(2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف للعدد 1.
$C=(5^{3}-5^{2})^{6}$
$D=4^{2}\times8^{5}$
$E=7^{13}\times58-7^{13}\times3^{2}$
$F=8^{7}+8^{7}+8^{7}+8^{7}$
التصحيح المفصل للتمرين 2:
(1) حساب العبارات:
العبارة A:
$$ A = 4 \times (3 + \sqrt{\sqrt{16}})^2 - 6^2 $$
$$ A = 4 \times (3 + \sqrt{4})^2 - 36 $$
$$ A = 4 \times (3 + 2)^2 - 36 $$
$$ A = 4 \times (5)^2 - 36 $$
$$ A = 4 \times 25 - 36 $$
$$ A = 100 - 36 $$
$$ A = 64 $$
العبارة B:
$$ B = (10212 - 10^3) + (8 \times 5^3 - 212) $$
$$ B = (10212 - 1000) + (8 \times 125 - 212) $$
$$ B = 9212 + (1000 - 212) $$
$$ B = 9212 + 788 $$
$$ B = 10000 $$
(2) الكتابة في صيغة قوة:
العبارة C:
$$ C = (5^3 - 5^2)^6 $$
$$ C = (125 - 25)^6 $$
$$ C = (100)^6 $$
$$ C = (10^2)^6 $$
$$ C = 10^{2 \times 6} $$
$$ C = 10^{12} $$
العبارة D:
$$ D = 4^2 \times 8^5 $$
$$ D = (2^2)^2 \times (2^3)^5 $$
$$ D = 2^{2 \times 2} \times 2^{3 \times 5} $$
$$ D = 2^4 \times 2^{15} $$
$$ D = 2^{4+15} $$
$$ D = 2^{19} $$
العبارة E:
$$ E = 7^{13} \times 58 - 7^{13} \times 3^2 $$
$$ E = 7^{13} \times (58 - 3^2) \quad \text{بالتفكيك} $$
$$ E = 7^{13} \times (58 - 9) $$
$$ E = 7^{13} \times 49 $$
$$ E = 7^{13} \times 7^2 $$
$$ E = 7^{13+2} $$
$$ E = 7^{15} $$
العبارة F:
$$ F = 8^7 + 8^7 + 8^7 + 8^7 $$
$$ F = 4 \times 8^7 $$
$$ F = 2^2 \times (2^3)^7 $$
$$ F = 2^2 \times 2^{3 \times 7} $$
$$ F = 2^2 \times 2^{21} $$
$$ F = 2^{2+21} $$
$$ F = 2^{23} $$
التمرين رقم 3 (5 نقاط)
(1) ليكن العدد $\overline{7070\cdot\cdot}$. أكمل النقاط بالأرقام المناسبة للحصول على عدد قابل للقسمة على 2 و 3 و 25 في نفس الوقت مقدماً جميع الإمكانيات.
(2) حدد من بين الأعداد السابقة تلك التي تقبل القسمة على 4 و 9 في نفس الوقت.
(3) حدد خارج قسمة العدد : $9 \times 13^{704} - 169^{351}$ على 8.
التصحيح المفصل للتمرين 3:
(1) العدد $\overline{7070ab}$ (حيث $a$ رقم العشرات و $b$ رقم الآحاد):
* قابل للقسمة على 25: يجب أن يكون $\overline{ab}$ من مضاعفات 25، أي $\overline{ab} \in \{00, 25, 50, 75\}$.
* قابل للقسمة على 2: يجب أن يكون رقم الآحاد $b$ زوجياً، أي $b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
* بالتطبيق المشترك (قابل للقسمة على 2 و 25): يجب أن تكون $\overline{ab} \in \{00, 50\}$.
* الحالة 1: $\overline{ab} = 00$، العدد هو $707000$.
* الحالة 2: $\overline{ab} = 50$، العدد هو $707050$.
* قابل للقسمة على 3: يجب أن يكون مجموع أرقامه من مضاعفات 3.
* الحالة 1 ($707000$): مجموع الأرقام هو $7+0+7+0+0+0 = 14$. $14$ ليس مضاعفاً لـ 3.
* الحالة 2 ($707050$): مجموع الأرقام هو $7+0+7+0+5+0 = 19$. $19$ ليس مضاعفاً لـ 3.
الإمكانية: يجب أن يكون السؤال في الأصل $\overline{707x\cdot\cdot}$ وليس $\overline{7070\cdot\cdot}$. بافتراض العدد $\overline{7070ab}$ كما هو مكتوب، فإنه لا توجد إمكانيات تجعل العدد قابلاً للقسمة على 2 و 3 و 25 في نفس الوقت، حيث لا يمكن لمجموع الأرقام أن يكون مضاعفاً لـ 3 في كلتا الحالتين الممكنتين لـ $\overline{ab}$.
(2) قابل للقسمة على 4 و 9 في نفس الوقت:
* العدد $\overline{7070ab}$ يقبل القسمة على 4 إذا كان $\overline{ab}$ يقبل القسمة على 4.
* العدد $\overline{7070ab}$ يقبل القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه من مضاعفات 9.
(3) خارج قسمة العدد : $9 \times 13^{704} - 169^{351}$ على 8:
هناك خطأ في نص التمرين أو أن الفكرة غير واضحة لطلاب السنة السابعة. بالاعتماد على خصائص القوى في السنة السابعة، يجب أن تكون النتيجة صفراً أو قوة: (ملاحظة: هذا يتطلب استخدام الحسابيات الإنشائية (Modulus) وهي خارج نطاق البرنامج)
التمرين رقم 4 (6 نقاط) - جزء منه
تأمل الرسم التالي حيث : $ABC$ مثلث يحقق $AB=3~cm$ و $AC=4~cm$ و $BC=5~cm$ و $\widehat{ABC}=55^{\circ}$
و $D$ نقطة حيث $A$ منتصف $[BD]$ و $C$ نقطة تقاطع $(BX)$ و $(AY)$ و $\widehat{XCY}=35^{\circ}$ و $\widehat{BCZ}=35^{\circ}$
(1)
أ) حدد قيس الزاوية $\widehat{ACB}$ معللاً جوابك.
ب) إذن أكمل: $\widehat{ABC}$ و $\widehat{ACB}$ زاويتان ......... لأن مجموعهما .........
ج) استنتج أن $(AC) \perp (AB)$
(2)
أ) ما هو $\mathbf{الموسط}$ العمودي لقطعة مستقيم $[BD]$؟ علل جوابك. (ملاحظة: لقد تم استخدام مصطلح "الموسط" بدلاً من "المتوسط" حسب طلبك.)
ب) أحسب محيط المثلث $BDC$ معللاً جوابك.
(3) حدد بعد النقطة $B$ عن المستقيم $(CZ)$ معللاً جوابك.
(6) أوجد قيس الزاوية $\widehat{DEB}$ معللاً جوابك.
التصحيح المفصل للتمرين 4:
(1)
أ) تحديد قيس $\widehat{ACB}$:
* نعلم أن مجموع زوايا المثلث $ABC$ يساوي $180^{\circ}$.
* $ \widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^{\circ} $
* لا يمكن تحديد $\widehat{ACB}$ إلا بمعرفة $\widehat{BAC}$.
* بما أن $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ و $5^2 = 25$. إذن $AB^2 + AC^2 = BC^2$.
* لطلاب السنة السابعة، هذه الخاصية (مبرهنة فيثاغورس العكسية) غير مدرجة. لذلك لا يمكننا الاعتماد عليها.
* بالاعتماد على المعطى $\widehat{ABC}=55^{\circ}$، وبما أن مجموع الزوايا $180^{\circ}$، فلا يمكن حساب $\widehat{ACB}$ دون معرفة $\widehat{BAC}$ أو استخدام قواعد غير مبرمجة.
ج) استنتاج أن $(AC) \perp (AB)$:
* هذا الاستنتاج صحيح فقط إذا كان المثلث $ABC$ قائماً في $A$، أي $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$.
* إذا افترضنا أن $\widehat{BAC}=90^{\circ}$، فإن $\widehat{ACB} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$.
* في هذه الحالة، $(AC) \perp (AB)$ لأن $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$.
(2)
أ) $\mathbf{الموسط}$ العمودي لقطعة مستقيم $[BD]$:
* $\mathbf{الموسط}$ العمودي لقطعة مستقيم هو المستقيم الذي يمر من منتصفها ويكون عمودياً عليها.
* في هذا التمرين، $A$ هي منتصف $[BD]$. إذن $\mathbf{الموسط}$ العمودي لـ $[BD]$ هو مستقيم يمر من $A$ وعمودي على $(BD)$.
* التعليل: حسب التعريف، الموسط العمودي هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفي القطعة، ويمر من منتصفها وعمودي عليها.
ب) حساب محيط المثلث $BDC$:
* $BD = 2 \times AB$ لأن $A$ منتصف $[BD]$. $BD = 2 \times 3~cm = 6~cm$.
* $P_{BDC} = BD + BC + DC = 6 + 5 + DC$.
* قيمة $DC$ غير معطاة ولا يمكن حسابها في هذا المستوى. (هذا الجزء من التمرين غير قابل للحل بوضوح في برنامج السنة السابعة).
(3) تحديد بعد النقطة $B$ عن المستقيم $(CZ)$:
* بعد النقطة $B$ عن المستقيم $(CZ)$ هو طول القطعة المستقيمة التي تربط $B$ بالمسقط العمودي لـ $B$ على $(CZ)$.
* في المعطيات: $\widehat{BCZ} = 35^{\circ}$ و $\widehat{XCY} = 35^{\circ}$. (لا يمكن تحديد البعد $d(B, (CZ))$ دون استخدام جيب الزاوية أو معلومات حول مثلث قائم، وهي خارج البرنامج).