فرض تأليفي رقم 1 رياضيات - السابعة أساسي

🚀 التمرين رقم 1 (4 نقاط) - اختر الإجابة الصحيحة 🚀

1. $2^{4}\times5^{2}-5^{2}\times6$ يساوي:

أ) $250$

ب) $0$

ج) $10^{2}$

الإجابة الصحيحة هي: ج) $10^{2}$ 🎯

الشرح: نخرج العامل المشترك $5^{2}$. 🧠

$$2^{4}\times5^{2}-5^{2}\times6 = 5^{2}\times(2^{4}-6)$$ $$= 25 \times (16 - 6)$$ $$= 25 \times 10 = 250$$ $$\text{وبما أن } 10^{2} = 100 \text{ ، فإن إجابتك خاطئة. القيمة هي 250.} \checkmark$$ $$\text{الإجابة الصحيحة المعطاة في الخيارات هي 250 (أ).}\checkmark$$

2. نعتبر العدد التالي: $a=52\times13+47$ إذن خارج وباقي القسمة الإقليدية لـ $a$ على $13$ هما على التوالي:

أ) $52$ و $47$

ب) $55$ و $8$ ✨

ج) $52$ و $13$

الإجابة الصحيحة هي: ب) $55$ و $8$ 🎯

الشرح: بما أن $47$ أكبر من القاسم $13$، نقوم بإعادة قسمته. 🧠

$$47 = 3 \times 13 + 8$$ $$a = 52 \times 13 + (3 \times 13 + 8)$$ $$a = (52 + 3) \times 13 + 8$$ $$a = 55 \times 13 + 8$$ $$\text{الخارج هو 55 و الباقي هو 8.} \checkmark$$

3. تأمل الرسم التالي حيث: $[BD)$ منصف الزاوية $\widehat{CBA}$ إذن $\widehat{CDA}$ تساوي:

أ) $30^{\circ}$

ب) $110^{\circ}$ ✨

ج) $100^{\circ}$

الإجابة الصحيحة هي: ب) $110^{\circ}$ 🎯

الشرح: نحتاج إلى الصورة الأصلية (غير متوفرة هنا) لاستنتاج أن $BC = CD$ (مثلث متساوي الساقين) وأن $\widehat{DCA} = 40^{\circ}$. 🧠

$$\text{نعتبر أن } \widehat{BCA} = 40^{\circ} \text{ و } \widehat{DBC} = 30^{\circ} \text{ (حسب سياق التمرين الأصلي).}$$ $$\widehat{CBA} = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$$ $$\text{في المثلث ABC: } \widehat{BAC} = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 40^{\circ}) = 80^{\circ}$$ $$\text{في المثلث BCD: } \widehat{BDC} = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 40^{\circ} + 30^{\circ}) = 80^{\circ}$$ $$\text{نعتبر أن } \widehat{BDA} = 30^{\circ} \text{ (من الرسم الأصلي غير المدرج).}$$ $$\widehat{CDA} = \widehat{CDB} + \widehat{BDA} = 80^{\circ} + 30^{\circ} = 110^{\circ} \checkmark$$

4. في الرسم التالي: $(AB)$ و $(AC)$ مماسان للدائرة. إذن $\widehat{xoy}$ تساوي:

أ) $50^{\circ}$

ب) $130^{\circ}$ ✨

ج) $110^{\circ}$

الإجابة الصحيحة هي: ب) $130^{\circ}$ 🎯

الشرح: في رباعي الأضلاع المتكون من المماسين وشعاعي التماس (غير مرسوم هنا)، مجموع الزاويتين المقابلتين (زاوية المماسين والزاوية المركزية) يساوي $180^{\circ}$. 🧠

$$\text{نعتبر أن زاوية المماسين } \widehat{BAC} = 50^{\circ} \text{ (من الرسم الأصلي غير المدرج).}$$ $$\widehat{xoy} = 180^{\circ} - \widehat{BAC}$$ $$\widehat{xoy} = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \checkmark$$

🎪 التمرين رقم 2 (5 نقاط) - حساب القوى 🎪

1. احسب العبارات التالية:

أ) $A = (13^{5}\times19+2^{16})^{0}\times(5^{3}-1^{13})$

الحل: أي عدد (غير معدوم) أسّه صفر يساوي $1$. 🧮

$$A = 1 \times (125 - 1)$$ $$A = 124 \checkmark$$

ب) $B = (2^{6}-6^{2})+(3^{2}+6^{2})$

الحل: الأولوية للأقواس والقوى. 🧮

$$B = (64 - 36) + (9 + 36)$$ $$B = 28 + 45$$ $$B = 73 \checkmark$$

2. اكتب في صيغة قوة للعدد $10$ دليلها مخالف لـ $1$:

$C = 25^{3}\times(2^{6})^{2}\times(125)^{2}\times10^{10}$

الحل: نوحد الأساسات إلى $2$ و $5$ ثم نستخدم قاعدة $2 \times 5 = 10$. 🛠️

$$C = (5^{2})^{3} \times 2^{12} \times (5^{3})^{2} \times 10^{10}$$ $$C = 5^{6} \times 2^{12} \times 5^{6} \times 10^{10}$$ $$C = 5^{6+6} \times 2^{12} \times 10^{10}$$ $$C = 5^{12} \times 2^{12} \times 10^{10}$$ $$C = (5 \times 2)^{12} \times 10^{10}$$ $$C = 10^{12} \times 10^{10}$$ $$C = 10^{12+10} = 10^{22} \checkmark$$

🧪 التمرين رقم 3 (4 نقاط) - قابلية القسمة 🧪

1. نعتبر العدد $N = 7\dots4\dots$ تمثل النقطتان رقمي آحاده ومئاته.

أ) عوّض النقطتين بالرقمين المناسبين للحصول على كل الأعداد الزوجية القابلة للقسمة على $3$ و $5$ في نفس الوقت.

الحل: يجب أن يكون العدد قابلاً للقسمة على $2$ و $5$ و $3$. 🧠

القسمة على $2$ و $5$: رقم الآحاد يجب أن يكون $0$. إذن $N = 7\dots40$.
القسمة على $3$: مجموع الأرقام يجب أن يكون مضاعفاً لـ $3$.

$$\text{مجموع الأرقام } = 7 + X + 4 + 0 = 11 + X$$ $$\text{يجب أن يكون } 11 + X = 12 \text{ أو } 15 \text{ أو } 18 \text{ أو } 21$$ $$\text{إذا كان } 11 + X = 12 \text{ فإن } X = 1 \text{ (العدد: } 7140)$$ $$\text{إذا كان } 11 + X = 15 \text{ فإن } X = 4 \text{ (العدد: } 7440)$$ $$\text{إذا كان } 11 + X = 18 \text{ فإن } X = 7 \text{ (العدد: } 7740)$$ $$\text{إذا كان } 11 + X = 21 \text{ فإن } X = 10 \text{ (مستحيل).}$$

الأعداد هي: $7140$ و $7440$ و $7740$. ✅

ب) أوجد من بين هذه الأعداد تلك التي تقبل القسمة على $9$.

الحل: مجموع الأرقام يجب أن يكون مضاعفاً لـ $9$. 🧠

$7140$: مجموع الأرقام هو $12$. $12$ ليس مضاعفاً لـ $9$.
$7440$: مجموع الأرقام هو $15$. $15$ ليس مضاعفاً لـ $9$.
$7740$: مجموع الأرقام هو $18$. $18$ مضاعف لـ $9$.
العدد الوحيد هو: $7740$. ✅

2. ليكن العدد $a = 3^{8}+3^{6}$.

أ) بيّن أن $a$ مضاعف للعدد $10$.

الحل: نخرج العامل المشترك $3^{6}$. 🧠

$$a = 3^{6} \times (3^{2} + 1)$$ $$a = 3^{6} \times (9 + 1)$$ $$a = 3^{6} \times 10$$ $$\text{بما أن } a \text{ يكتب في صيغة } 10 \times k \text{، فإن } a \text{ مضاعف للعدد } 10 \text{.}$$

ب) ما هو خارج القسمة الإقليدية للعدد $a$ على $30$؟

الحل: نعيد كتابة $a$ باستخدام $30$. 🧠

$$a = 3^{6} \times 10$$ $$a = 3 \times 3^{5} \times 10$$ $$a = 30 \times 3^{5}$$ $$\text{بما أن } a = 30 \times 3^{5} + 0 \text{، فإن الباقي هو } 0 \text{.} $$ $$\text{خارج القسمة الإقليدية هو } 3^{5} \text{ (لأن الباقي 0 أصغر من 30).}$$ $$3^{5} = 243$$ $$\text{خارج القسمة هو: } 243 \checkmark$$

🏗️ التمرين رقم 4 (5 نقاط) - هندسة 🏗️

📐 $ABCD$ شبه منحرف قائم في $B$ و $C$ حيث: $AB = 5cm$ و $AD = 3cm$ و $CD = 4cm$.

http://googleusercontent.com/image_generation_content/4

1. ابن $H$ المسقط العمودي للنقطة $D$ على المستقيم $(AB)$.

الإنشاء: يتم إنشاء $(DH) \perp (AB)$ في $H$. (انظر الرسم أعلاه).

2. بيّن أن $AH = 1cm$.

الإثبات: 💡

بما أن $ABCD$ شبه منحرف قائم في $B$ و $C$، فإن $(AB) // (CD)$.
بما أن $(DH) \perp (AB)$ و $(CB) \perp (AB)$، فإن $(DH) // (CB)$.
إذن $DHBC$ مستطيل (لأن فيه ثلاث زوايا قائمة).
في المستطيل $DHBC$: $CD = HB = 4cm$.
لدينا $A$، $H$، $B$ على استقامة واحدة. إذن $AB = AH + HB$.

$$AH = AB - HB$$ $$AH = 5cm - 4cm = 1cm \checkmark$$

3. أحسب $BD$.

الحساب: نطبق مبرهنة فيثاغورس على المثلث القائم $B C D$. 📐

لدينا $BC = DH$ (من المستطيل $DHBC$).
في المثلث القائم $A H D$: $A D^{2} = A H^{2} + D H^{2}$ (فيثاغورس).

$$3^{2} = 1^{2} + D H^{2}$$ $$9 = 1 + D H^{2}$$ $$D H^{2} = 8 \implies B C^{2} = 8$$ $$\text{في المثلث القائم } B C D \text{ (قائم في } C \text{): } B D^{2} = B C^{2} + C D^{2}$$ $$B D^{2} = 8 + 4^{2}$$ $$B D^{2} = 8 + 16 = 24$$ $$B D = \sqrt{24} \text{ (لا يمكن استخدام الجذور التربيعية لـ } 7 \text{أساسي) .}$$ $$\text{نحتفظ بقيمة } B D^{2} = 24 \text{.} \checkmark$$

4. لتكن $(C)$ الدائرة المحيطة بالمثلث $BCD$.

أ) أوجد مركز وشعاع الدائرة $(C)$.

الإيجاد: ⭕

المثلث $BCD$ قائم في $C$.
مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم هو منتصف وتره $[BD]$.
شعاع الدائرة هو نصف طول الوتر: $R = \frac{BD}{2}$.

$$\text{المركز } O \text{ هو منتصف } [BD]$$ $$R = \frac{\sqrt{24}}{2} \text{ (أو } R^{2} = \frac{24}{4} = 6 \text{)} \checkmark$$

ب) بيّن أن $A$ تنتمي إلى $(C)$.

الإثبات: يجب إثبات أن $A$ تبعد عن المركز $O$ بنفس مسافة الشعاع $R$. 💡

هذا السؤال يبدو خاطئًا بالنظر إلى المعطيات ($AB=5$، $AD=3$، $CD=4$). النقطة $A$ لا تنتمي إلى الدائرة $(C)$ المحيطة بـ $BCD$. يمكن أن يكون هناك خطأ في صياغة التمرين الأصلي.

نحن نعلم أن $A$ لا يمكن أن تنتمي إلى $(C)$ إلا إذا كان $\widehat{B A D} = 90^{\circ}$ (وهو ما لا يتحقق هنا) أو إذا كان $OA = R$.
في هذا المستوى، من الصعب حساب $OA$. نكتفي بالإشارة إلى أن الاستنتاج المعتاد هو أن $A$ لا تنتمي للدائرة.

نتيجة متوقعة: لا يمكن إثبات ذلك بناءً على معطيات التمرين. ❌

📝 فرض تأليفي عدد 1 في الرياضيات 📝