التمرين رقم 1 (4 نقاط) - اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة
أ) العدد $(11^{2}-2^{3})-(6\times2^{4}-\sqrt{64})$ يقبل القسمة على:
4 6 25
ب) باقي قسمة العدد $\overline{35a}$ (حيث $a$ رقم آحاده) على 4 يساوي 2 إذا كان:
$a=2$ $a=4$ $a=5$
ج) الكتابة $a=4\times b+5$ هي قسمة إقليدية للعدد $a$ على 6 في حالة:
$b=8$ $b=3$ $b=5$
**(2) في الرسم المقابل:**
- المسقط العمودي لـ $M$ على $(Oy)$ هو $K$ و $MK=2,5~cm$ و $OB = 6~cm$.
- مساحة المثلث $OMB$ تساوي $9~cm^{2}$.
إذن: $[OM)$ منصف الزاوية $\widehat{xOy}$. علل جوابك:
Also point $B$ on $Oy$ with $OB=6cm$ and $MK=2.5cm$]
التصحيح المفصل للتمرين 1:
(1) اختيار الإجابة الصحيحة:
أ) حساب العدد $N = (11^{2}-2^{3})-(6\times2^{4}-\sqrt{64})$:
$$ N = (121 - 8) - (6 \times 16 - 8) $$
$$ N = (113) - (96 - 8) $$
$$ N = 113 - 88 $$
$$ N = 25 $$
العدد 25 يقبل القسمة على 25.
**الإجابة الصحيحة:** 25
ب) باقي قسمة $\overline{35a}$ على 4 هو 2:
يقبل العدد القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من رقمي آحاده وعشراته (وهو $\overline{5a}$) يقبل القسمة على 4.
باقي قسمة العدد $\overline{5a}$ على 4 يجب أن يكون 2.
نجرب الخيارات:
* إذا $a=2$: $\overline{52}$. $52 = 4 \times 13$ (الباقي 0، خطأ).
* إذا $a=4$: $\overline{54}$. $54 = 4 \times 13 + 2$ (الباقي 2، صحيح).
* إذا $a=5$: $\overline{55}$. $55 = 4 \times 13 + 3$ (الباقي 3، خطأ).
**الإجابة الصحيحة:** $a=4$
ج) الكتابة $a=4\times b+5$: لكي تكون قسمة إقليدية على 6، يجب أن يكون القاسم 6 والباقي أصغر قطعاً من القاسم. هنا القاسم المقترح هو 6، ولكن الباقي هو 5.
**ملاحظة:** الكتابة المعطاة هي $a=4\times b+5$، حيث 4 هو **خارج القسمة**، و $b$ هو **المقسوم عليه**، و 5 هو **الباقي**. ولكن، النص يقول "قسمة إقليدية للعدد $a$ على 6".
* إذا كان القاسم هو 6: يجب أن تكون الكتابة $a = 6 \times Q + R$ حيث $0 \le R < 6$.
* إذا افترضنا أن **4 هو خارج القسمة** و **$b$ هو القاسم**، والكتابة صحيحة للقسمة الإقليدية على $b$: $a = b \times 4 + 5$. لكي تكون هذه قسمة إقليدية، يجب أن يكون $5 < b$.
* إذا افترضنا أن **6 هو القاسم** و **$4 \times b + 5$ هو المقسوم**، فإن السؤال غير منطقي.
* **الفرضية الأرجح (بوجود خطأ في السؤال):** أن الكتابة $a=4\times b+5$ تمثل قسمة إقليدية لعدد $a$ على $b$. وبما أن الخيارات متعلقة بـ $b$ والقاسم **يجب أن يكون** 6: هناك تناقض.
* **نفترض أن السؤال يقصد أن $a = 6 \times Q + R$ حيث $Q=b$ و $R=5$، والكتابة الصحيحة هي $a = 6 \times b + 5$.**
في هذه الحالة، الشرط هو $0 \le 5 < 6$، وهو متحقق دائماً.
إذا كان السؤال يتعلق فقط بـ $b$ كخارج القسمة (على 6)، فإن $b$ يمكن أن يكون أي عدد طبيعي، مما يجعل الإجابات المتاحة (3, 5, 8) غير منطقية.
**نختار الفرضية التي تجعل 6 قاسمًا:** $a = 6 \times Q + R$. إذا كان $a=4\times b+5$ هو المقسوم، لا يمكن الإجابة. إذا كان السؤال خطأ مطبعي والمقصود هو $a=6\times b+5$، فالإجابات كلها ممكنة.
**نختار الإجابة الأبسط:** $b$ يمكن أن يكون أي عدد، نختار $b=3$.
(2) التعليل: $[OM)$ منصف $\widehat{xOy}$
* لنحدد البعد $d(M, (Ox))$. يجب أن نحسب طول $MH$ حيث $H$ المسقط العمودي لـ $M$ على $(Ox)$.
* مساحة المثلث $OMB$ هي: $S_{OMB} = \frac{1}{2} \times OB \times d(M, (Oy)) = \frac{1}{2} \times OB \times MK$.
* $9 = \frac{1}{2} \times 6 \times MK$.
* $9 = 3 \times MK$.
* $MK = \frac{9}{3} = 3~cm$.
* المعطى هو $MK = 2.5~cm$. هناك تناقض بين المعطيات ($S=9~cm^2$ و $MK=2.5~cm$)
* **إذا اعتمدنا على $MK=2.5~cm$**: $d(M, (Oy)) = 2.5~cm$.
* لكي يكون $[OM)$ منصفاً للزاوية $\widehat{xOy}$، يجب أن تكون النقطة $M$ متساوية البعد عن ضلعي الزاوية $(Ox)$ و $(Oy)$.
* أي يجب أن يكون $d(M, (Ox)) = d(M, (Oy)) = 2.5~cm$.
* بما أن النقطة $M$ تبعد عن الضلع $(Oy)$ بمسافة $2.5~cm$، إذا كان البعد عن الضلع $(Ox)$ هو أيضاً $2.5~cm$، فإن $[OM)$ هو منصف الزاوية $\widehat{xOy}$.
التمرين رقم 2
(1) احسب العبارات التالية:
$A=2\times\sqrt{49}+3\times5^{2}$
$B=(2^{5}\times2015)^{0}+(3^{2}-2^{3})^{77}$
(2) اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف للعدد 1.
$C=3^{7}+2\times3^{7}$
$D=10^{4}\times8\times(5^{2}\times2)^{3}$
$E=[7^{3}\times49^{2}]^{2}\times[7^{5}]^{3}$
$F=60\times5^{6}+13\times5^{7}$
$G=16^{5}+16^{5}+16^{5}+16^{5}$
التصحيح المفصل للتمرين 2:
(1) حساب العبارات:
العبارة A:
$$ A = 2 \times \sqrt{49} + 3 \times 5^2 $$
$$ A = 2 \times 7 + 3 \times 25 $$
$$ A = 14 + 75 $$
$$ A = 89 $$
العبارة B:
$$ B = (2^5 \times 2015)^0 + (3^2 - 2^3)^{77} $$
$$ B = 1 + (9 - 8)^{77} \quad \text{لأن أي عدد غير صفري مرفوع للقوة 0 يساوي 1} $$
$$ B = 1 + (1)^{77} $$
$$ B = 1 + 1 $$
$$ B = 2 $$
(2) الكتابة في صيغة قوة:
العبارة C:
$$ C = 3^7 + 2 \times 3^7 $$
$$ C = 1 \times 3^7 + 2 \times 3^7 $$
$$ C = (1 + 2) \times 3^7 \quad \text{بالتفكيك} $$
$$ C = 3 \times 3^7 $$
$$ C = 3^{1+7} $$
$$ C = 3^8 $$
العبارة D:
$$ D = 10^4 \times 8 \times (5^2 \times 2)^3 $$
$$ D = (2 \times 5)^4 \times 2^3 \times (5^2)^3 \times 2^3 $$
$$ D = 2^4 \times 5^4 \times 2^3 \times 5^6 \times 2^3 $$
$$ D = (2^4 \times 2^3 \times 2^3) \times (5^4 \times 5^6) $$
$$ D = 2^{4+3+3} \times 5^{4+6} $$
$$ D = 2^{10} \times 5^{10} $$
$$ D = (2 \times 5)^{10} $$
$$ D = 10^{10} $$
العبارة E:
$$ E = [7^3 \times 49^2]^2 \times [7^5]^3 $$
$$ E = [7^3 \times (7^2)^2]^2 \times 7^{5 \times 3} $$
$$ E = [7^3 \times 7^4]^2 \times 7^{15} $$
$$ E = [7^{3+4}]^2 \times 7^{15} $$
$$ E = [7^7]^2 \times 7^{15} $$
$$ E = 7^{7 \times 2} \times 7^{15} $$
$$ E = 7^{14} \times 7^{15} $$
$$ E = 7^{14+15} $$
$$ E = 7^{29} $$
العبارة F:
$$ F = 60 \times 5^6 + 13 \times 5^7 $$
$$ F = 60 \times 5^6 + 13 \times 5^6 \times 5^1 $$
$$ F = 5^6 \times (60 + 13 \times 5) \quad \text{بالتفكيك} $$
$$ F = 5^6 \times (60 + 65) $$
$$ F = 5^6 \times 125 $$
$$ F = 5^6 \times 5^3 $$
$$ F = 5^{6+3} $$
$$ F = 5^9 $$
العبارة G:
$$ G = 16^5 + 16^5 + 16^5 + 16^5 $$
$$ G = 4 \times 16^5 $$
$$ G = 2^2 \times (2^4)^5 $$
$$ G = 2^2 \times 2^{4 \times 5} $$
$$ G = 2^2 \times 2^{20} $$
$$ G = 2^{2+20} $$
$$ G = 2^{22} $$
التمرين رقم 4
تأمل الشكل التالي حيث $ABCD$ شبه منحرف قائم الزاوية في $A$، حيث $AB=AD=4~cm$ و $\widehat{BCD}=70^{\circ}$ و $O$ منتصف $[BD]$.
(1) بيّن أن $\widehat{ABC}=110^{\circ}$.
(2) بيّن أن $B$ و $D$ متناظرتان بالنسبة إلى $(AO)$.
(3) عيّن النقطة $I$ من القطعة $[BC]$ بحيث $BI=2~cm$.
أ) إبن النقطة $J$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $(AO)$.
ب) بيّن أن $(BD) // (IJ)$.
ج) أكمل بما يناسب:
- مناظر $(BC)$ بالنسبة لـ $(AO)$ هو ................
- مناظر $[IO)$ بالنسبة لـ $(AO)$ هو ................
(4) أ) إبن النقطة $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(AO)$.
ب) بيّن أن النقاط $J$ و $D$ و $E$ على استقامة واحدة.
ج) بيّن أن $DJ = 2~cm$.
$O$ is the midpoint of $BD$]
التصحيح المفصل للتمرين 4:
(1) تبيان أن $\widehat{ABC}=110^{\circ}$:
* $ABCD$ شبه منحرف قائم الزاوية في $A$. في هذه الحالة، الزاوية في $D$ تكون قائمة أيضاً (مفروضة في شبه المنحرف القائم).
* مجموع زوايا الرباعي يساوي $360^{\circ}$.
* $\widehat{DAB} + \widehat{ABC} + \widehat{BCD} + \widehat{CDA} = 360^{\circ}$.
* $90^{\circ} + \widehat{ABC} + 70^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$.
* $\widehat{ABC} + 250^{\circ} = 360^{\circ}$.
* $\widehat{ABC} = 360^{\circ} - 250^{\circ} = 110^{\circ}$.
* **النتيجة:** $\widehat{ABC}=110^{\circ}$.
(2) تبيان أن $B$ و $D$ متناظرتان بالنسبة إلى $(AO)$:
* في المثلث $ABD$: لدينا $\widehat{DAB}=90^{\circ}$ (قائم في $A$)، و $AB=AD=4~cm$ (متساوي الساقين).
* المثلث $ABD$ قائم ومتساوي الساقين في $A$.
* $(AO)$ هو **الموسط** العمودي للقطعة $[BD]$ لأنه يمر من $A$ (رأس الزاوية القائمة) ومن $O$ (منتصف $[BD]$).
* بما أن $O$ منتصف $[BD]$، و $A$ تنتمي إلى $\mathbf{الموسط}$ العمودي لـ $[BD]$ (لأن $AB=AD$)، فإن $(AO)$ هو $\mathbf{الموسط}$ العمودي للقطعة $[BD]$.
* بما أن $(AO)$ هو $\mathbf{الموسط}$ العمودي لـ $[BD]$، فإن $B$ و $D$ متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم $(AO)$.
(3) ب) تبيان أن $(BD) // (IJ)$:
* $J$ مناظرة $I$ بالنسبة لـ $(AO)$.
* $D$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $(AO)$ (من السؤال 2).
* التناظر المحوري يحافظ على المسافات، إذن $[IJ]$ مناظر $[ID]$ بالنسبة لـ $(AO)$. (يوجد خطأ في نص التمرين: $J$ مناظرة $I$، $D$ مناظرة $B$، إذن $[DJ]$ مناظر $[BI]$).
* **بناء على خصائص التناظر المحوري:** بما أن $[DJ]$ هو مناظر $[BI]$، فإن $DJ = BI = 2~cm$.
* **لتبيان التوازي:** بما أن $I$ و $J$ متناظرتان بالنسبة لـ $(AO)$، و $B$ و $D$ متناظرتان بالنسبة لـ $(AO)$، والمركز $O$ يقع على محور التناظر. لا يوجد خاصية مباشرة في السابعة أساسي لربط التناظر بالتوازي بهذه الطريقة (خاصية المنصفات).
* **نفترض أن $O$ نقطة تقاطع أقطار الشكل:** لا يمكن الإثبات بوضوح في هذا المستوى.
(3) ج) إكمال بما يناسب:
* مناظر $(BC)$ بالنسبة لـ $(AO)$ هو $(ED)$، لأن $D$ مناظرة $B$، و $E$ مناظرة $C$.
* مناظر $[IO)$ بالنسبة لـ $(AO)$ هو $[JD)$، لأن $J$ مناظرة $I$ و $D$ مناظرة $B$ و $(AO)$ يمر من $O$.
(4) ج) تبيان أن $DJ = 2~cm$:
* $J$ مناظرة $I$ بالنسبة لـ $(AO)$.
* $D$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $(AO)$.
* التناظر المحوري يحافظ على المسافات، إذن $DJ$ هو مناظر $BI$.
* $DJ = BI$.
* بما أن $BI = 2~cm$، فإن $DJ = 2~cm$.