* هي مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر (36).
$$ D(a, b) = D(36) = \mathbf{\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}} $$
(3) أ- التقسيم على قطع طول ضلعها 16:
* يجب أن يكون 16 قاسماً لكل من $a$ و $b$.
* $a = 2^2 \times 3^4 = 4 \times 81 = 324$.
* $324 \div 16 = 20$ والباقي $4$.
* **التعليل:** العدد $a$ (324) ليس قابلاً للقسمة على 16.
* **الإجابة:** **لا يمكن** تقسيمها إلى قطع مربعة طول ضلعها 16.
ب- طول ضلع القطعة الواحدة (أكبر عدد ممكن):
* أكبر طول ضلع ممكن هو القاسم المشترك الأكبر للبعدين.
* طول الضلع هو: $\text{GCD}(a, b) = 36$ متر.
💡 التمرين رقم 3 (3 نقاط) - قابلية القسمة والمكعب الكامل 💡
(1) ليكن العدد $\overline{1045ab}$. عوض النقطتين ($a$ و $b$) بالأرقام المناسبة ليكون هذا العدد قابلا للقسمة على 4 و 9 في نفس الوقت.
(2) ليكن العدد $m=125^{2}\times8$. بين أن $m$ مكعب لعدد صحيح طبيعي واذكره.
التصحيح المفصل للتمرين 3:
(1) قابلية القسمة على 4 و 9:
القسمة على 9: $1+0+4+5+a+b = 10+a+b$ يجب أن يكون مضاعفاً لـ 9.
القسمة على 4: $\overline{ab}$ يجب أن يكون مضاعفاً لـ 4.
الحالة 1:$a+b = 8$. الأزواج التي تحقق $\overline{ab}$ مضاعف لـ 4:
الحالة 2:$a+b = 17$. لا توجد حلول تحقق أن $\overline{ab}$ مضاعف لـ 4 (الأزواج هي (8, 9) و (9, 8) و 89 و 98 ليسا مضاعفين لـ 4).
(2) تبيان أن $m$ مكعب لعدد صحيح طبيعي:
$$ m = 125^2 \times 8 $$
$$ m = (5^3)^2 \times 2^3 $$
$$ m = 5^{6} \times 2^3 $$
$$ m = (5^2)^3 \times 2^3 $$
$$ m = (5^2 \times 2)^3 = (25 \times 2)^3 = 50^3 $$
العدد $m$ هو مكعب للعدد الصحيح الطبيعي **50**.
📐 التمرين رقم 4 (7 نقاط) - شبه المنحرف والتناظر 📐
تأمل الشكل التالي حيث $ABCD$ شبه منحرف قائم الزاوية في $D$ و $A$ (نفترض $(AD) \perp (DC)$ و $(AB) \perp (AD)$ أي أن $AB \parallel DC$)، $AB=AD=4\text{cm}$، \(\widehat{BCD}=70^{\circ}\)، و $O$ منتصف $[BD]$.
(1) بين أن \(\widehat{ABC}=110^{\circ}\).
(2) أ- بين أن $B$$D$$(AO)$.
(3) عين النقطة $I$ من القطعة $[BC]$ بحيث $BI=2\text{cm}$.
أ- ابن النقطة $J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $(AO)$.
ب- بين أن $(BD) \parallel (IJ)$.
ج- أكمل بما يناسب: مناظر $(BC)$ بالنسبة لـ $(AO)$ هو $(\ldots)$. مناظر $[IO]$$(AO)$$[\ldots]$
(4) أ- ابن النقطة $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(AO)$.
ب- بين أن النقاط $J$$D$$E$ على استقامة واحدة.
ج- بين أن $DJ = 2\text{cm}$.
(5) أ- ابن نصف المستقيم $[Bx)$\(\widehat{ABC}\) والذي يقطع $(AO)$$M$
ب- بين أن \(\widehat{ADM}=55^{\circ}\).
التصحيح المفصل للتمرين 4:
(1) تبيان أن \(\widehat{ABC}=110^{\circ}\):
* بما أن $ABCD$$(AB) \parallel (DC)$$(BC)$$180^{\circ}$
(2) أ- تبيان أن $B$$D$$(AO)$:
* يكفي أن نثبت أن $(AO)$$[BD]$$AB = AD = 4\text{cm}$$ABD$$A$$O$$[BD]$$[AO]$$[BD]$$(AO) \perp (BD)$$O \in (AO)$$(AO) \perp (BD)$$O$$(AO)$$[BD]$$B$$D$$(AO)$
* بما أن التناظر المحوري $S_{(AO)}$$I$$(BC)$$J$$(BC)$$(BC)$$D$$B$$E$$C$$(DE)$$J$$(DE)$$J$$D$$E$
(4) ج- تبيان أن $DJ = 2\text{cm}$
* التناظر المحوري يحافظ على المسافات.
* بما أن $J = S_{(AO)}(I)$$D = S_{(AO)}(B)$$BI=2\text{cm}$$DJ = 2\text{cm}$
(5) ب- تبيان أن \(\widehat{ADM}=55^{\circ}\):
* لدينا $\widehat{ABC}=110^{\circ}$ (من السؤال 1).
* بما أن $[Bx)$\(\widehat{ABC}\)، فإن:
$$ \widehat{ABx} = \widehat{xBC} = 110^{\circ} \div 2 = 55^{\circ} $$
* $M \in [Bx)$، إذن \(\widehat{ABM} = 55^{\circ}\).
* بما أن $B$$D$$(AO)$$M \in (AO)$$M$\(\widehat{ADM}\) هي مناظرة الزاوية \(\widehat{ABM}\) بالنسبة لـ $(AO)$