تصحيح الفرض التأليفي عدد 1 - السابعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) - اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة 🚀

1. تمثل الكتابة $599=25\times23+24$ القسمة الإقليدية للعدد 599 على:

(23 / **25** / 24)

2. ضعف العدد $2^{21}$ يساوي (تم افتراض أن العدد هو $2^{21}$ ليتناسب مع الخيارات):

( $2^{42}$ / ** $2^{22}$ **)

3. إذا علمت أن 2 هو نفس باقي قسمة عدد صحيح طبيعي على 4 وعلى 25 فإن العدد يساوي:

( $131152$ / ** $131102$ ** / $131127$ )

4. في الشكل المرافق، الزاوية المجاورة لـ $\widehat{xOy}$ هي:

( $\widehat{xOt}$ / ** $\widehat{yOt}$ ** / $\widehat{xAz}$ )

🎪 التمرين رقم 2 (5 نقاط) - حساب وقوى 🎪

(1) أحسب العبارات التالية:

a=3^{2}+(5-2^{2})^{10}-1

b=3^{2}\times2^{3}+5

(2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لـ1:

c=27^{2}\times5^{8}\times9

d=(3^{5}\times7^{2})^{3}\times7^{9}

(3) أكمل الفراغ بما يناسب:

4^{2}\times23+16\times3^{2}=4^{2}\times(......+.......)=2^{...}

4^{3}\times...............=10^{6}

(4) بين أن $3^{125}+9^{62}$ يقبل القسمة على 12.

التصحيح المفصل للتمرين 2:

(1) حساب العبارات:

$$ a = 3^{2}+(5-2^{2})^{10}-1 $$ $$ a = 9 + (5 - 4)^{10} - 1 $$ $$ a = 9 + (1)^{10} - 1 $$ $$ a = 9 + 1 - 1 = 9 $$

$$ b = 3^{2}\times2^{3}+5 $$ $$ b = 9 \times 8 + 5 $$ $$ b = 72 + 5 = 77 $$

(2) الكتابة في صيغة قوة:

$$ c = 27^{2}\times5^{8}\times9 $$ $$ c = (3^3)^2 \times 5^8 \times 3^2 $$ $$ c = 3^{6} \times 3^{2} \times 5^8 $$ $$ c = 3^{8} \times 5^8 $$ $$ c = (3 \times 5)^8 = 15^8 $$

$$ d = (3^{5}\times7^{2})^{3}\times7^{9} $$ $$ d = 3^{5\times3} \times 7^{2\times3} \times 7^9 $$ $$ d = 3^{15} \times 7^6 \times 7^9 $$ $$ d = 3^{15} \times 7^{15} $$ $$ d = (3 \times 7)^{15} = 21^{15} $$

(3) إكمال الفراغ:

$$ 4^{2}\times23+16\times3^{2} $$ $$ = 4^{2}\times23+4^{2}\times3^{2} $$ $$ = 4^{2}\times(23+3^{2}) $$ $$ = 4^{2}\times(23+9) $$ $$ = 16 \times 32 $$ $$ = 2^4 \times 2^5 = 2^9 $$

الإكمال: $4^{2}\times23+16\times3^{2}=4^{2}\times(23+9)=2^{9}$

$$ 4^{3}\times X = 10^{6} $$ $$ (2^2)^3 \times X = (2 \times 5)^{6} $$ $$ 2^6 \times X = 2^6 \times 5^6 $$ $$ X = 5^6 $$

الإكمال: $4^{3}\times 5^{6}=10^{6}$

(4) قابلية القسمة على 12:

$$ N = 3^{125}+9^{62} $$ $$ N = 3^{125}+(3^{2})^{62} $$ $$ N = 3^{125}+3^{124} $$ $$ N = 3^{124} \times (3^1 + 1) $$ $$ N = 3^{124} \times 4 $$

بما أن $12 = 3 \times 4$، والعدد $N$ يكتب على شكل جذاء عامليه 4 و $3^{124}$ (وهو مضاعف لـ 3 لأن $124 \ge 1$ )، فإن $N$ يقبل القسمة على $3 \times 4 = 12$ .

💡 التمرين رقم 3 (4 نقاط) - قابلية القسمة والقسمة الإقليدية 💡

(1) ضع العدد المناسب مكان النقاط ليصبح العدد

\overline{7.40}

قابلا للقسمة على 3 و 5. مقدماً جميع الإمكانيات.

(2) خارج القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي

$n$

على 4 هو 13. ما هي القيم الممكنة لهذا العدد؟

(3) مستطيل مساحته 28. أوجد أبعاده الممكنة.

التصحيح المفصل للتمرين 3:

(1) العدد $\overline{7a40}$ قابل للقسمة على 3 و 5:

قابلية القسمة على 5 محققة لأن رقم الآحاد هو 0.
قابلية القسمة على 3: مجموع الأرقام $$7 + a + 4 + 0 = 11 + a$$ يجب أن يكون مضاعفاً لـ 3.

المضاعفات الممكنة لـ 3 هي: 12، 15، 18.

$$ 11 + a = 12 \implies a = 1 $$ $$ 11 + a = 15 \implies a = 4 $$ $$ 11 + a = 18 \implies a = 7 $$

القيم الممكنة للعدد هي: **7140، 7440، 7740**.

(2) القيم الممكنة للعدد $$n$$ :

القسمة الإقليدية: $n = 4 \times 13 + r$ ، حيث $0 \le r < 4$ .

$$n = 52 + r$$ .

الباقي $$r$$ يمكن أن يكون 0، 1، 2، أو 3.

إذا كان $$r=0$$ : $$n = 52 + 0 = 52$$
إذا كان $$r=1$$ : $$n = 52 + 1 = 53$$
إذا كان $$r=2$$ : $$n = 52 + 2 = 54$$
إذا كان $$r=3$$ : $$n = 52 + 3 = 55$$

القيم الممكنة لـ $$n$$ هي: **52، 53، 54، 55**.

(3) أبعاد المستطيل:

المساحة $A = L \times W = 28$ . الأبعاد هي قواسم العدد 28.

قواسم 28 هي: 1، 2، 4، 7، 14، 28.

الأبعاد الممكنة (الطول والعرض) هي:

**1 و 28**
**2 و 14**
**4 و 7**

📐 التمرين رقم 4 - متوازي الأضلاع والتناظر 📐

تأمل الرسم حيث

$ABCD$

متوازي الأضلاع،

\widehat{BAD}=110^{\circ}

\widehat{ADC}=70^{\circ}

أ- ابن منصف الزاوية

\widehat{ADC}

الذي يقطع

$(AB)$

في النقطة

$E$

ب- احسب

\widehat{AED}

ج- ابن النقطة

$H$

المسقط العمودي لـ

$E$

على

$(DC)$

د- احسب

\widehat{DEH}

هـ- استنتج أن

(AB) \perp (EH)

و- ابن المستقيم

\Delta

المار من

$E$

والعمودي على

$(AD)$

. يقطع

$(AD)$

في النقطة

$F$

ز- بين أن الموسط العمودي للقطعة

$[FH]$

يمر من

$E$

التصحيح المفصل للتمرين 4:

ب- حساب $\widehat{AED}$ :

بما أن $$DE$$ منصف الزاوية $\widehat{ADC}$ ، فإن:

$$ \widehat{EDC} = \widehat{ADC} \div 2 = 70^{\circ} \div 2 = 35^{\circ} $$

بما أن $$ABCD$$ متوازي الأضلاع، فإن $$(AB) || (DC)$$ .

الزاويتان $\widehat{AED}$ و $\widehat{EDC}$ متبادلتان داخلياً (بالنسبة للمستقيمين المتوازيين $$(AB)$$ و $$(DC)$$ والقاطع $$(DE)$$ )، فهما متقايستان.

$$ \widehat{AED} = \widehat{EDC} = 35^{\circ} $$

د- حساب $\widehat{DEH}$ :

بما أن $$H$$ المسقط العمودي لـ $$E$$ على $$(DC)$$ ، فإن المثلث $$DEH$$ قائم الزاوية في $$H$$ .

$$ \widehat{DEH} = 90^{\circ} - \widehat{EDC} $$ $$ \widehat{DEH} = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} $$

هـ- استنتاج $(AB) \perp (EH)$ :

لدينا $$(AB) || (DC)$$ .

ولدينا $(EH) \perp (DC)$ .

بما أن المستقيم $$(EH)$$ عمودي على أحد المستقيمين المتوازيين $$(DC)$$ ، فهو عمودي على الآخر $$(AB)$$ أيضاً.

ز- تبيان أن الموسط العمودي لـ $$[FH]$$ يمر من $$E$$ :

بما أن $$DE$$ هو منصف الزاوية $\widehat{ADC}$ .

وبما أن $$F$$ هو المسقط العمودي لـ $$E$$ على الضلع $$(AD)$$ (لأن $\Delta=(EF) \perp (AD)$ ).

وبما أن $$H$$ هو المسقط العمودي لـ $$E$$ على الضلع $$(DC)$$ .

فإن النقطة $$E$$ تبعد بنفس المسافة عن ضلعي الزاوية $\widehat{ADC}$ (خاصية منصف الزاوية).

$$ EF = EH $$

بما أن $$E$$ تبعد بنفس المسافة عن طرفي القطعة $$[FH]$$ ، فإن $$E$$ تنتمي إلى **الموسط العمودي** للقطعة $$[FH]$$ .

⭕ التمرين رقم 5 - الدائرة والتناظر المحوري ⭕

تأمل الرسم المصاحب حيث

$[AK]$

قطر الدائرة

(\mathcal{C})

مركزها

$O$

(1) أ- ابن النقطة

$B$

مناظرة

$A$

بالنسبة لـ

$(OC)$

ب- استنتج أن

$B$

تنتمي إلى الدائرة

(\mathcal{C})

(2) أ- بين أن

$[OC)$

هو منصف الزاوية

\widehat{AOB}

ب- أحسب

\widehat{ACB}

. (ملاحظة: يتطلب قيس الزاوية المركزية

\widehat{AOB}

(3) لتكن

$H$

نقطة تقاطع

$(BC)$

$(AK)$

. (تم افتراض

\Delta=(AK)

بين أن

$[HO)$

هو منصف الزاوية

\widehat{KHC}

ثم استنتج حساباً لـ

\widehat{HOB}

(4) أحسب

\widehat{HOK}

ثم استنتج أن

$B$

$K$

متناظرتان بالنسبة إلى

$(OH)$

التصحيح المفصل للتمرين 5:

(1) ب- استنتاج انتماء $$B$$ للدائرة $(\mathcal{C})$ :

بما أن $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OC)$$ ، فإن التناظر يحافظ على المسافات.

النقطة $$O$$ تنتمي إلى محور التناظر $$(OC)$$ ، إذن $$OB = OA$$ .

بما أن $$OA$$ هو شعاع الدائرة $(\mathcal{C})$ ، فإن $$OB$$ هو أيضاً شعاع. وبالتالي، النقطة $$B$$ تنتمي إلى الدائرة $(\mathcal{C})$ .

(2) أ- تبيان أن $$[OC)$$ منصف $\widehat{AOB}$ :

في المثلث $$AOB$$ ، لدينا $$OA = OB$$ (شعاعان)، إذن المثلث متساوي الساقين في $$O$$ .

بما أن $$B$$ مناظرة $$A$$ بالنسبة لـ $$(OC)$$ ، فإن $$(OC)$$ هو محور التناظر للمثلث $$AOB$$ .

بما أن $$(OC)$$ يمر من رأس الزاوية $\widehat{AOB}$ ، فإنه منصفها.

(2) ب- حساب $\widehat{ACB}$ :

الزاوية $\widehat{ACB}$ زاوية محيطية تحصر القوس $$AB$$ ، والزاوية $\widehat{AOB}$ هي الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس.

$$ \widehat{ACB} = \frac{1}{2} \widehat{AOB} $$

(ملاحظة: لا يمكن حساب قيمة عددية لـ $\widehat{ACB}$ دون قيمة $\widehat{AOB}$ ، و لا توجد معطيات كافية.)

(3) الجزء الثاني:

⚠️ (ملاحظة: هذا الجزء يتضمن معطيات ناقصة أو غير متسقة مع مستوى السابعة أساسي (مثل تبيان أن $$[HO)$$ هو منصف الزاوية $\widehat{KHC}$ ). نكتفي بتقديم المعلومات النظرية الأساسية.)

لدينا $$K, O, A$$ على استقامة واحدة و $\widehat{AOB}$ متساوية الساقين في $$O$$ .

إذا كان $$[HO)$$ منصف الزاوية $\widehat{KHC}$ ، فإن $\widehat{KHO} = \widehat{CHO}$ .

حساب $\widehat{HOB}$ : بما أن $$H$$ نقطة تقاطع $$(BC)$$ و $$(AK)$$ ، فإن $\widehat{HOB}$ جزء من $\widehat{AOB}$ .

(4) استنتاج التناظر:

بما أن $$K, O, A$$ على استقامة واحدة، فإن $\widehat{HOK}$ هي زاوية مستقيمة إذا كانت $$H$$ تنتمي لـ $$(AK)$$ (الخط المستقيم).

نستنتج أن $$B$$ و $$K$$ متناظرتان بالنسبة إلى $$(OH)$$ إذا كان $$(OH)$$ هو الموسط العمودي لـ $$[BK]$$ .

هذا يتطلب $$OB = OK$$ (محققة لأن كليهما شعاعان) و $$(OH)$$ منصف لـ $\widehat{BOK}$ .

📝 تصحيح الفرض التأليفي عدد 1 في الرياضيات 📝

التصحيح المفصل للتمرين 1:

التصحيح المفصل للتمرين 2:

التصحيح المفصل للتمرين 3:

التصحيح المفصل للتمرين 4:

التصحيح المفصل للتمرين 5: