تصحيح الفرض التأليفي عدد 1 - السابعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) - اختر الإجابة الصحيحة 🚀

1. تفكيك العدد 40000 إلى جذاء عوامل أولية هو:

($4\times10^{4}$ / **$2^{6}\times5^{4}$** / $4\times5^{4}\times2^{4}$)

2. عدد قواسم $12^2$ هو:

(**15** / 8 / 3)

⚠️ (3) ملاحظة حول السؤال الهندسي: السؤال عن التناظر بين دائرتين شعاعاهما مختلفان (2 و 3) أو بين النقاط مبهم ويحتمل خطأ في الصياغة. نكتفي بتصحيح أول سؤالين الواضحين.

🎪 التمرين رقم 2 - قواسم، تفكيك، وق م أ 🎪

نعتبر العددين الصحيحين الطبيعيين

a=3\times108

b=21\times24

(1) باستعمال جدول بيتاغور أوجد مجموعة قواسم 36.

(2) أ- فكك العددين

$a$

$b$

إلى جذاء عوامل أولية.

ب- احسب ق.م.أ

$(a,b)$

(القاسم المشترك الأكبر).

ج- استنتج مجموعة القواسم المشتركة للعددين

$a$

$b$

(3) لنعتبر أرض مستطيلة الشكل قيس ضلعيها بالمتر هما العددين

$a$

$b$

. نريد تقسيمها إلى قطع مربعة الشكل ومتقايسة مع استعمال كامل المساحة.

أ- هل يمكن تقسيمها إلى قطع مربعة الشكل طول ضلع الواحد 16؟ علل جوابك.

ب- لو أردنا تقسيمها إلى عدد ممكن من المربعات (أي أكبر عدد ممكن). فما هو طول ضلع القطعة الواحدة؟.

التصحيح المفصل للتمرين 2:

(1) مجموعة قواسم 36:

* تفكيك $36 = 2^2 \times 3^2$. * مجموعة القواسم هي: **

\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}

(2) أ- تفكيك $$a$$ و $$b$$ :

* تفكيك

$a$

: $$ a = 3 \times 108 = 3 \times (2^2 \times 3^3) = 2^2 \times 3^4 $$ * تفكيك

$b$

: $$ b = 21 \times 24 = (3 \times 7) \times (3 \times 8) $$ $$ b = 3 \times 7 \times 3 \times 2^3 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $$

ب- حساب ق.م.أ $$(a,b)$$ :

* القاسم المشترك الأكبر هو جذاء العوامل المشتركة بأصغر دليل: $$ \text{GCD}(a, b) = 2^{\min(2, 3)} \times 3^{\min(4, 2)} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 $$

ج- مجموعة القواسم المشتركة:

* مجموعة القواسم المشتركة للعددين

$a$

$b$

هي مجموعة قواسم ق.م.أ

$(a, b)$

، أي مجموعة قواسم 36. $$ D(a, b) = D(36) = \mathbf{\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}} $$

(3) أ- التقسيم على قطع طول ضلعها 16:

* يمكن تقسيم الأرض إلى مربعات طول ضلعها 16 إذا كان 16 يقسم كلا من $a$ و $b$. * $a = 2^2 \times 3^4 = 324$. $b = 2^3 \times 3^2 \times 7 = 8 \times 9 \times 7 = 504$. * قابلية القسمة على 16: * $324 \div 16 = 20$ والباقي $4$. (16 لا يقسم $a$). * **التعليل:** $a$ غير قابل للقسمة على 16. * **الإجابة:** **لا يمكن** تقسيمها إلى قطع مربعة الشكل طول ضلعها 16.

ب- طول ضلع القطعة الواحدة (أكبر عدد ممكن):

* لتقسيم الأرض إلى قطع مربعة متقايسة واستعمال كامل المساحة، يجب أن يكون طول ضلع المربع قاسما مشتركا للبعدين $a$ و $b$. * للحصول على أكبر عدد ممكن من المربعات (أكبر مساحة للمربع)، يجب أن يكون طول الضلع هو القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) للبعدين. * طول الضلع هو: $\text{GCD}(a, b) = 36$ متر.

💡 التمرين رقم 3 - قابلية القسمة والمكعب الكامل 💡

(1) ليكن العدد $\overline{1045ab}$. عوض النقطتين (

$a$

$b$

) بالأرقام المناسبة ليكون هذا العدد قابلا للقسمة على 4 و 9 في نفس الوقت.

(2) ليكن العدد

m=125^{2}\times8

. بين أن

$m$

مكعب لعدد صحيح طبيعي واذكره.

التصحيح المفصل للتمرين 3:

(1) قابلية القسمة على 4 و 9:

العدد $\overline{1045ab}$ . $a$ هو رقم العشرات و $b$ رقم الآحاد.

قابلية القسمة على 9: مجموع الأرقام $$1+0+4+5+a+b = 10+a+b$$ يجب أن يكون مضاعفاً لـ 9.
قابلية القسمة على 4: $\overline{ab}$ يجب أن يكون مضاعفاً لـ 4.

المضاعفات الممكنة لـ 9 هي: 18 و 27. (بما أن $0 \le a+b \le 18$ ).

الحالة 1: $10+a+b = 18 \implies a+b = 8$ .

* الأزواج $(a, b)$ التي مجموعها 8 و $\overline{ab}$ يقبل القسمة على 4 هي: * $a=0, b=8$ : $\overline{ab}=08$. (يقبل 4). العدد: **104508**. * $a=4, b=4$ : $\overline{ab}=44$. (يقبل 4). العدد: **104544**. * $a=8, b=0$ : $\overline{ab}=80$. (يقبل 4). العدد: **104580**.

الحالة 2: $10+a+b = 27 \implies a+b = 17$ .

* الأزواج $(a, b)$ التي مجموعها 17 و $\overline{ab}$ يقبل القسمة على 4 هي: * الأزواج هي $(9, 8)$ و $(8, 9)$. $\overline{ab}=98$ (لا يقبل 4) و $\overline{ab}=89$ (لا يقبل 4).

الحلول الممكنة: **104508**، **104544**، **104580**.

(2) تبيان أن $$m$$ مكعب لعدد صحيح طبيعي:

$$ m = 125^2 \times 8 $$ $$ m = (5^3)^2 \times 2^3 $$ $$ m = 5^{3 \times 2} \times 2^3 = 5^6 \times 2^3 $$ $$ m = (5^2)^3 \times 2^3 $$ $$ m = (5^2 \times 2)^3 = (25 \times 2)^3 = 50^3 $$

العدد $$m$$ هو مكعب للعدد الصحيح الطبيعي **50**.

📐 التمرين رقم 4 (هندسة) - التناظر والمماس 📐

تأمل الشكل المرفق حيث

O \in (xy)

\widehat{xOt}=130^{\circ}

\widehat{xOz}=40^{\circ}

B \in [Oy)

A \in [Ot)

$AB=AO$

، و

\widehat{BAO}=80^{\circ}

(1) أ- احسب

\widehat{yOt}

(2) ارسم دائرة

(\mathcal{C})

مركزها

$A$

وتمر من

$B$

ب- بين أن النقطة

$O$

تنتمي إلى الدائرة

(\mathcal{C})

ج- استنتج أن

$(xy)$

مماس للدائرة

(\mathcal{C})

(3) ابن المستقيم $\Delta$ المماس للدائرة

(\mathcal{C})

في

$B$

. يقطع

$[Oz)$

في نقطة

$I$

أ- أحسب

\widehat{IOB}

ب- أحسب

\widehat{IBO}

ج- أحسب

\widehat{OIB}

التصحيح المفصل للتمرين 4:

(1) أ- حساب $\widehat{yOt}$ :

بما أن $O \in (xy)$ ، فإن $\widehat{xOy} = 180^{\circ}$ (زاوية مستقيمة).

$$ \widehat{yOt} = \widehat{xOy} - \widehat{xOt} $$ $$ \widehat{yOt} = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} $$

(2) ب- تبيان أن $O \in \mathcal{C}$ :

* مركز الدائرة

(\mathcal{C})

هو

$A$

. * الشعاع هو

$R = AB$

(لأنها تمر من

$B$

). * بما أن

$AO = AB$

(معطى)، فإن المسافة بين المركز

$A$

والنقطة

$O$

تساوي الشعاع $R$. * إذن، النقطة

$O$

تنتمي إلى الدائرة

(\mathcal{C})

(2) ج- استنتاج المماس $$(xy)$$ :

* ليكون

$(xy)$

مماساً للدائرة

(\mathcal{C})

في

$O$

، يجب أن يكون الشعاع

$AO$

عمودياً على

$(xy)$

في

$O$

، أي يجب أن يكون

\widehat{AOx} = 90^{\circ}

أو

\widehat{AOy} = 90^{\circ}

. * نعلم أن

\widehat{AOx} = \widehat{tOx} = 130^{\circ}

. * ونعلم أن

\widehat{AOy} = \widehat{tOy} = 50^{\circ}

. * بما أن

50^{\circ} \ne 90^{\circ}

، فإن

$(xy)$

**ليس مماساً** للدائرة

(\mathcal{C})

في

$O$

(ملاحظة: هناك تناقض في سؤال "استنتج"، حيث الإجابة الصحيحة هي أن المستقيم ليس مماساً بناءً على المعطيات الهندسية المعتمدة).

(3) أ- حساب $\widehat{IOB}$ :

$I$

تنتمي إلى

$[Oz)$

$B$

تنتمي إلى

$[Oy)$

. *

\widehat{IOB}

هي الزاوية

\widehat{zOy}

. $$ \widehat{IOB} = \widehat{zOy} = \widehat{xOy} - \widehat{xOz} $$ $$ \widehat{IOB} = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} $$

(3) ب- حساب $\widehat{IBO}$ :

* $\Delta$ هو المماس للدائرة

(\mathcal{C})

في

$B$

. إذن $\Delta$ عمودي على الشعاع

$AB$

في

$B$

، أي

\widehat{ABI} = 90^{\circ}

. * في المثلث متساوي الساقين

$AOB$

\widehat{AOB} = \widehat{ABO}

. *

\widehat{AOB} = \widehat{yOt} = 50^{\circ}

. إذن

\widehat{ABO} = 50^{\circ}

. *

\widehat{IBO} = \widehat{ABI} - \widehat{ABO}

(حسب الشكل). $$ \widehat{IBO} = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} $$

(3) ج- حساب $\widehat{OIB}$ :

* في المثلث

$IOB$

، مجموع الزوايا

180^{\circ}

. $$ \widehat{OIB} = 180^{\circ} - (\widehat{IOB} + \widehat{IBO}) $$ $$ \widehat{OIB} = 180^{\circ} - (140^{\circ} + 40^{\circ}) $$ $$ \widehat{OIB} = 180^{\circ} - 180^{\circ} = 0^{\circ} $$

(ملاحظة: قيمة $0^{\circ}$ لـ $\widehat{OIB}$ تشير إلى تناقض في معطيات التمرين الهندسي (التمرين يتطلب أن تكون النقاط $$O$$ $I$$B$

📝 تصحيح الفرض التأليفي عدد 1 في الرياضيات 📝

التصحيح المفصل للتمرين 1:

التصحيح المفصل للتمرين 2:

التصحيح المفصل للتمرين 3:

التصحيح المفصل للتمرين 4: