1. إذا علمت أن $$a=5\times10^{4}+3\times10^{3}+2\times10^{2}+10^{0}$$ فان:
($a=53021$ / $a=53210$ / **$a=53201$**)
2. العدد $8^{2}+6^{2}$ يساوي:
(144 / 102 / 142 / **100**)
3. إذا كان شعاع دائرة $C$ يساوي $6\text{cm}$ وبعد مركزها عن مستقيم $\Delta$ يساوي $32\text{cm}$ فإن الدائرة $C$ والمستقيم:
(متقاطعان / متماسان / **منفصلان**)
4. العدد $3^{2}+4^{2}$ يساوي:
(74 / 52 / 72 / **25**)
5. العدد $5\times10^{5}+3\times10^{3}+2\times10^{0}$ يساوي:
(50302 / **503002** / 53002)
6. إذا مر مستقيم من مركز الدائرة فإن الدائرة والمستقيم:
(**متقاطعان** / متماسان / منفصلان)
1. كتابة العدد $a$:
$$ a = 50000 + 3000 + 200 + 1 $$ $$ a = 53201 $$2. حساب $8^{2}+6^{2}$:
$$ 8^2 + 6^2 = 64 + 36 $$ $$ 8^2 + 6^2 = 100 $$3. الوضعية النسبية للدائرة والمستقيم:
* الشعاع: $r = 6\text{cm}$. * المسافة بين المركز والمستقيم: $d = 32\text{cm}$. * بما أن $d > r$ ($32 > 6$4. حساب $3^{2}+4^{2}$:
$$ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 $$ $$ 3^2 + 4^2 = 25 $$5. كتابة العدد:
$$ 5\times10^{5}+3\times10^{3}+2\times10^{0} = 500000 + 3000 + 2 $$ $$ = 503002 $$6. الوضعية النسبية (المستقيم يمر من المركز):
* إذا مر مستقيم من مركز الدائرة، فإن المسافة بين المركز والمستقيم هي $d=0$$d < r$(1) أ. حساب $a$:
$$ a = 5^4 \times (29 - 13) $$ $$ a = 625 \times 16 $$ $$ a = 10000 $$ $$ a = 10^4 $$(1) ب. حساب $b$:
$$ b = (27 - 25)^4 - 1 \times 1 $$ $$ b = (2)^4 - 1 $$ $$ b = 16 - 1 $$ $$ b = 15 $$(1) ج. حساب $c$:
$$ c = (9 - 8)^7 + (0)^3 $$ $$ c = 1^7 + 0 $$ $$ c = 1 $$(1) د. حساب $d$:
$$ d = 27 - 1 \times 11 + 5^{16} \times 0 $$ $$ d = 27 - 11 + 0 $$ $$ d = 16 $$(2) أ. حساب $a$:
$$ a = 9 \times 7 - (1 + 1) $$ $$ a = 63 - 2 $$ $$ a = 61 $$(2) ب. حساب $b$:
$$ b = 2^3 + 5^{13} - 2^2 - 5^{13} $$ $$ b = 2^3 - 2^2 $$ $$ b = 8 - 4 $$ $$ b = 4 $$(2) ج. حساب $c$:
$$ c = 4 + 9 \times 4 - 8 $$ $$ c = 4 + 36 - 8 $$ $$ c = 40 - 8 $$ $$ c = 32 $$(3) إكمال الفراغات:
أ. $100000\times10^{\mathbf{5}}=100^{5}$
* $10^5 \times 10^5 = (10^2)^5$ * $10^{10} = 100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}$ب. $(9^{\mathbf{6}})^{3}=3^{36}$
* $(9^x)^3 = 3^{2x \times 3} = 3^{6x}$ * $6x = 36 \implies x = 6$(4) الكتابة في صيغة قوة:
أ. $e=2^{13}\times36^{5}\times3^{13}$:
$$ e = (2 \times 3)^{13} \times (6^2)^5 $$ $$ e = 6^{13} \times 6^{10} $$ $$ e = 6^{23} $$ب. $d=3^{5}\times9^{15}\times27^{2}$:
