID]$

، فإن

$MI = MD$

. *

M \in (EB)

. بما أن

$(EB)$

هو الموسط العمودي لـ

$[IC]$

، فإن

$MI = MC$

. * من المساواتين، نستنتج أن

$MD = MC$

(3) ج. الوضعية النسبية للمستقيمين $\Delta$ و $$(EB)$$ :

* لدينا $\Delta \perp (ID)$ (حسب البناء). * لدينا

$(ID) // (EB)$

(من السؤال 2.ب). * إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين، فإنه يكون عمودياً على الآخر. * إذن: $\Delta \perp (EB)$. المستقيمان **متعامدان**.

🔭 التمرين رقم 4 - الزوايا والمناصفات 🔭

تأمل الشكل المرافق، أرسم زاوية $\widehat{xAy}=30^{\circ}$ وعين على ضلعها $$[Ax)$$ النقطة $$B$$ بحيث $AB=4\text{cm}$ .

المستقيم المار من $$B$$ والعمودي على $$(Ax)$$ يقطع $$[Ay)$$ في $$C$$ .

(1) أحسب $\widehat{ACB}$ .

(2) أ. ارسم $$[Cz)$$ منصف الزاوية $\widehat{ACB}$ .

ب. بين أن $$(Cz) // (AB)$$ . (تم تصحيح السؤال ليتوافق مع المعطيات الهندسية).

(3) ابن $$I$$ المسقط العمودي للنقطة $$C$$ على $$(AB)$$ و $$J$$ المسقط العمودي للنقطة $$C$$ على $$(Ax)$$ . بين أن $$CI=CJ$$ . (تم تصحيح النقاط في السؤال الأصلي لتطبيق خاصية المنصف)

(4) أ. ارسم الدائرة $\Gamma$ التي مركزها $$C$$ وتمر من $$I$$ .

ب. بين أن $$(AB)$$ هو المماس للدائرة $\Gamma$ في النقطة $$I$$ . (تم تصحيح السؤال الأصلي ليتوافق مع المعطيات الهندسية)

التصحيح المفصل للتمرين 4:

(1) حساب $\widehat{ACB}$ :

* لدينا المثلث

$ABC$

قائم الزاوية في

$B$

لأن

(BC) \perp (Ax)

في

$B$

. * مجموع زوايا المثلث هو

180^{\circ}

. * $$ \widehat{ACB} = 180^{\circ} - (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) $$ * $$ \widehat{ACB} = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $$

(2) أ. رسم $$[Cz)$$ منصف الزاوية $\widehat{ACB}$ :

* منصف الزاوية

\widehat{ACB}

يقسمها إلى زاويتين متقايستين:

\widehat{BCz} = \widehat{zCA} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}

(2) ب. تبيان أن $$(Cz) // (AB)$$ :

* نعتبر المستقيمين

$(Cz)$

$(AB)$

والقاطع لهما

$(AC)$

. * لدينا

\widehat{zCA} = 30^{\circ}

(من (2)أ). * لدينا

\widehat{BAC} = 30^{\circ}

(معطى). * الزاويتان

\widehat{zCA}

\widehat{BAC}

هما **زاويتان متبادلتان داخلياً** ومتقايستان. * إذن: المستقيمان

$(Cz)$

$(AB)$

**متوازيان**.

(3) تبيان أن $$CI=CJ$$ :

* (ملاحظة: السؤال الأصلي كان يتضمن أخطاء في النقاط، تم تصحيحه ليتوافق مع خاصية المنصف). * النقطة

$C$

هي رأس الزاوية

\widehat{xAy}

. * لدينا:

$I$

المسقط العمودي لـ

$C$

على

$(AB)$

(تم تصحيحه: يجب أن يكون

$I$

المسقط العمودي لـ **نقطة على المنصف** على الضلع). * **الإجابة الصحيحة بالاعتماد على خاصية المنصف**: * إذا كان

$C$

نقطة من **منصف** الزاوية

\widehat{xAy}

(وهو ليس كذلك لأن

\widehat{xCA} \neq \widehat{yCA}

)، لكانت متساوية البعد عن ضلعيها. * **بناءً على المعطيات المصححة:**

$I$

هو المسقط العمودي لـ

$C$

على

$(AB)$

$J$

هو المسقط العمودي لـ

$C$

على

$(Ax)$

. هذه الخاصية غير قابلة للإثبات هنا. * **الإجابة بناءً على فرضية خطأ في السؤال وتطبيق خاصية المنصف:** لو كانت

$C$

تقع على منصف زاوية ضلعيها

$(Ax)$

$(Ay)$

، لكان بعد

$C$

عن

$(Ax)$

يساوي بعد

$C$

عن

$(Ay)$

، أي

$CI=CJ$

(بافتراض

$I$

على

$(Ax)$

$J$

على

$(Ay)$

(4) ب. تبيان أن $$(AB)$$ هو المماس للدائرة $\Gamma$:

* الدائرة $\Gamma$ مركزها

$C$

ونصف قطرها

$r = CI$

(لأنها تمر من

$I$

). * المماس هو مستقيم عمودي على نصف القطر في نقطة التماس. * لدينا

$I$

هي المسقط العمودي لـ

$C$

على

$(AB)$

، إذن

(CI) \perp (AB)

. * بما أن

$(AB)$

عمودي على نصف القطر

$[CI]$

في النقطة

$I$

التي تنتمي إلى الدائرة، فإن

$(AB)$

هو **المماس** للدائرة $\Gamma$ في النقطة

$I$

📝 تصحيح فرض مراقبة عدد 1 في الرياضيات 📝

التصحيح المفصل للتمرين 1:

التصحيح المفصل للتمرين 2:

التصحيح المفصل للتمرين 3:

التصحيح المفصل للتمرين 4: