تصحيح الفروض التأليفية 1 - السابعة أساسي

الفرض التأليفي (مثال رقم 7)

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) - اختر الإجابة الصحيحة 🚀

🎯 اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية:

1. تفكيك العدد 40000 إلى جذاء عوامل أولية هو: ( $4\times10^{4}$ / $2^{6}\times5^{4}$ / $4\times5^{4}\times2^{4}$ )

2. عدد قواسم $12^{2}$ هو: ($15$ / $8$ / $3$)

3. قيس محيط مرع هو $3\times2^{15}+10\times4^{7}$ إذن طول ضلعه هو: ( $2^{18}$ / $2^{17}$ / $4^{8}$ )

🎪 التمرين رقم 2 - تفكيك، قواسم، حساب 🎪

نعتبر العددين

a=2^{3}\times45

$b=54$

و $c=27^{15}+2\times81^{10}$.

(1) أ- فكك العددين $$a$$ و $$b$$ إلى جذاء عوامل أولية.

ب- استنتج تفكيكاً إلى جذاء عوامل أولية للعدد 14400.

ج- أحسب قيس طول ضلع مربع مساحته تساوي $$14400^2$$ .

(2) باستعمال جدول بيتاغور أوجد مجموعة قواسم العدد 144.

(3) بيّن أن $$C$$ يقبل القسمة على 15.

(4) أحسب ما يلي:

m=(10^{2}\times49-36\times49+7^{3})+(56^{3}-7^{3})

n=36+4^{3}\times[\sqrt{3^{4}}-(4^{2}-14)^{3}]^{17}

التصحيح المفصل للتمرين 2:

(1) أ- تفكيك $$a$$ و $$b$$ :

* تفكيك

$a$

: $$ a = 2^3 \times 45 = 2^3 \times (9 \times 5) $$ $$ a = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$ * تفكيك

$b$

: $$ b = 54 = 2 \times 27 $$ $$ b = 2 \times 3^3 $$

ب- تفكيك 14400:

$$ 14400 = 144 \times 100 = (12^2) \times 10^2 $$ $$ 14400 = (2^2 \times 3)^2 \times (2 \times 5)^2 $$ $$ 14400 = (2^4 \times 3^2) \times (2^2 \times 5^2) $$ $$ 14400 = 2^{4+2} \times 3^2 \times 5^2 = 2^6 \times 3^2 \times 5^2 $$

ج- طول ضلع المربع:

* مساحة المربع $S = L^2 = 14400^2$. * طول الضلع $L = \sqrt{14400^2} = 14400$. $$ L = 14400 $$

(2) مجموعة قواسم 144:

* تفكيك $144 = 2^4 \times 3^2$. * مجموعة القواسم ($D_{144}$) هي: $$ \{1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144\} $$ $$ D_{144} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144\} $$

(3) تبيان أن $$C$$ يقبل القسمة على 15:

* يجب أن يكون

$C$

قابلاً للقسمة على 3 و 5. $$ C = 27^{15} + 2 \times 81^{10} $$ $$ C = (3^3)^{15} + 2 \times (3^4)^{10} $$ $$ C = 3^{45} + 2 \times 3^{40} $$ $$ C = 3^{40} \times (3^5 + 2) $$ $$ C = 3^{40} \times (243 + 2) = 3^{40} \times 245 $$ * قابلية القسمة على 3: بما أن

3^{40}

مضاعف لـ 3، فإن

$C$

يقبل القسمة على 3. ✅ * قابلية القسمة على 5: بما أن

$245$

آحاده 5، فإنه يقبل القسمة على 5. * بما أن

$C$

يقبل القسمة على 3 و 5، فإنه يقبل القسمة على **15**.

(4) حساب $$m$$ و $$n$$ :

* حساب

$m$

: $$ m = (10^2 \times 49 - 36 \times 49 + 7^3) + (56^3 - 7^3) $$ $$ m = (49 \times (10^2 - 36) + 7^3) + 56^3 - 7^3 $$ $$ m = 49 \times (100 - 36) + 56^3 $$ $$ m = 49 \times 64 + 56^3 $$ $$ m = 7^2 \times 8^2 + 56^3 $$ $$ m = (7 \times 8)^2 + 56^3 = 56^2 + 56^3 $$ $$ m = 56^2 \times (1 + 56) = 56^2 \times 57 $$ * حساب

$n$

: $$ n = 36 + 4^3 \times [\sqrt{3^4} - (4^2 - 14)^3]^{17} $$ $$ n = 36 + 64 \times [\sqrt{81} - (16 - 14)^3]^{17} $$ $$ n = 36 + 64 \times [9 - (2)^3]^{17} $$ $$ n = 36 + 64 \times [9 - 8]^{17} $$ $$ n = 36 + 64 \times [1]^{17} = 36 + 64 \times 1 $$ $$ n = 36 + 64 = 100 $$

الفرض التأليفي (مثال رقم 6)

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) - اختر الإجابة الصحيحة (صحيح/خطأ أو اختيار) 🚀

1. العبارة: $2\times16$ تساوي: ($213$ / $3210$ / $329$)

2. العبارة: $(2022^{0})^{2023}$ تساوي: ($2023$ / $1$ / $0$)

3. دائرة $(\mathcal{C})$ قطرها 10cm و بعد مركزها عن مستقيم $A$ يساوي 5cm. إذن الدائرة $(\mathcal{C})$ والمستقيم $A$: (متقاطعان / متماسان / منفصلان)

4. زاويتان لهما نفس الرأس هما متجاورتان. (صواب / خطأ)

5. زاويتان لهما نفس الرأس ومتقايستان هما زاويتان متقابلتان بالرأس. (صواب / خطأ)

التصحيح المفصل للتمرين 1:

1. $2\times16$:

$$ 2 \times 16 = 32 $$

الإجابة الصحيحة هي: **32** (لا توجد بين الخيارات، لكن $32 = 2^5$ أو $32 = 2^1 \times 2^4$). قد يكون السؤال يعني $2\times16^2$ أو $2^{16}$. (سنفترض أن الخيارات في النص الأصلي كانت قوة العدد 2): **نحتفظ بـ $32$ كقيمة صحيحة.**

2. $(2022^{0})^{2023}$:

$$ (2022^0)^{2023} = (1)^{2023} = 1 $$

الإجابة الصحيحة: **1**.

3. الدائرة والمستقيم:

* قطر الدائرة = $10~cm$ $\implies$ شعاع الدائرة $R = 5~cm$. * بعد المركز عن المستقيم $A$ هو $d = 5~cm$. * بما أن $d = R$ ($5~cm = 5~cm$)، فإن الدائرة والمستقيم **متماسان** (tangent).

الإجابة الصحيحة: **متماسان**.

4. زاويتان لهما نفس الرأس هما متجاورتان:

خطأ. (يجب أن يكونا أيضاً متجاورتين بالضلع، أي لهما ضلع مشترك ويفصلان بينهما).

الإجابة: **خطأ**.

5. زاويتان لهما نفس الرأس ومتقايستان هما زاويتان متقابلتان بالرأس:

خطأ. (مثال: إذا كان لدينا منصف زاوية، الزاويتان المكونتان متساويتان في الرأس، ولكنهما متجاورتان وليستا متقابلتين بالرأس).

الإجابة: **خطأ**.

🧮 التمرين رقم 2 (5 نقاط) - حساب وقوى 🧮

(1) احسب العبارات التالية مقدماً مراحل الحساب:

A=4\times(3+\sqrt{\sqrt{16}})^{2}-6^{2}

B=(10212-10^{3})+(8\times5^{3}-212)

(2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف للعدد 1:

C=(5^{3}-5^{2})^{6}

D=4^{2}\times8^{5}\times3^{19}

E=7^{13}\times58-7^{13}\times3^{2}

F=8^{7}+8^{7}+8^{7}+8^{7}

التصحيح المفصل للتمرين 2:

(1) حساب العبارات:

العبارة A: $$ A = 4\times(3+\sqrt{\sqrt{16}})^{2}-6^{2} $$ $$ A = 4\times(3+\sqrt{4})^{2}-36 $$ $$ A = 4\times(3+2)^{2}-36 $$ $$ A = 4\times5^{2}-36 = 4\times25-36 $$ $$ A = 100 - 36 = 64 $$

العبارة B: $$ B = (10212-10^{3})+(8\times5^{3}-212) $$ $$ B = 10212 - 1000 + 8\times125 - 212 $$ $$ B = (10212 - 212) - 1000 + 1000 $$ $$ B = 10000 + 0 = 10000 = 10^4 $$

(2) الكتابة في صيغة قوة:

العبارة C: $$ C = (5^{3}-5^{2})^{6} = (5^2 \times (5-1))^6 $$ $$ C = (25 \times 4)^6 = (100)^6 $$ $$ C = (10^2)^6 = 10^{12} $$

العبارة D: $$ D = 4^{2}\times8^{5}\times3^{19} $$ $$ D = (2^2)^2 \times (2^3)^5 \times 3^{19} $$ $$ D = 2^4 \times 2^{15} \times 3^{19} $$ $$ D = 2^{19} \times 3^{19} = (2 \times 3)^{19} = 6^{19} $$

العبارة E: $$ E = 7^{13}\times58-7^{13}\times3^{2} = 7^{13} \times (58 - 3^2) $$ $$ E = 7^{13} \times (58 - 9) = 7^{13} \times 49 $$ $$ E = 7^{13} \times 7^2 = 7^{15} $$

العبارة F: $$ F = 8^{7}+8^{7}+8^{7}+8^{7} = 4 \times 8^7 $$ $$ F = 2^2 \times (2^3)^7 = 2^2 \times 2^{21} $$ $$ F = 2^{2+21} = 2^{23} $$

💡 التمرين رقم 3 - قابلية القسمة 💡

(1) ليكن العدد $\overline{7070\_\_}$. أكمل النقاط بالأرقام المناسبة للحصول على عدد قابل للقسمة على 2 و 3 و 25 في نفس الوقت مقدماً جميع الإمكانيات.

(2) حدد من بين الأعداد السابقة تلك التي تقبل القسمة على 4 و 9 في نفس الوقت.

(3) حدد خارج قسمة العدد : $9\times13^{704}-169^{351}$ على 8.

التصحيح المفصل للتمرين 3:

(1) قابلية القسمة على 2، 3، و 25:

* قابلية القسمة على **25**:

\overline{ab}

يجب أن تكون 00، 25، 50، أو 75. * قابلية القسمة على **2**:

$b$

يجب أن تكون زوجية (0، 2، 4، 6، 8). $\implies$

\overline{ab}

يمكن أن تكون 00 أو 50. * قابلية القسمة على **3**: مجموع الأرقام

$7+0+7+0+a+b = 14+a+b$

يجب أن يكون مضاعفاً لـ 3. * **الحالة $\overline{ab}=00$**:

$a+b=0$

. المجموع

$14+0=14$

(ليس مضاعفاً لـ 3). ❌ * **الحالة $\overline{ab}=50$**:

$a+b=5$

. المجموع

$14+5=19$

(ليس مضاعفاً لـ 3). ❌

النتيجة: لا توجد إمكانيات تحقق الشروط الثلاثة في نفس الوقت.

(3) خارج القسمة على 8:

* العدد هو

N = 9\times13^{704}-169^{351}

. *

N = 9\times13^{704}-(13^2)^{351}

N = 9\times13^{704}-13^{702}

N = 13^{702} \times (9 \times 13^2 - 1)

(خطأ في الحساب) *

N = 13^{702} \times (9 \times 13^2 - 1)

(تصحيح: $13^{702} \times (9 \times 13^2 - 1)$ هو خطأ، يجب أن يكون $13^{702} \times (9 \times 13^2 - 1)$ - لا) * **التصحيح الصحيح:** $$ N = 9\times13^{704} - 13^{702} $$ $$ N = 13^{702} \times (9 \times 13^2 - 1) $$ $$ N = 13^{702} \times (9 \times 169 - 1) $$ $$ N = 13^{702} \times (1521 - 1) = 13^{702} \times 1520 $$ * بما أن

1520 = 8 \times 190

، فإن

$N$

يقبل القسمة على 8. * خارج القسمة هو:

13^{702} \times 190

📝 تصحيح الفروض التأليفية عدد 1 في الرياضيات 📝

الفرض التأليفي (مثال رقم 7)

التصحيح المفصل للتمرين 1:

التصحيح المفصل للتمرين 2:

الفرض التأليفي (مثال رقم 6)

التصحيح المفصل للتمرين 1:

التصحيح المفصل للتمرين 2:

التصحيح المفصل للتمرين 3: