فرض تأليفي رقم 1 رياضيات - السابعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) - اختر الإجابة الصحيحة 🚀

1. في المساواة التالية $257 = 12 \times 19 + 29$ باقي القسمة الإقليدية للعدد $257$ على $19$ هو:

أ) $2$

ب) $29$

ج) $10$ ✨

الإجابة الصحيحة هي: ج) $10$ 🎯

الشرح: بما أن الباقي $29$ أكبر من القاسم $19$، نقوم بإعادة قسمته. 🧠

$$29 = 1 \times 19 + 10$$ $$257 = 12 \times 19 + (1 \times 19 + 10)$$ $$257 = (12 + 1) \times 19 + 10$$ $$257 = 13 \times 19 + 10$$ $$\text{10 هو الباقي الأصغر من 19.} \checkmark$$

2. في الشكل التالي $ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ و $D$ بحيث: $x\hat{C}y = 52^{\circ}$ فإن $\widehat{A B C}$ تساوي:

أ) $52$

ب) $12$

ج) $13$

⚠️ ملاحظة: السؤال غير مكتمل أو به خطأ مطبعي. القيمة الصحيحة للزاوية $\widehat{A B C}$ المعطاة في التمرين 3 هي $130^{\circ}$ وهي ليست ضمن الخيارات هنا. $x\hat{C}y = 52^{\circ}$ لا تمكن من الحساب مباشرة. نعتبر الإجابة غير قابلة للتحديد بناءً على الخيارات المعطاة.

3. التفكيك إلى جذاء عوامل أولية للعدد: $M = 5 \times 35 \times 2800$ هو:

أ) $4^{2} \times 5^{4} \times 7^{2}$

ب) $7^{2} \times 10^{4}$

ج) $2^{4} \times 5^{4} \times 7^{2}$ ✨

الإجابة الصحيحة هي: ج) $2^{4} \times 5^{4} \times 7^{2}$ 🎯

الشرح: نقوم بالتفكيك إلى جذاء عوامل أولية: 🔨

$$M = 5 \times (5 \times 7) \times (28 \times 100)$$ $$M = 5^{2} \times 7 \times (2^{2} \times 7) \times ((2 \times 5)^{2})$$ $$M = 5^{2} \times 7 \times 2^{2} \times 7 \times 2^{2} \times 5^{2}$$ $$M = 2^{2+2} \times 5^{2+2} \times 7^{1+1}$$ $$M = 2^{4} \times 5^{4} \times 7^{2} \checkmark$$

4. $ABC$ مثلث قائم في $A$ حيث $AB = 2^{3}cm$ و $(C)$ دائرة مركزها $B$ و قطرها $4cm$. إذن الدائرة $(C)$ والمستقيم $(AC)$:

أ) متقاطعان

ب) منفصلان ✨

ج) متماسان

الإجابة الصحيحة هي: ب) منفصلان 🎯

الشرح: نقارن المسافة $d$ بين المركز $B$ والمستقيم $(AC)$ بالشعاع $R$. 📏

الشعاع: $R = \frac{4}{2} = 2cm$.
المسافة $d$: بما أن $ABC$ قائم في $A$، فإن $(BA) \perp (AC)$. إذن $d = AB = 2^{3} = 8cm$.
المقارنة: بما أن $d > R$ ($8 > 2$)، فإن المستقيم $(AC)$ والدائرة $(C)$ منفصلان. ✅

🎪 التمرين رقم 2 (5 نقاط) - حساب القوى 🎪

1. أكمل الفراغ بالعدد المناسب:

أ) $49^{\dots} \times 7^{8} = 7^{14}$

الحل: نحول $49$ إلى قوة للعدد $7$. 🧠

$$(7^{2})^{\dots} \times 7^{8} = 7^{14}$$ $$7^{2 \times \dots + 8} = 7^{14}$$ $$2 \times \dots + 8 = 14$$ $$2 \times \dots = 6$$ $$\dots = 3 \checkmark$$

ب) $2^{4} \times (100 - \dots) = 64$

الحل: نحسب $2^{4}$ ثم نجد القيمة بين القوسين. 🧠

$$16 \times (100 - \dots) = 64$$ $$100 - \dots = 64 \div 16$$ $$100 - \dots = 4$$ $$\dots = 100 - 4 = 96 \checkmark$$

ج) $5^{4} \times 35^{\dots} = 5^{\dots} \times 49^{3}$

الحل: نفكك $35$ و $49$ إلى عوامل أولية ونوازن الأسس. 🧠

$$5^{4} \times (5 \times 7)^{\dots} = 5^{\dots} \times (7^{2})^{3}$$ $$5^{4 + \dots} \times 7^{\dots} = 5^{\dots} \times 7^{6}$$ $$\text{مقارنة قوى 7 تعطي: } \dots = 6$$ $$\text{مقارنة قوى 5 تعطي: } 4 + 6 = 10$$ $$\text{الترتيب هو: 6 ، 10.} \checkmark$$

2. احسب العبارات التالية:

أ) $a = 2 \times 7^{2} + 3 \times (\sqrt{9} - \sqrt{4})^{2023}$

الحل: الأولوية للقوس ثم القوى والجذور. 🧮

$$a = 2 \times 49 + 3 \times (3 - 2)^{2023}$$ $$a = 98 + 3 \times (1)^{2023}$$ $$a = 98 + 3 \times 1$$ $$a = 98 + 3 = 101 \checkmark$$

ب) $b = 3^{4} \times 770 + 9^{2} \times 230$

الحل: نخرج العامل المشترك $3^{4} = 9^{2} = 81$. 💡

$$b = 81 \times 770 + 81 \times 230$$ $$b = 81 \times (770 + 230)$$ $$b = 81 \times 1000$$ $$b = 81000 \checkmark$$

3. اكتب في صيغة قوة لعدد صحيح طبيعي دليلها مخالف لواحد:

أ) $c = \sqrt{64} \times 2^{7} + 2^{3} \times 4^{3} \times 2$

الحل: نوحد الأساس $2$ ونجمع. 🛠️

$$c = 8 \times 2^{7} + 2^{3} \times (2^{2})^{3} \times 2^{1}$$ $$c = 2^{3} \times 2^{7} + 2^{3} \times 2^{6} \times 2^{1}$$ $$c = 2^{10} + 2^{10}$$ $$c = 2 \times 2^{10} = 2^{11} \checkmark$$

ب) $d = 81 \times (7^{3} \times 3^{2})^{4}$

الحل: نرفع القوى ونجمع أسس الأساسات المتشابهة. 🛠️

$$d = 3^{4} \times 7^{3 \times 4} \times 3^{2 \times 4}$$ $$d = 3^{4} \times 7^{12} \times 3^{8}$$ $$d = 3^{4+8} \times 7^{12}$$ $$d = 3^{12} \times 7^{12}$$ $$d = (3 \times 7)^{12} = 21^{12} \checkmark$$

ج) $e = 125^{6} \times 64^{3} \times 9^{9}$

الحل: نوحد دليل القوة إلى $18$. 🛠️

$$e = (5^{3})^{6} \times (2^{6})^{3} \times (3^{2})^{9}$$ $$e = 5^{18} \times 2^{18} \times 3^{18}$$ $$e = (5 \times 2 \times 3)^{18}$$ $$e = 30^{18} \checkmark$$

🏗️ التمرين رقم 3 (5 نقاط) - هندسة 🏗️

📐 $ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ و $D$. $AD = 3cm$ ، $\widehat{A B C} = 130^{\circ}$ و $\widehat{A C D} = 25^{\circ}$.

http://googleusercontent.com/image_generation_content/3

1. أ) أحسب قيس الزاوية $\widehat{B C D}$.

الحساب: 📐

بما أن $ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ و $D$، فإنّ $(AB) // (CD)$. الزاويتان $\widehat{A B C}$ و $\widehat{B C D}$ متتاليتان وداخليتان بين متوازيين، فهما متكاملتان ($180^{\circ}$).

$$\widehat{B C D} = 180^{\circ} - \widehat{A B C}$$ $$\widehat{B C D} = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \checkmark$$

ب) استنتج أن نصف المستقيم $[CA)$ منصف للزاوية $\widehat{B C D}$.

الاستنتاج: 💡

لدينا $\widehat{B C D} = 50^{\circ}$ و $\widehat{A C D} = 25^{\circ}$ (معطى).
نحسب قيس $\widehat{A C B}$:

$$\widehat{A C B} = \widehat{B C D} - \widehat{A C D}$$ $$\widehat{A C B} = 50^{\circ} - 25^{\circ} = 25^{\circ}$$

بما أن $\widehat{A C B} = \widehat{A C D} = 25^{\circ}$، فإن نصف المستقيم $[CA)$ منصف للزاوية $\widehat{B C D}$. ✅

2. أ) ابن $E$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على المستقيم $(BC)$.

الإنشاء: يتم إنشاء $(AE) \perp (BC)$ في $E$. (انظر الرسم أعلاه).

ب) بيّن أن $AE = 3cm$.

الإثبات: 💡

لدينا $AE$ هي المسافة بين $A$ والمستقيم $(BC)$.
لدينا $AD = 3cm$ هي المسافة بين $A$ والمستقيم $(CD)$ (لأن $\widehat{A D C} = 90^{\circ}$).
بما أن $A$ تنتمي إلى منصف الزاوية $\widehat{B C D}$ (من السؤال 1.ب)، فإن $A$ متساوية البعد عن ضلعيها $(CB)$ و $(CD)$.
إذن، $AE = AD = 3cm$. ✅

3. الدائرة $(C)$ مركزها $A$ و شعاعها $3cm$.

أ) حدد الوضعية النسبية للدائرة $(C)$ والمستقيم $(BC)$.

التحديد: ⭕

شعاع الدائرة هو $R = 3cm$.
المسافة بين المركز $A$ والمستقيم $(BC)$ هي $d = AE = 3cm$ (من السؤال 2.ب).
بما أن $d = R$ ($3 = 3$)، فإن المستقيم $(BC)$ مماس للدائرة $(C)$ في النقطة $E$. ✅

ب) أوجد النقطة $M$ من الدائرة $(C)$ المتساوية البعد عن المستقيمين $(CE)$ و $(CD)$.

الإيجاد: 💡

الشرط الأول: $M$ متساوية البعد عن $(CE)$ و $(CD)$. إذن $M$ تنتمي إلى منصف الزاوية $\widehat{E C D}$ (وهي نفسها $\widehat{B C D}$). ونصف المستقيم $[CA)$ هو هذا المنصف.
الشرط الثاني: $M$ تنتمي إلى الدائرة $(C)$ مركزها $A$ وشعاعها $3cm$.
المسافة بين $A$ و $D$ هي $AD = 3cm$. النقطة $D$ تقع على الضلع $(CD)$ وبالتالي على المنصف.
النقطة المطلوبة هي D، لأنها تقع على المنصف $[CA)$ وتبعد عن المركز $A$ بالمسافة $3cm$ (الشعاع). ✅

📏 التمرين رقم 4 (3 نقاط) - الزوايا 📏

📐 تأمل الرسم التالي: $ABC$ مثلث حيث $\widehat{B A C} = 40^{\circ}$. $[C x)$ منصف الزاوية $\widehat{A C B}$ و $\widehat{x C B} = 30^{\circ}$.

1. أحسب قيس الزاوية $\widehat{A B C}$.

الحساب: 📐

نحسب $\widehat{A C B}$: بما أن $[C x)$ منصف لـ $\widehat{A C B}$.

$$\widehat{A C B} = 2 \times \widehat{x C B} = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$$

نحسب $\widehat{A B C}$: مجموع زوايا المثلث يساوي $180^{\circ}$.

$$\widehat{A B C} = 180^{\circ} - (\widehat{B A C} + \widehat{A C B})$$ $$\widehat{A B C} = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ})$$ $$\widehat{A B C} = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \checkmark$$

2. ابن $[C y)$ منصف الزاوية $\widehat{A C t}$. (حيث $t$ نقطة من امتداد $[B C)$).

الإنشاء: يتم إنشاء $[C y)$ بحيث يقسم الزاوية الخارجية $\widehat{A C t}$ إلى زاويتين متقايستين.

3. أحسب قيس الزاوية $\widehat{A C y}$.

الحساب: 📐

الزاويتان $\widehat{A C B}$ و $\widehat{A C t}$ متكاملتان ($180^{\circ}$).

$$\widehat{A C t} = 180^{\circ} - \widehat{A C B} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$

بما أن $[C y)$ منصف لـ $\widehat{A C t}$.

$$\widehat{A C y} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \checkmark$$

4. استنتج أن $(C x) \perp (C y)$.

الاستنتاج: نحسب الزاوية $\widehat{x C y}$. 💡

$\widehat{x C A} = 30^{\circ}$ و $\widehat{A C y} = 60^{\circ}$.

$$\widehat{x C y} = \widehat{x C A} + \widehat{A C y}$$ $$\widehat{x C y} = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$$

بما أن $\widehat{x C y} = 90^{\circ}$، فإن المستقيمين $(C x)$ و $(C y)$ متعامدان. ✅

📝 فرض تأليفي عدد 1 في الرياضيات 📝