$$ d = 3^5 \times (3^2)^{15} \times (3^3)^2 $$ $$ d = 3^5 \times 3^{30} \times 3^6 $$ $$ d = 3^{5+30+6} $$ $$ d = 3^{41} $$ج. $f=5^{2019}\times3^{3}-5^{2019}\times2$:
$$ f = 5^{2019} \times (3^3 - 2) $$ $$ f = 5^{2019} \times (27 - 2) $$ $$ f = 5^{2019} \times 25 $$ $$ f = 5^{2019} \times 5^2 $$ $$ f = 5^{2021} $$(1) بناء الموسط العمودي $\Delta$:
* المستقيم $\Delta$ هو المستقيم الذي يمر من منتصف $[AB]$ $I$ ويكون عمودياً على $(AB)$.(2) أ. تبيان أن $MA = MB$:
* $M$ هي نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي $\Delta$ للقطعة $[AB]$. * كل نقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة مستقيم هي متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة (خاصية الموسط العمودي). * إذن: $MA = MB$.(2) ب. بعد النقطة $I$ عن المستقيم $(AC)$:
* بعد نقطة عن مستقيم هو طول القطعة العمودية من النقطة إلى المستقيم. * بما أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$، فإن $(AC) \perp (AB)$. * $I$ تنتمي إلى $[AB]$، إذن المسافة بين $I$ و $(AC)$ هي طول القطعة $[IA]$. * $I$ هي منتصف $[AB]$ لأن $\Delta$ موسط عمودي لـ $[AB]$ ويمر من $I$. * البعد هو $IA = \frac{AB}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\text{cm}$. * **الجواب:** البعد هو $1.5\text{cm}$.(3) البعد بين $M$ و $(AC)$:
* المستقيم المار من $M$ والعمودي على $(AC)$ هو $(MN)$. البعد بين $M$ و $(AC)$ هو طول القطعة $[MN]$. * $\Delta = (MI)$ عمودي على $(AB)$ ($\Delta$ موسط عمودي). * $(AC)$ عمودي على $(AB)$ ($ABC$ قائم في $A$). * بما أن $(AC)$ و $(MI)$ كلاهما عموديان على نفس المستقيم $(AB)$، فهما متوازيان: $(MI) \parallel (AC)$. * في المثلث $ABC$، $I$ منتصف $[AB]$ و $(IM) \parallel (AC)$، إذن $M$ هي منتصف $[BC]$ (خاصية مستقيم المنتصفين). * وبما أن $(MN) \perp (AC)$ و $(AB) \perp (AC)$, فإن $(MN) \parallel (AB)$. * في المثلث $ABC$، $M$ منتصف $[BC]$ و $(MN) \parallel (AB)$، إذن $N$ هي منتصف $[AC]$ (خاصية مستقيم المنتصفين). * $MN$ هو القطعة الواصلة بين منتصفي $[BC]$ و $[AC]$، إذن: $MN = \frac{AB}{2}$. * $MN = 1.5\text{cm}$. * **الجواب:** البعد بين $M$ و $(AC)$ هو $1.5\text{cm}$.(1) تبيان أن \(\widehat{O B Y}=90^{\circ}\):
* بما أن الدائرة $(C)$ مماسة للمستقيم $(Oy)$ في النقطة $B$، فإن شعاع الدائرة $[OB]$ عمودي على المماس $(Oy)$ في نقطة التماس $B$ (خاصية المماس). * إذن: $(OB) \perp (Oy)$، أي \(\widehat{O B Y}=90^{\circ}\).(وبنفس الطريقة: $(OA) \perp (Ox)$، أي \(\widehat{O A X}=90^{\circ}\)).
(2) حساب \(\widehat{K O C}\):
* في المثلث $OKC$، مجموع زوايا المثلث هو $180^{\circ}$. * بافتراض أن \(\widehat{OKC}=90^{\circ}\) و \(\widehat{O C K}=30^{\circ}\). $$ \widehat{K O C} = 180^{\circ} - (\widehat{OKC} + \widehat{O C K}) $$ $$ \widehat{K O C} = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) $$ $$ \widehat{K O C} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $$(3) تبيان أن \(\widehat{A H M}\) و \(\widehat{K O C}\) متكاملتان:
* للتبيان أن الزاويتين متكاملتان، يجب أن يكون مجموعهما $180^{\circ}$. * من السؤال (2)، \(\widehat{K O C} = 60^{\circ}\). * يجب أن نجد أن \(\widehat{A H M} = 120^{\circ}\). * بما أن $(HO)$ هو منصف الزاوية \(\widehat{A H B}\)، فإن \(\widehat{A H O} = \widehat{B H O}\). * النقاط $A$، $H$، $M$ غير محددة بشكل كاف. * **(بافتراض أن $H$ تنتمي لـ $(O Z)$ من منصف \(\widehat{X O Y}\)، وأن \(\widehat{A H B}=120^{\circ}\) وأن $M$ نقطة على استقامة $A H$ لتكوين زاوية مستقيمة):** * إذا كانت \(\widehat{A H B}=120^{\circ}\)، وكان $(HO)$ منصفها، فإن \(\widehat{A H O} = 60^{\circ}\). * إذا كانت \(\widehat{A H M}\) هي الزاوية المجاورة والمتكاملة لـ \(\widehat{A H B}\) على مستقيم ما، فإن \(\widehat{A H B}\) و \(\widehat{B H M}\) متكاملتان. * بالاعتماد على الحل المعتاد لهذا النوع من التمارين حيث تكون الزاوية المطلوب تبيانها متكاملة هي المجاورة لزاوية معلومة: * (في حالة $M \in (AH)$ والمستقيم هو $(AH)$، يكون \(\widehat{A H M}=180^{\circ}\)، وهذا غير منطقي). * **الفرضية الأرجح:** الزاوية \(\widehat{A H M}\) هي الزاوية المجاورة لـ \(\widehat{A H B}\) على المستقيم $(A H)$. * (هذه الفرضية تؤدي إلى \(\widehat{A H M}=180^{\circ}\)). * **الخلاصة:** بدون معلومات إضافية أو تصحيح للنقاط، لا يمكن إثبات أن \(\widehat{A H M} + \widehat{K O C} = 180^{\circ}\). سنكتفي بالإشارة إلى أن $\widehat{K O C} = 60^{\circ}$.(4) أ. هل $(A B)$ عمودي على $(O H)$؟
* في المثلث $OAB$، لدينا $OA = OB = r = 2\text{cm}$. إذن المثلث $OAB$ متساوي الساقين في $O$. * بما أن $(OA) \perp (Ox) و $(OB) \perp (Oy)، فإن $(OH) هو بالضرورة منصف الزاوية \(\widehat{X O Y}\) (بافتراض أن $H$ تقع على منصف الزاوية \(\widehat{X O Y}\)). * في مثلث متساوي الساقين، منصف زاوية الرأس $O$ هو أيضاً الموسط العمودي للقاعدة $[AB]$. * $(OH) هو منصف \(\widehat{A O B}\) (بما أن $A$ و $B$ متناظرتان بالنسبة لمنصف \(\widehat{X O Y}\)). * إذن، $(OH) هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$. * **الجواب:** **نعم**، المستقيم $(A B)$ عمودي على $(O H)$ (في النقطة $N$).(4) ب. الوضعية النسبية للدائرة $(C)$ والمستقيم $(A B)$:
* المسافة بين مركز الدائرة $O$ والمستقيم $(A B)$ هي طول القطعة $[ON]$ (حيث $N$ نقطة تقاطع الموسط العمودي $(OH) و $(AB)). * $r = 2\text{cm}$. * في المثلث القائم $OAN$ (حيث \(\widehat{A N O}=90^{\circ}\))، $ON$ هو ضلع في مثلث قائم، أي $ON < OA$. * بما أن $OA = r = 2\text{cm}$، فإن $ON < 2\text{cm}$. * **الجواب:** بما أن المسافة $d(O, (AB)) = ON < r$، فإن الدائرة $(C)$ والمستقيم $(A B)$ **متقاطعان**.(5) الوضعية النسبية لـ $(C') و $(A B)$:
* مركز الدائرة $(C') هو النقطة $N$. * شعاع الدائرة $(C') هو $r' = 2\text{cm}$. * المستقيم هو $(A B)$. * بما أن $N$ تنتمي إلى المستقيم $(A B)$، فإن المسافة بين مركز الدائرة $N$ والمستقيم $(A B)$ هي $d(N, (AB)) = 0\text{cm}$. * بما أن $d < r'$ ($0 < 2$)، فإن الدائرة $(C') والمستقيم $(A B)$ **متقاطعان في نقطتين** (أو: المستقيم قاطع يمر من المركز).